立体几何证明题(文科)

1、立体几何练习1.如图：梯形ABCD和正 PAB所在平面互相垂直，其中1 -AB，且O为AB中点.2ADCD求证:BC/ 平面 POD ;(II)求证:AC PD.AB/ DC,BO.将菱形ABCD沿对角 DM 372.2.如图，菱形ABCD的边长为6 , BAD 60, AC I BD线AC折起，得到三棱锥 B ACD ,点M是棱BC的中点,(I)求证：OM /平面ABD ；(n)求证：平面 ABC 平面MDO ；(m)求三棱锥 M ABD的体积. B3.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC, / ADC=90 1BC=AD, PA=PD, Q 为 AD 的中点.

2、2(I )求证：AD丄平面PBQ;(n)若点M在棱PC上，设PM=tMC ,试确定t的值，使得PA/平面 BMQ.MB4.已知四棱锥P ABCD的底面是菱形.PB(I)求证：PC /平面BDE ;(n)求证：平面 PAC 平面BDE .C5.已知直三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等，且 中点.(I)求证：平面BiFC/平面EAD;D,E,F 分别为 BC,BB,AA,的(II )求证：BCi平面EAD.6.如图所示，正方形 ABCD与直角梯形ADE 90,AF / DE , DE DA2AF(I )求证:AC 平面BDE ；(n)求证:AC / 平面 BEF ；(m)求四面体 BDEF

3、的体积.C7.如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB=AD，/BAD=60 ,E、F 分别是 AP、AD的中点求证：(1)直线EF/平面PCD;(2)平面BEF丄平面PAD.4Id81FAD把ABD折8.如图，四边形 ABCD为正方形，QA丄平面ABCD, PD/ QA, QA=AB= PD.2(I)证明：PQ丄平面DCQ(II )求棱锥QABCD的的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值.9.如图，在 ABC 中，/ABC=45。，启AC=90 ,AD 是 BC 上的高, 起，使/ BDC=90 。(1)证明：平面ADBX平面BDC;(2 )设BD=1，求三棱锥 D-AB

4、C的表面积。参考答案:111.证明： 因为O为AB中点，所以BO - AB,又AB/CD, CD -AB ,22所以有 CD BO,CD/BO,所以ODCB为平行四边形,所以 BC/OD,又DO 平面POD, BC 平面POD,所以BC/平面POD .(II)连接 OC.因为 CD BO AO, CD / AO,所以 ADCO 为平行四边形,又AD CD ,所以ADCO为菱形,所以AC DO ,因为正三角形 PAB , O为AB中点,B所以PO AB，又因为平面ABCD 平面PAB ,平面ABCD I平面PABAB，所以PO 平面ABCD，而AC 平面ABCD，所以PO AC ,又PO I D

5、O O，所以AC 平面POD .又PD 平面POD，所以AC PD .2.(I)证明：因为点 O是菱形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点,所以OM是ABC的中位线,OM /AB.因为OM 平面ABD, AB平面ABD ,所以OM /平面ABD .四边形BCQA为平行四边形，且 N为AC中点,）证明：由题额意，OMOD3,因为DM3/2,所以DOM90o,又因为菱形ABCD，所以 ODAC.因为OM 1ACO,所以OD平面ABC因为OD平面MDO ,所以平面ABC平面MDO .（m）解：三棱锥 M ABD的体积等于三棱锥(nODOM .CABM的体积.由（n）知，OD

6、 平面ABC ,所以OD 3为三棱锥D ABM的高.1ABM的面积为BA21BM sin 120o -2所求体积等于-S abm33.证明：(I) AD / BC,BC= - AD,2Q为AD的中点,四边形BCDQ为平行四边形,CD / BQ . / ADC=90 / AQB=90即QB丄AD. PA=PD, Q 为 AD 的中点,PQ 丄 AD.T PQQBQ=Q,AD丄平面PBQ(n)当 t 1 时，PA/平面 BMQ.C连接AC,交BQ于N,连接MN.vBC/Z -DQ,-2点M是线段PC的中点, 二 MN / PA MN 平面 BMQ, PA 平面 BMQ, PA / 平面 BMQ.4

7、.(I)证明：因为E , O分别为PA , AC的中点,所以 EO II PC 因为EO平面BDEPC平面BDE所以PCII平面BDE (n)证明：连结OPCAB因为BD平面BDE所以平面PAC 平面BDE 5.(I)由已知可得AF/BiE , AFBiE ,四边形AFBiE是平行四边形,AE/FBi ,Q AE 平面BiFC , FBi平面BiFC ,AE/ 平面 BiFC ； 又D,E分别是BC,BBi的中点,DE/BiC ,Q ED 平面 BiFC , B,C 平面 BiFC ,ED/平面 BiFC ；Q AE I DE E,AE 平面 EAD，ED 平面 EAD，平面BiFC /平面E

8、AD .(n ) 三棱柱ABC A B-C-是直三棱柱,CiC 面 ABC，又 Q AD 面 ABC ,CiC AD.又Q直三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点,ABC是正三角形， BC AD，而CiC I BC C , CCi 面 BCCiBi , BC 面 BCGBi ,AD 面 BCGB ,故 AD BCi .Q四边形BCCiBi是菱形，BCi BiC，而 DE/ BC ,故 DE BCi ,由 AD DE D , AD 面 EAD , ED面 EAD ,得 BCi 面 EAD .6. ( I )证明：因为平面 ABCD 平面ADEFADE 90，所以DE 平面AB

9、CD ,所以DE AC .因为ABCD是正方形,所以AC BD，所以AC 平面BDE.(n )证明：设ACI BD O，取BE中点G ,连结FG , OG，1所以，OG - DE .2从而四边形AFGO是平行四边形，FG/AO.BEF，即 AC/平面 BEF .AB 4因为FG 平面BEF , AO 平面BEF ,7.解：（1）因为E、F分别是AP、AD的中点,EF PPD,又Q PD面 P CD,EF面PCD（m）解：因为平面ABCD平面ADEF ,AB AD,所以AB 平面ADEF .因为 AF / DE,ADE90, DE DA2AF 2 ,1所以DEF的面积为一ED AD 2 ,所以A

10、O/平面21所以四面体BDEF的体积 -Sdef312直线EF/平面PCD(2)连接 BDQ AB=AD,BAD=60o, ABD为正三角形F是AD的中点， BFAD,又平面PAD丄平面 ABCD,面PAD面 ABCD = AD, BF 面 P AD,BF 面 BEF所以，平面 BEF丄平面PAD.8.解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形因为QA丄平面 ABCD,所以平面 PDAQ丄平面 ABCD,交线为 AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ，可得PQ丄DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ= PD,则PQ丄QD2所以PQ丄平面DCQ.(II )设 AB= a.由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高，所以棱锥 Q ABCD的体积V13由(I)知PQ为棱锥P DCQ的高，而PQ= J5a , ADCQ的面积为、一a22所以棱锥P DCQ的体积为V2 1a3.3故棱锥QABCD的体积与棱锥P DCQ的体积的比值为19.(1 )折起前AD是BC边上的高,当 A A