第七章--线性变换

1、MATLAB 软件应用第七章 线性变换1例 1 ：求矩阵 A 2221 2 的特征值与特征向量，并将其对角化 .2解1：建立m文件v1.m如下:clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;E=eye(3); syms x f=det(x*E-A) solve(f)矩阵A的特征多项式矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值 %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.%（1）当x1=5时，求解（x1*EA） X=0,得基础解系syms yy=5;B=y*E-A;b1=sym(null(B)%b1 为%( 2)（x1*EA） X=0基础解系当x2=-1时，求解（x2*EA） X=0,得基础解系

2、y=-1;B=y*E-A;b2=sym(null(B)T=b1,b2 %D=TA-i*a*t %运行结果如下：f =xA3-3*xA2-9*x-5%b2 为 所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵 将矩阵A对角化，得对角矩阵D(x2*EA) X=0基础解系ans =5-1-1b1 =sqrt(1/3)sqrt(1/3)sqrt(1/3)b2 = sqrt(2/3), 0 -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) -sqrt(1/6), sqrt(1/2)T = sqrt(1/3), sqrt(2/3),0 sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2) sqrt(1/3)

3、, -sqrt(1/6), sqrt(1/2) D = 5, 0, 0 0, -1, 0 0, 0, -1解2:建立m文件v2.m如下:clcA= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1; d=eig(A) % V,D=eig(A) % inv(V)*A*V %A 运行结果如下: d =-1-15V =247/398279/1870-1040/1351D =-100求全部特征值所组成的向量 求特征值及特征向量所组成的矩阵 可对角化，且对角矩阵为 D1145/2158-1343/16731013/3722780/1351780/1351780/13510-10ans =-1-1例 2：求矩阵 A0

4、0 的特征值与特征向量，并判别 A2是否可以对角化 .解：建立m文件v3.m如下:clca=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2;V,D=eig(a)det(V)运行结果如下：V =001D =200881/2158881/1079-881/2158881/2158881/1079-881/2158ans =0所以矩阵A不能对角化。例3:求例1中矩阵A的迹，并验证ni, tr(A)解：建立m文件v4.m如下：cic求矩阵A的迹 求矩阵A的特征值 矩阵d元素求和A= 1 2 2;2 1 2; 2 2 1;fprintfC矩阵 A的迹=%dn',trace(A) %d=eig(A)%b=

5、sum(d,1);%fprintfC矩阵A持征根的和=%d',b)fprin tf('n矩阵 A 的行列式=%d',det(A)矩阵d元素求积，即特征值求积f=p rod(d,1);%fprin tf('n矩阵A特征根的积=%d',f)运行结果如下：矩阵A的迹=3d =-1-15矩阵A特征根的和=3 矩阵A的行列式=5 矩阵A特征根的积=5>>例4：对矩阵A21，求矩阵B，使得B2 A2 1解：建立m文件v5.m如下:clcA=2 1;-2 -1; V,D=eig(A) B=V*sqrt(D)*inv(V)B2运行结果如下： V =985/1393-985/1393D =10B =2-2ans =2-2-1292/28892584/28891-11-1例 5：对实对称矩阵 A，求正交矩阵U，使得utau为对角矩阵解：建立m文件v6.m如下: clcA=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; P,D=eig(A) P'*A*P 运行结果如下：P =-963/3230-963/1615-963/1292D =102584/2889 -1292/2889 0-2/3ans =11/32