线性系统的状态空间表达式

1、第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合+9.1 线性系统的状态空间表达式+9.2控制系统状态空间表达式的解+9.3控制系统的能控性和能观性9.1 线性系统的状态空间表达式9.1.1 基本概念 图 9-1 所示的 电路中，由电路原理可知，回路中的电流 和电容上的电压 的变化规律满足如下方程 RLCcuidtduCuuRidtdiLcc) 19( RLiuCcu图9-1 RLC电路i在知道i和uc的初始值及t=0时的输入量u的情况下求解微分方程（9-1）就可以求出i和uc的变化规律 和 表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变量，icu1. 状态变量状态变量 定义：足以完全表征系统运动状态的最小

2、个数的一组变量 一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求出时，系统的运到状态也就都知道了。因此， n阶微分方程有n个独立变量。 同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元件的个数。9.1 线性系统的状态空间表达式2状态向量状态向量 把描述系统的 个状态变量 看作向量 的分量，则 称为 维状态向量，记作3 状态空间状态空间 以状态变量 为坐标轴所张成的n维空间， 系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个点，随时间推移，状态在变化规律在状态空间中绘出一条轨迹，称为状态轨线。n)(,),(),(21txtxtxn)(tx

3、)(txn 简记为,)()()()(2121nnxxxxtxtxtxtxnxxx,219.1 线性系统的状态空间表达式4 状态方程状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组 式 可以改写为 若将状态变量用一般符号 表示，即令 ，并写成向量矩阵的形式，则状态方程变为) 19( uLiLRuLdtdiiCdtducc11,1ixixuxc21,uLxxLRLCxx1011021.2.1)29( 9.1 线性系统的状态空间表达式uLxLRxLdtdxxCdtdx11,121221或式中 对图9-1所示系统，在以 作输入时，从式 中消去中间变量 ，得二阶微分方程为相应的传递函数为buAxx.LLR

4、LCxxx10,110,21bAcu) 19( iuLCuLCuLRuccc11.LCLsRsLCsUsUsGc/1/1)()()(2)39( )49( 9.1 线性系统的状态空间表达式 若改选 和 为状态变量，即令 ， 则得一阶微分方程组为 写成矩阵形式 在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。cucu.ccuxux.21,uLCxLRxLCuxxuxcc1121.2.2.1uLCxxLRLCxx10110212.1.x)59( )69( 9.1 线性系统的状态空间表达式5 输出方程输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关系式， 在图9-1中， 为输出，用 表示，则有用矩阵

5、表示为其中cuy1xuycxxxTCyy或210101TC)79( )89( 9.1 线性系统的状态空间表达式6 状态空间表达式状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。 一般情况下，设单输入单输出线性定常连续系统的状态变量为 ，则一般形式的状态方程为nxxx,21ubxaxaxaxubxaxaxaxnnnn222221212.112121111.ubxaxaxaxnnnnnnn2211.9.1 线性系统的状态空间表达式 输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变量的直接传递，其一般形式为 用向量矩阵表示的状态空间表达式为式中duxcxcx

6、cynn2211duuxCybAxxT.nnnnnnnnnncccxxxxxxbbbaaaaaaaaa21.2.1.2121212222111211,CxxbA.9.1 线性系统的状态空间表达式 对于一个 维输入、 维输出的多输入、多输出系统其状态空间表达式为式中rmDuCxyBuAxx.mrmmrrmnmmnnmrnrnnrrdddddddddcccccccccyyyuuubbbbbbbbb2112221112112122221112112121212222111211,DCyuB)109( 9.1 线性系统的状态空间表达式 系统的状态空间表达式，可以用图9-2的方框图表示uBADC.xxy

7、(t)图9-2 状态空间表达式的结构图9.1 线性系统的状态空间表达式9.1.2 状态空间表达式的建立 状态空的建立方法有： 1: 可根据系统的运行机理直接建立 2：可由经典控制理论已建立起来的数学模型，即结构图、传递函数和微分方程来导出。9.1 线性系统的状态空间表达式1、从系统的机理出发建立状态空间表达式 例例9-1 建立如图9-3所示机械系统的状态空间表达式，并画出系统的状态图。 根据牛顿第二定理有 或表示成 选择位移 和速度 为状态变量，令 则Fkmyf图9-3 机械位移系统22dtydmdtdyfkyFFkydtdyfdtydm22ydtdy/dtdyxyx/,211212.21.,

8、1,xyFmxmfxmkxxx9.1 线性系统的状态空间表达式 用向量矩阵表示的状态空间表达式为 状态图： 为了更直观地反映各状态变量之间的信息传递关系，状态空间表达式常用状态图表示。绘制方法如下： （1）有多少了状态变量，画多少个积分器； （2）根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头连接起来。21212.1.01,1010 xxyFmxxmfmkxx9.1 线性系统的状态空间表达式 该机械系统的状态如图9-4所示。F2.x2x1xym1mfmk图9-4 机械系统状态图9.1 线性系统的状态空间表达式 2、从系统方块图出发建立状态空间表达式 例例9-2 在图9-5所

9、示系统中，若选取 作为状态变量，试列写其状态空间表达式，并写成矩阵形式。321,xxx1x2x3xus32s) 1(2ss图9-59.1 线性系统的状态空间表达式由结构图得整理可得系统状态空间表达式为写成向量矩阵形式 11313221,) 1()(2,)3()(2xysxxxssxxxsxu1323.212.31.,32232,xyxxxuxxxxxxyxx.001,020320032100u3、由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式 （1）微分方程中不含有输入的导数项（或传递函数中没有零点）：若系统微分方程为 对应的传递函数为ubyayayay00.1.2.012230)()()(asas

10、asbsUsYsG)119( )129( 9.1 线性系统的状态空间表达式 如果选取 为一组状态向量，即 则有 记成向量矩阵形式为0.0.0/,/,/bybyby,/,/0.201byxbyx0.3/byx 103221103.32.21.,xbyuxaxaxaxxxxx32103212103.2.1.00,100100010 xxxbyuxxxaaaxxx)139( 9.1 线性系统的状态空间表达式其状态结构如图9-6所示u0a1a2a0by1x2x3x3.x图9-6 状态图9.1 线性系统的状态空间表达式 一般情况下，由 阶微分方程描述的系统为相应的传递函数为若选 为状态变量，那么nuby

11、ayayaynnn00.1)1(1)(01110)()()(asasasbsUsYsGnnn0)1(0.0/,/,/bybybyn,/,/,/30.2.20.1.01xbyxxbyxbyxuxaxaxabyxxbyxnnnnnnn121100)(.0) 1(1./,/)149( )159( 9.1 线性系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式 如上述这样选择的一组状态变量称为相变量，得出的表达式 称为能控标准型。系统矩阵 称为友矩阵 uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210.1.2.1.xby0000)169( )169( A9.1 线性系统的状态空间

12、表达式（2）输入方程中含有输入信号的导数项（或传递函数中有零点） 从三阶推广到 n 阶系统，系统微分方程为 对应的传递函数为 只有当传递函数分子多项式的次数小于或等于分母多项的次数时，系统的状态空间表达式才存在。ububububyayayay0.1.2.30.1.2.01223012233)(asasasbsbsbsbsG)189( )199( 9.1 线性系统的状态空间表达式 当 的分子次数等于分母次数时，首先应用综合除法把 变成严格有理分式，即式中， 是直接联系输入、输出的前馈系数。式中则由 可导出能控和对角线标准型的状态空间表达式。)(sG)(sG)()()()()()(301223012230122330031123223sDsNbasasasssbasasasbabsbabsbabbsG3b012230122)()(asasassssDsN322231113000babbabbab)(/ )(sDsN)209( )219( )229( 9.1 线性系统的状态空间表达式第九章 线性定常系统的状态空间分析与综合 串联分解：将 分解为两部分相串联如图9-7所示。 为中间变量， ， 则应满足若选状态分量 ，则状态方程为)(/ )(sDsN)(/ )(sDsNzzyzzzyuazaz