解三角函数题时常用的数学思想方法

1、解三角函数题时常用的数学思想方法厦门一中 廖献武三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，加快解题速度。在教学中应加以归纳与训练，这样会有助于提高学生的数学素养和思维能力，增强学生分析问题、解决问题的能力。本文通过实例介绍解三角函数题时常用的数学思想方法。一、函数与方程的思想方程的思想,就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的联系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决.例1 已知求的值.解:令,则 又 由、解得 即解得 .函数的思想就是在解决问题的过程中,把变量之

2、间的关系抽象成函数关系,把具体问题转化为函数问题,通过对函数相应问题的解决,便可达到解决具体问题的目的.例2 已知x，y ，且x3+sinx2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.解：设f（u）=u3+sinu。由式得f（x）=2a，由式得 f（2y）=2a.因为f（u）在区间上是单调奇函数，所以f（x）=f（2y）=f（2y）.又所因x,2y，所以x=2y，即x+2y=0。所以cos（x+2y）=1.方程与函数是互相联系的，利用函数与方程之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力例3 试求方程的实根的个数以及所有实根的和解：解决这类问题

3、宜从函数的角度来考虑由得，即设，方程的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标由于，均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出内的图象由于和的单调性，可知在的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而的对称轴方程为，当时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当时，两个图象共有个交点，即方程共有51个实根由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0二、数形结合的思想数形结合思想就是把抽象的数和直观的形双向联系与沟通,使抽象思想与形象思维有机地结合起来化抽象为形象,以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位

4、圆）例4 若,记，对于函数，给出下列4个命题：该函数的值域是；当且仅当时，该函数取得最大值1；该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当时，上述命题中正确的的命题是解：根据题意，已知函数即为，由此图象可知，该函数值域是；当或时，该函数取得最大值1；该函数是以2为最小正周期的周期函数，所以命题、都不正确，而命题是正确的三、分类讨论的思想分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决,它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用.它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏例5 求函数的最大值和最小值.解:,设则时,在上单调递减, 时,时,时, 在上为增函数, 例6 已知函数的定义域为，值域为，求a

5、和b的值解：因为a值与函数的单调性有关，所以对a要分a>0，,a<0三种情况进行讨论，1）当时，则解得2）当时，与值域为不符，故舍去.3）当时，则解得在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取常需要进行讨论，三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题也要注意讨论.四、化归（转化）思想化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：化多角的形式为单角的形式；化多种函数名称为一种函数名称；化未知角为已知角；化高次为低次；化特殊为一般。转化时要特别注意问题的等价性例7. 设为第四象限的角，若，则tan2=_.解：因为=，所以，tan2=.又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得

6、tan2=.例8 已知，求：的取值范围解析：由已知得，解得：或又由已知得令，则（转化为二次函数）因为二次函数图象的对称轴方程为，故的取值范围是评析要注意转化的等价性，这里取不到最小值五、换元的思想换元的思想就是对较复杂问题有时恰当地对变量作替换,可以达到化繁为简,化未知为已知的目的.例9 求函数的值域解:令,则且,又由得.由此可得所求函数值域为: .例10 求函数y=的最值.【思考与分析】 本题属较复杂的函数求最值问题，用我们以前学习的知识很难解决，但注意到y=由，故可用sin2+cos2=1换元求解.解：原函数定义域为），且为奇函数.先考虑x，）的情况，原函数变为y=由可用换元法求解.令=c

7、os，代入，得y=sin+cos= 1y（x1）.又原函数是奇函数， y-1（x-1）.故原函数的最大值为，最小值为.【小结】 平方关系sin2+cos2=1，常用来进行三角换元.六、整体思想有时从整体的角度解题，可以减少计算量或避免分类讨论.例11. 证明cos.证明：设，b=，则ab=.因为b0，所以a=。即原式得证.七、特殊化（具体化）思想对一些比较复杂或抽象的问题，若先将其特殊化或具体化，可以更容易找到解题思路例12 函数，在区间上是增函数，且，则函数在（ ）A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值M D可以取得最小值解：由于和两函数图象的相对位置关系不变，所以可令，区间为，则，由余弦函数的性质得答案为C评述此题主要考查函数的性质，兼考分析思维能力要求对基本函数的性质能熟练运用（正用和逆用）；取特殊值可降低难度，简化命题八. 类比联想的方法例13. 已知为非零常数，xR，且f（x+）=。问f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数.又f（x+）=的结构的形式极易与tan（x+）=进行类比，故可把tanx看成是f（x）