行列式知识点汇总

1、精品感谢下载载行列式矩阵kaiiai2IIIainaiiai2ka2ia22a2nIIIainkaiikai2IIIkain)1()1(HI|kanian2)1(I = kIIII Ianna2iIIIIania22IHa2naiiai2IIIIIIIIIan2IHaina2ib2ia22 + b22IIIa2nIIIIIIIIIanian2IIIm'，lkAl =Iannb2nIIIannka2ika22IIIka2naiia2iIIIaniai2a22IIIan2IHIIIHI1(1i=kAkanikan2IIIkannkaiiai2IIIain 1"aiiai2IIIC

2、n 1'kaiikai2IIIkain "ka2ia22川a2n.a2ia22IIIa2nka2ika22HIka2n圭k=)1(1(HI1(1IIIIII)1(IIIIIIIIIIKIIIkanian2)1(ann丿,anian2IIIann丿'kanikan2HIkann 丿/IIIIIIIIIHIaina2n丄1 +IIIannaiiai2HIainb2ib22HIb2nIIIIIIIIIIIIanian2HIannaii+ biiai2 + bi2IIIain +bin '"aiiai2IIIain、biibi2IIIbiJa2i+ b2ia

3、22 + b22IIIa2n +b2na2ia22IIIa2n+b2ib22IIIb2nIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIami+ bmiam2 + bm2)1(amn +bmn丿amiam2IIIamn丿、bmibm21(1bmn丿A =n阶行列式中，共有 n!项，其中正、负各一半，若负项个数为偶数，必有伴随矩阵M ij为a”的余子式，n送akj A ijAkAij=i'i=(1尸 Mjn送 ajk A jij为a”的代数余子式;'aiiai2IIIainAiiA2iIIIAnia2ia22IIIa2n=AJAi2A 22IIIAn2II

4、IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<anian2IIIann丿1AinA2nIIIA nn .丿(Aij为aij的代数余子式)An元n阶非齐次线性线性方程组:即 AX =BA -0有且仅有唯一解Xj = IA j/| A(i) A"A=AA J A EA可逆T A-ir(A*)r(A) = n r(A) = n - i r(A) < n-if aiixia2iXiL.aniXi+ 42X2 +Ht+ainXn+ a22X2 +Hi +a2nXnIIIIIIIIIIIIHIIII+ an2X2 +川 +annXn=bi=b2其中Ajaiia2iIIIaniai2a

5、22IIIan2bi)l( b2川IIIbnlHain寸 a2n_|III(5)A=la ic(A*)b'd；二 A*=【dl-c-b) afA-i =f d D ad-bc'i-c-b)n元n阶齐次线性线性方程组:aiiXia2iXi©niXi82X2 + 川 ainXn72X2+111 FnXnIIIIIIIIIIIIHIIII72X2+111 +annXn=0范德蒙行列式aia2IIIIIIan(i)齐次线性方程组有非零解的充分必要条件:(2)如果 A - 0，齐次线性方程组只有唯一的零解A =0。n-i ain 4a2IIIn-ian'=n(aj-aj

6、I 恒Vj刍-i_ A=|a*n-i(kA) = k AA*|An-JA 0 D10 B丿A B；A-i 0BA 0 1 TA Bo B-i 厂 I 0AbT(A)=1 n- 2A A(AB)* = BA占)T =(AT)*转置矩阵及对称矩阵(AB) T=BTAT，A为对称矩阵二：AT =A ； A为反对称矩阵=aT=-A=阶数n为奇数时， A =A和B均为对称矩阵， AB为对称矩阵的充要条件： AB=BAA为正交矩阵时=A也为正交矩阵；A为对称矩阵时= A 也为对称矩阵；* Tn i *A为反对称矩阵时 =(A ) =(-i) A =A阶数n为奇数，A为对称矩阵；n为偶数时，A为反对称矩阵

7、A0=E ； AK=O(k>i)时不一定有 A =0矩阵A=(a ij)n闻可逆的充分必要条件:(1)(AB) -1=B-1A-1(2)(KA)分块矩阵-11a-1A - 0(A为非奇异矩阵)(可逆矩阵一定是方阵)(3)A可逆at可逆(at)-1=(a-1)t2 B、八-1/ -1-1 -1 、A -A 1BD1(A O'"八-1rA-101=A =-1，A =f=A =111D丿(0 D-1 丿lC D丿V-dca-1 d-1 丿A/<0B0(A00A =C-1fA-1A-1A-1准对角矩阵D-1ICQ1<1|0Bl，(-1)m n|A|BIk勺11III

8、IIIA11A12a22III二 Ana22IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII，分块矩阵转置A =A21A22ann丿IIIannIIIIIIAm1m2AA2*1(A'r a珂，1 a2A-1 =A-12*.At J111!1 '1A-1t ；區.丿A =la3<11a2IIIIIIIIIIIIl-k1丿1010|0I0A1nA2nIII转置 "Aj为分块矩阵T AT11at12IIIIAT1nat21IIIatm1at22IIIatm2IIIIIIIIIat2n)11Atmn求逆矩阵:(A，E)-行初等变(E, A-1)求AX=B的解：(A，B)

9、-行初等变J (E，A-1B)矩矩阵A=(a ij)存在一个K阶子式不为零，并且所有的K+1阶子式全为零，则称 A的秩为K，记为：r(A)=k阵(1)(4)(6)(7)矩阵A=(aij)n刈可逆的充分必要条件：r(A)=n任一矩阵每减少一行(或列)其秩减少不超过i矩阵 A=(aij)m= r(A) < minm,n设 A=(a ij)ms， B=(a j )s>n = r(AB)兰 min r(A),r(B) A,B 均为 n 阶方阵=r(AB) > r(A) +r(B) nA为m X n矩阵，B为n矩阵，当AB = O时，r(A) + r(B)兰n n为A的列数r(A) +

10、 r(B) > r(A+B)，当 A+B=kE = r(A) + r(B) > n由 r(AB) < minr(A),r(B) = 若 r(A) =i = A 可分解为 A= ”a2(bi b2 山 bn)，且 A2=( aiR + a2b2+IH +anbn)AWn丿二 A的特征值 Ai=aibi+a2b2+i| +anbn，A2=0当 r(A) =i 时，A2='A其中 £'立a= Am=m-iAAB = O时，A和B可以不为方阵，r(A) + r(B) n中的n为A的列数理解为AX = O中X的个数(1) r(A)=r(A T)=r(ATA)

11、Ax =0 和 ATAx =0 同解；(Aa)T(Aa) =0= A* =0(2)若 A = 0= r(A) >1； (3 )若 A 可逆=r(AB)=r(B)，若 B 可逆=r(AB)=r(A)AB型AB珂阿耳，川叫)bib2iIIIIbnibi2b22HIbn2)1( III III illbis b2sHIbns丿等价A三B表示AB的列向量组可由 Annn=(送bii%正bisW) iWirniW的列向量组线性表示二 r(AB) "(A)(i)向量组与它的极大无关组等价；(2 )向量组的任意两个极大无关组之间等价；(3)两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相同向量组

12、a i,叫川，比可由向量组卩i,卩2,川，Pt线性表示，则rWiJIMsR r(Pi,卩2川ft)向量组 际卩？川，叭可由向量组i卩2川卩s线性表示，则 r(Pi, P2,川ft) "(SJ川,叫)戶 r(A) = r(B) = A-BAB =0表示B的列向量是齐次线性方程组 AX=0的解AB =0= AB=A(Pi,p2,IILPn) = (APi,Ap2,IH,APn) = (0,0,lll,0)= 0=是方程组 AX =0 的解=r( P i,P 2川 f n)兰 nr(A)AB =0( A和B均非零矩阵)=r(A) +r(B)< n = r(A) < n ， r(

13、B)A和B为任意两个非零矩阵， AB = 0= A的列向量线性相关，B的行向量线性相关二A的列秩nA的列向量线性相关，B的行秩nB的行向量线性相关A为mX n矩阵，B为n m矩阵，当AB = E= A的行向量线性无关，B的列向量线性无关线性方程组AX =B 有解二 r(A)=r(A)(i) r(A)=r(A)= r =n 唯一解；(2) r(A)=r(A)= r vn无穷多个解；(3) r(A) = r(A) 无解AX =B，其中设 AN% 川,叫)，X=(Xi,X2川,Xs)T，B = (Pi,p2,IH,Ps)方程组有解=(i) r(A)=r(A|B)等冋(戸2,川,叫)-炉启2川卩时駡山

14、，氏)(2) P 1,2,川，卩s可由a 1,2川,S线性表示(X1,X2,川，Xs类似系数k1,k2,川，ks)(1) r(A)= r = n 仅有零解；(2)=如果方程的个数 <未知量的个数，即A是m X n矩阵，AX = 0有非零解=Qs是AX =0的基础解系，要使 齿，p2,川，PS也是AX =0的基础解系<= P1,P2 川，P s线性无关，且 P1,P2,ll,Ps)齐次线性方程组AX =0 r(A)= r vn 无穷多个解(包括零解)A的行数 < 列数=AX = 0必有非零解r(A)= r vn 二A的列向量线性相关A列向量组线性无关 =AX = 0只有零解；A

15、行向量组线性无关 =At列向量组线性无关 = AtX =0只有零解r(A)二r(A T )=r(AA T)，若 AAT 列向量=r(A) = AA TX =0只有零解如果叫，口2,川,"s为AX =0的解向量组的一个极大无关组，则称口2,川，匕为该方程组的一个基础解系只有当齐次线性方程组 AX =0存在非零解时，才会存在基础解系AX = 0中系数矩阵A的秩r(A)= r vn =方程组得解向量组的秩为 n - r设O 1,5，川，叫线性无关，P1,P2，ill，Ps可以由a 1,«2,川Qs线性表示，且(P1,P2川，Ps)=似1戸2川,Os)A01,02,川，0s线性无关

16、的充要条件是|A = 0如果u 1,5川p1,p2，ill，ps 可由 a 102,11 Qs 线性表示，即 r(0t1,0t2,lli，Os)=咆1戸2,|"化向量P可以表为向量组 旳戸2,川Qs的线性表示法唯一的充分必要条件：00 2川®s线性无关向量组a 1,s,川，化线性无关，而向量组 口1,02川，口5,0线性相关=向量P可以表为向量组 4, a 2川，a s线性组合(1)向量组a 1,2, IlZs可由向量组p1,p2,川，Pt线性表示，且SAtAX =0 通解：X =&口1 +k2口2 卄H +kn/n-r ； AX =B 通解：X =%+&叫

17、 +k2H2 +川kn-Z'n-r(H 0为AX =B的特解，如果叫42是AX =B的两个解=叫设n 1,口2,川,現是AX = B的解，且设耳1,口2,川,現是AX =B的解，且三个向量可以由两个向量线性表示，则该三个向量必线性相关+ ilLkSd/irn-r为其导岀组AX =0的一个基础解系)-駡是其导出组AX =0的解k1+k2 + ill+ks =1= krk/il +k?is 也是 AX =B 的解k1+k2 + ill+ks =0= kl 卄2耳2 +川 +ks也是 AX =0 的解(2)向量组a 192,川，比线性无关，且可由向量组 Pi,p2,川，Pt线性表示二S<

18、; t二 如果向量组a 1,02,11(,%可由向量组P1,P2,川，Pt线性表示，则 MSS川®s)兰 r(p1,p2川 Ft)(解释：g 1,a2,iH Qs中的极大线性无关组可由 p1,p2,HI,Pt中的极大线性无关组来表示，根据性质(2)线性组合极大线性无关组正交化P =(b1,b2,ill,bn)TQs =(a1s,a2s,iH,ans)T(s=1，2，.)可 PQ，川,0)T，2 =(0,1，川,0)T，.,引=(0,0，川,1)T如果存在一组数k1,k2ll,ks，使得P=k1+k2 +川+ksas如果一个向量组 ,02,川，Os中的部分向量组01严2川Ft (tvs

19、)(1 )0 102,川，线性无关(2)向量组中的每一个向量都可以表为川，J的线性组合(将向量组中的任意一个向量添加到部分组01,0 2,川，中，得到新的向量组都线性相关)=1,02|(,为该向量组的一个极大线性无关组Rn的标准正交基0 =但1月2,川，an)T P =(b1,b2川，bn)T向量内积性质：(1)TP =P Tq21(3)a T (P + 了)= Ot Tp +ot T了零向量0亡Rn，可由Rn中的任意向量组«s线性表示;在Rn中任意向量P均可为 乩®,川，®的线性表示向量a的长度（或模）为 Ja &，记为|网| （自身内积）向量组的秩:向

20、量长度性质线性相关：存在R中S个不全为零的数k1,k2,川,ks,使得k1+k|（ + k0线性无关：只有k1二k2 =川=ks =0时，k1+k| +ksas = 0才成立单位向量组 乳®，川，Sn线性无关耳，6川Zn可以表示任一个n维向量二,5,川,与引，5,川，等价 =%,&2,11，0.线性无关充分必要条件：a12>Hn可表示任一个n维向量 向量P可以表为向量组 ,02,HI,as的线性组合的充分必要条件：s元非齐次线性方程组有解向量组a 1,a2l（,as的极大无关组所含 的向量个数，为该向量 的秩，记 何宀川Qs）向量组a 1,02,川Qs线性无关=3102

21、川Qs） = s JsllWs三P1,P2 川，Pt= 21,口2,川化）=（卩1,卩2川，3s）（两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等）叫I > 0且叫I =0二 a = 0; II k叫I = kll叫I，且 a Tp =-IPII非零向量化为单位向量或标准化向量的方法:施密特正交化方法向量组a12（/xs线性相关二s元齐次线性方程组有解； 向量组01,02|,«5线性无关二 s元齐次线性方程组仅有零解 在Rn中向量组 旳,川，tts的线性相关的充分必要条件：01,&2| Qs中至少有一个向量可以表为其他向量的线性组合设a 102，川Qs是Rn中

22、的一个线性无关的向量组，令氏，p2=J2两个向量线性相关的充要条件：对应元素成比例ft T PPs"s-兽 P1<<Ps-1向量组02,川es的线性无关Qj =（aij,a2j,IH,anj）T,若将该向量组的每一个向 T P5|-s 尸2 R 山 rs-1 B-p 邛 P"川p 邛 Ps-1L 2 L 2L S.1 L S.1暮限川，是一个正交向量组，且 邙1,卩2川,叮三51严2,11|血Rn中的几个向量a 10 2川«n满足：（1 ） a 10 2 ,川® n中任意两个向量都正交(2) a j即:atA = 01® 2川 9n

23、)，” T0严1T0211n为Rn的一个标准正交基sSTa 2 2量都增加m个分量，得到向量组线性无关% = （a1j ,a2j , I I hanj ,a（n+1）j ,IH,a（n知）j）T；若或者线性相关，则前者也必然相关。1讣ji。1 P 2 , 11 £ n为标准正交基，A为正交矩阵向量组的个数大于向量组的维数 =此向量组线性相关（列 > 行）Rn中的任意n+1个向量一定线性相关矩阵特征值和特征向量相似矩阵与矩阵可对角化设A为n阶矩阵，如果对于数 比0，存在非零列向量 Rn，使得A* =卜一®， 则称打为A的一个特征值，"为A的属于特征值 上0的特

24、征向量相设A、B为n阶矩阵，如果存在一个 n阶可逆矩阵P，使得P AP=B=矩阵A与B相似，记aL B 性质：（1 ）（反身性）aL A （2）（传递性）aL B，bL C = aL C设A=(a j)为n阶矩阵，则A0为A的特征值，a为A的属于特征值a0的特征向量的充 分必要条件：(1)屁为特征方程 卜E-A|=O根；(2) g为齐次线性方程组(k0E-A)X=0非零解(1 )设A0是A的一个特征值2 2A0是A2的一个特征值是Am的一个特征值1/打是A-1的一个特征值A |0是A*的一个特征值A0对应的特征向量与其他特征值对应的特征向量也相同注：Am的特征向量不一定是 A的(2)设A是n阶

25、矩阵=A与AT有征值=特征向量不一定相同(3)相似矩阵的特征向量是不一样的特征向量若a为A的特征向量，A L B=B的特征向量是P七(4)n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零设A是n阶矩阵，A1(Am是A的m个不同的特征值，%川2皿分别是A的属于的特征向量=线性无关特征值和特征向量求矩阵:A(a1，a2，IIWn )=(聊 1»出2，111入叫)=%)(%,02,111,叫)'n矩阵A的所有特征值之和等于 Z aiii=1打 +上2 +il|+Am =a11 +a22 +H|+ann ；矩阵A的所有特征值之积等于aI(若A不可逆=0是A的特征向量)n阶矩阵A可

26、逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零)AL B= AtL BT,AmLI Bm ；A-1 LI B-1 相似矩阵都可逆或都不可逆； A，B具有相同特征值扎E-A = f (A) f (B)，|f(A)| =|f (B)(其中：f (A)为 n 阶方阵 A 的多项式),"A 0门"B 01AL B，CL D= I Io C 忖 D；IA =1 B , r(A) = r(B)；当 A 可逆时，ABL BAu A(AB)A = BAaE-B A、B有相同特征值,A和B不一定相似(1) A是实对称矩阵,B为对角矩阵，若aL B= a三B ；( 2 ) aL B,且B是实对称矩阵=A与B有相同秩和特征值，且A也是实对称矩阵(2) A经过行的初等变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价B= PAA经过列的初等变换变为B,则A的列向