立方和与立方差公式

1、第一阶梯 例 1我们来计算（ a+b ） （a-b）=a 2-ab+ab-b 2=a2-b 2, 这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(1+2a)(1-2a)(3)(2x 3+5y 2)(2x 3-5y 2)2 2 2 2(4) (-a 2-b 2)(b 2-a 2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架 " ，如（ 1）2x+3y )(2x-3y) =( )2-(）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的 b，

2、并在" 框架 "中填数计算。参考答案：(1) ( 2x+3y ) (2x-3y)=2 2 2 22x ) 2-(3y) 2=4x 2-9y 2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)22=1-4a(3) (2x 3+5y2)(2x 3-5y2)=(2x 3) 2-(5y 2) 2=4x6-25y 42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 (4)(-a -b )(b -a )=(-a -b )(-a +b )=(-a ) -(b ) =a -b说明：另一项互为相反数。平方差公式（ a+b ） （a-b）=a 2-b 2的特征是：1）左边是两个二项式相乘

3、，并且这两个二项式中有一项完全相同，2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式 一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使2 2=a例 2计算（a+b） 2 2 2 2(5) (-a+2b)=(-a) +2 - (-a)- 2b+(2b) =a -4ab+4b说明:1、（ a+b） 2=a2+2ab+b2与（ a-b ） 2=a2-2ab+b 2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。2、这两个公式的

4、结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时） 这两项乘积的2倍。a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。 和（a-b ） 2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a 2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b) 2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b 2=a2-2ab+b 2,即(a 士 b)它们积的士 2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5) 2(2-y)2(3a

5、+2b)2(5) (-a+2b)提示:在套用完全平方公式进行计算时,定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是bo参考答案:(1) (x+5) 2=x2+2 - x - 5+52=x2+10x+25(2) (2-y)2=22-2 - 2 y+y2=4-4y+y 2(3a+2b) 2=(3a) 2+2 - 3a - 2b+(2b) 2=9a2+12ab+4b2（4）（討一”F =（討尸一2 討*+16（即二项式的平方形式）3、公式中的字母4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a 士 b）2=a2± b2这样的错误。例 3计算(a+b) (a

6、2-ab+b2)和(a-b)(a 2+ab+b2)，可知(a+b)(a 2-ab+b 2)=a2-a 2b+ab2+a2b-ab 2+b(3x-4y)(9x 2+12xy+16y 2)=(3x-4y)(3x)=a3+b3, (a-b ) (a2+ab+b2)=a 3+a2b+ab2-a 2b-ab 2-b 3=a3-b : 即(a 士 b)(a M-ab+b2)=a 3士 b3,等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），公式计算:(1)(x+2)2(X -2X+4);(3-y)(9+3y+

7、y2)；(3)(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);（4）才七叫宀評+护）(5)(3x2-2y 2)(9x 4+6x2y2+4y4)提示:先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b,最后再代入公式计算。参考答案:(1)( x+2) (x 2-2x+4)=(x+2)(x2-x - 2+22)=x 3+23=x3+8(2) (3-y)(9+3y+y 2)=(3-y)(3 2+3 y+y2)=33-y 3=27-y 32+3x - 4y+(4y 2)=(3x) 3-(4y) 3=27x3-64y 3（-戌+ -&）（-/-_必十-X）=（

8、如+（押=討+存(A + 扣(1口)2 - A 寺 + (押224224222 22222232366(5) (3x -2y ) (9x +6x y +4y )=(3x -2y )(3x) +3x - 2y +(2y ) =(3x ) -(2y ) =27x -8y说明:1、注意对公式的理解和记忆（1 ）项数特征：两项乘三项f积为二项，（2）符号特征:二项的因式若两项都为 "+" ，则三项的因式符号为 +， - ， +，积的符号与二项因式的符号相同，二+，积的符号与二项因式的符号相同，项的因式符号若为 "+" ， "-" ，则三项的因

9、式符号为 +， +即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和 "还是两数的 "立方差 "，主要看乘积中第一个乘式是 "两数和 "，还是 "两数差 "。2、公式中的字母 a、b 仍代表任意数或代数式。第二阶梯例 1利用乘法公式计算：2(1) ( x+3)(x-3)(x 2+9)(2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16)(4) (a-b)(a2+ab+b2)(a 6+a3b3+b6)提示：1）小题可两次使用平方差公式；2）小题先使用平方差公式，再使用完

10、全平方公式；小题先使用平方差公式，再使用立方差公式4）小题两次使用立方差公式。参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2 2 2 2 2 2 42+9)=(x 2-9)(x 2+9)=(x 2) 2-9 2=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 42-b 2)=(a 2-b 2)(a 2-b 2)=(a 2-b2) 2=(a 2) 2-2a 2b2+(b2)2=a4-2a 2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x 2-4)(x 4+4x 2+16)=(x 2)3-4 3=x6-642 2 6 3

11、 3 6 3 3 6 3 3 6 3 3 3 3 9 9 (4)(a-b)(a+ab+b )(a +a b +b )=(a -b )(a +a b +b )=(a ) -(b ) =a -b说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。例 2运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)(a-b-c)(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)2(3) (x+2y+z)(4) (2x-3y-4z)提示：计算。1）（ 2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（ 4）小题可利用完全平方公式进行参考答案：(1) ( a+b+c)(a-b-c)=a+(b+

12、c)a-(b+c)=a2 2 2 2 2 2 2 2-(b+c) =a -(b +2bc+c )=a -b -2bc-c(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=a-(2b-3c)a+(2b-3c)=a2-(2b-3c) 2=a2-(4b 2-12bc+9c 2)=a 2-4b 2-12bc-9c 2(3)x+2y+z ) 2=x+(2y+z) 2=x 2+2x(2y+z)+(2y+z) 2=x2+4xy+2xz+4y 2+4yz+z 2(4)(2x-3y-4z)2 2 2 2 2 2 2=2x-(3y+4z)=(2x) -2 - 2x - (3y+4z)+(13y+4z)=4x -4x(3

13、y+4z)+(19y+24yz+16z2)=4x -12xy-16xz+9y +24yz+16z说明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同， 可一题多解，如（ 4）小题还可添加括号为 （2x-3y ）-4z 2，但得出的结果均相同。例 3利用乘法公式计算：1)( x+1) (x-1)(x 2+x+1)(x 2-x+1)2) (a+b)(a-b)(a 2+ab+b2)(a 2-ab+b 2)提示：1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个

14、因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（ 2）小题类似。参考答案：1）解法一：2x+1 ) (x-1)(x 2+x+1)(x2-x+1)= (x22-1)(x2 2 22+1) 2-x 2= (x22-1)(x4 2 2+2x +1-x )= (x2-1)(x42+x +1)= (x2-1)(x2222)2+x 2-1+1 2= (x2 3 3 6) -1 = x -1解法二：2x+1 ) (x-1)(x +x+1)(x22-x+1)2+x+1)= (x+1)(x 2-x+1)(x-1)(x =( x3+1)(x 3-1)3 2 2= (x 3) 2-1

15、2 = x 6-1解法一：2）(a+b) (a-b)(a 2+ab+b2)(a 2-ab+b2)=(a2-b2)(a 2+b2) 2-(ab) 2=(a2,2、,“ 2,2.4 2, 2、-b )(a4+2a b +b -a b )=(a2-b 2)(a4+a 2b2+b4)=(a2) 3-(b 2)36.6=a -b解法二:(a+b) (a-b)(a 2+ab+b2)(a 2-ab+b 2)=(a+b) (a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)/3 I 3,3 .3=(a +b )(a -b )3232=(a ) -(b )6-6=a -b说明:进行整式乘法运算时，要注意观察题目的

16、特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易岀错。第三阶梯例1(1)化简化求值：(x+2 ) (x 2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中(2)解方程：(2x+1 ) 2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示:用乘法公式进行化简 参考答案:(1)2 2(x+2) (x -2x+4)+(x-1)(x+x+1)=x 3+8+x3-1 =2x 3+7原式=2x(|" = 2x(嶋)+ 一券e磅2(2)( 2x+1) -(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解:

17、(4x2+4x+1 ) -(x 2-1)-3x 2+3x=04x2+4+1-x 2 + 1-3x 2+3x=07x=-2说明: 在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式,如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写岀结果，这充分简化了计算过程。例2已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。(1) a2+b22 2 a -ab+b2(3) (a-b) a 3+b3提示:由完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2,可知a2+b2=(a+b) 2-2ab,利用已知条件可求岀a+b2的值，再分别代入（ 2），（ 3），（ 4），可求出（ 2），（ 3），（ 4）式的

18、值。注意，第（ 4）小题应逆用立方和公式。参考答案：(1) a 2+b2=(a+b 2)-2ab=3 2-2X (-8)=9+16=252 2 2 2(2) a 2-ab+b 2=a2+b2-ab=25-(-8)=25+8=33(3) (a-b)2=a2-2ab+b 2=a2+b2-2ab=25-2 X (-8)=25+16=41(4) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=(a+b)(a 2+b2-ab)=3 X 25-(-8)=3X 33=99说明：灵活运用公式变形和逆用公式，这些都是常用的解题技巧。例 3若两个连续自然数的平方差是 17，求这两个自然数的和？提示：设一个自然数

19、为 X,另一个自然数为X+1，根据题意，列岀方程,求出这两个自然数，进而求岀它们的和参考答案：解：设这两个连续自然数是 X,X+1根据题意得，(X+1) 2 -X 2 =17X2+2X+1-X 2=172X=16X=8x+1=8+1=92X+1=17 x+(x+1)=8+9=17B.a2+3ab+9b2答：这两个自然数的和是17。说明:解方程时还可逆用平方差公式(x+1) 2-x 2 = (x+1+x) (x+1-x)=2x+1四、检测题选择题1 .下列各式能用平方差公式进行计算的是(A. (a+2) (-a-2)B. (-x-y)(y-x)C.(“尹D.(2x+y)(x-2y)m的值为()2.若16x2+mxy+81y2是一个完全平方式，则72A.36B.72C.-72D. 士3. a3-27b 3的一个因式是()A.a2+3ab+9b2C. a2-3ab+b 22 2