选修4-4：参数方程教案分享

1、曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。教学重点：曲线参数方程的概念。教学难点：曲线参数方程的探求。授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程： （一）曲线的参数方程概念的引入 引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，

2、某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设的圆心为原点，半径为，所在直线为轴，如图，以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该

3、如何建立呢？（其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： 为参数 （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移，那么方程组可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得： 为参数 （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程、是否是圆心在原点，半径为的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于上的每一个点都存在变数（或）的值，使，（或，）都成立。对于变数（或）的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定

4、义出发，可以说明以上由变数（或）建立起来的方程是圆的方程；）（4）若要表示一个完整的圆，则与的最小的取值范围是什么呢？Ø ， （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程（或）叫做的参数方程，变数（或）叫做参数。（6）圆的参数方程的理解与认识（）参数方程与是否表示同一曲线？为什么？（）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程：在轴左侧的半圆（不包括轴上的点）；在第四象限的圆弧。（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。）（7）曲线的参数方程的定义（）一般

5、地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数 ，并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数，简称参数。（）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。 （8）曲线的参数方程的理解与认识 （）参数方程的形式；（横、纵坐标、都是变量的函数，给出一个能唯一的求出对应的、 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。）（）参数的取值范围；（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。）（）参数方程

6、与普通方程的统一性；（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量与之间的直接了解，而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接了解；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。）（）参数的作用；（参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。）（）参数的意义。（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。）（三）巩固曲线的参数方程的概念例题1：（1）质点开始位于坐标平面内的点处，沿某一方向作匀速直线运动。水平分速度厘米

7、/秒，铅锤分速度厘米/秒，（）求此质点的坐标与时刻（秒）的关系；（）问5秒时质点所处的位置。（2）写出经过定点，且倾斜角为的直线的参数方程。问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？ （第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。）例题2：已知点在圆：上运动，求的最大值。 （通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。）（四）课堂小结1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能

8、选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。2、思想与方法：参数思想。（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。）（五）作业课本P26，习题2.1，第1、2题。 （六）思考（1）若圆的一般方程为，你能写出它的一个参数方程吗？（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为，则经过时间该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？第105课时圆的参数方程教学目的：知识与技能：弄清曲线参数方程的概念过程与方法：能选取适当

9、的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：掌握圆的参数方程的推导方法和结论教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习圆的标准方程：学生回答二、圆的参数方程的推导：（标准式和一般式叫普通方程）1.圆心在原点的圆的参数方程圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为 (为参数) 有意义：旋转角0到2（x轴到连心线） 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问：怎样得到圆心在,半径为r的圆的参数方程呢?可将圆心在原点、半径为r的圆按向量平行移动后得到,所以圆心在,半径为r的圆的参数方程为

10、 ( 为参数)3.一般曲线参数方程的定义（书P23） 参数方程、参数及其意义、普通方程参数方程化为普通方程三、例题：书例2（参数方程的应用）四、练习：13（投影）补充例.已知A（1，0）、B（1，0）,P为圆上的一点,求的最大值和最小值以及对应P点的坐标.解:的参数方程为(为参数),= =其中,.当时, 有最大值100.,P点的坐标为().当,有最小值20.,P点的坐标为().凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.五小结：圆的参数方程和普通方程互化六、作业： 第106课时圆参数方程的应用教学目标：知识与技能：利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能

11、选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：会用圆的参数方程求最值。教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 授课类型：复习课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、最值问题1.已知P（x,y）圆C：x2+y26x4y+12=0上的点。 （1）求 的最小值与最大值 （2）求xy的最大值与最小值2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_；3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程

12、是_；为最短的直线方程是_；4若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 ；二、参数法求轨迹1)一动点在圆x2y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,的平分线交PA于Q点,求Q点的轨迹.C.参数法解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。三、小结：本节学习内容要求掌握1用圆的参数方程求最值

13、；2用参数法求轨迹方程，消参。四、作业： 第107课时圆锥曲线的参数方程教学目的：知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入： 1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。(1)圆参数方程 （为参数）（2）圆参数方程为： （为参数）2写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。3能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？二、讲

14、解新课： 1.椭圆的推导：椭圆参数方程 （为参数）2.双曲线的参数方程：双曲线参数方程 （为参数）3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程 （t为参数）1、 关于参数几点说明：（1） 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。（2） 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样（3） 在实际问题中要确定参数的取值范围2、 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地了解起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。3、 参数方程求法（1）建立直角坐

15、标系，设曲线上任一点P坐标为 （2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程4、 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间做参数与旋转的有关问题选取角做参数或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。二、 典型例题：例1设炮弹发射角为，发射速度为，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若，当炮弹发出2秒时， 求炮弹高度 求出炮弹的射程例2求椭圆的参数方程（见教材P.40）椭圆参数方程 （为参数）变式训练1. 已

16、知椭圆 (为参数)求 （1）时对应的点P的坐标 （2）直线OP的倾斜角 变式训练2 A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P，使OPA=90°，其中O为椭圆中心，求椭圆离心率的取值范围。例3把圆化为参数方程（1） 用圆上任一点过原点的弦和轴正半轴夹角为参数（2） 用圆中过原点的弦长为参数 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1选择适当的参数表示曲线的方程的方法;2体会参数的意义五、课后作业：教材P34习题2.2第108课时圆锥曲线参数方程的应用教学目的：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：选择适当的参数方程求最值。 情感、态度与价

17、值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：选择适当的参数方程求最值。教学难点：正确使用参数式来求解最值问题授课类型：新授课教学模式：讲练结合教学过程：一、复习引入：通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。二、讲解新课： 例1求椭圆的内接矩形面积的最大值变式训练1椭圆 （）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OPAP，（O为原点），求离心率的范围。例2AB为过椭圆中心的弦， 为焦点，求ABF1面积的最大值。例3抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内

18、接三角形的周长。例4 、过P（0，1）到双曲线最小距离变式训练2：设P为等轴双曲线上的一点，为两个焦点，证明例5，在抛物线的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容： 适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题五、课后作业： 第109课时直线的参数方程教学目的：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数

19、方程. 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.一、复习引入： 1写出圆方程的标准式和对应的参数方程。圆参数方程 （为参数）（2）圆参数方程为： （为参数）2写出椭圆参数方程.3复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程?二、讲解新课： 1、 教师引导学生推导直线的参数方程：过定点倾斜角为的直线的参数方程 （为参数）2、 辨析直线的参数方程：T的几何意义是指它表示点P0P的长,带符号.三、直线的参数方程应用：课本例题,此略. 四、小结：（1）直线参数方程求法 （2）直线参数方程的特点（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义五、作业：课本P39习题2.3第110课时参数方程与普通方程互化教学目的：知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：参数方程与普通方程的互化教学难点：参数方程与普通方程的等价性授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入：（1）圆的参数方程（2）椭圆的参数方程二、讲解新课： 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1） 代入法：利用解方程的技巧求出参