有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

1、有关定积分问题的常见题型解析题型一利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：(1)；3x3x 1 dx(2)：Tx1Txdx(3)：J4利用微积分基本公分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数,式代入求值。评注：利用微积分基本定理求定积分bf (x)dx的关键是找出Fx) af(X)的函数F(x)。图像为圆或者三角形则直接求如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像, 其面积。题型二利用定积分求平面图形的面积 例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求

2、出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。评注：求平面图形的面积的一般步骤：画图，并将图形分割成若干曲边梯形；对每个曲 边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：(1)由三条直线 x=a、x=b (av b)、x轴，一条曲线y= f围成的曲边梯形的面积：bS=f x dx，如图 1。a(2)由三条直线x=a、x=b (av b)、x 轴，一条曲线y=f围成的曲边梯形的面积：bf x dx

3、as=bf x dx，如图 2。a(3)由两条直线x=a、x=b (av b)、两条曲线 y= fy= g xg x )围成的平面图形的面积:bS= f x g x dx，如图 3。a题型三解决综合性问题例3、在曲线y2x (x > 0 )上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为 。12试求：（1）切点分析：设出切点 围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所A的坐标，使问题解决。评注：本题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲线三角形AOC的面积。定积分的两种非常规用法定积分是新课标

4、的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、 平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中,F等于（）其中水的密度为kg/m3,上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力g单位是m/s2.hA. 0 gahdhaB. 0 gahdha 1C. 0 2 gahdhD.a0 2 gahdh二、利用积分证明不等式80 1例 3.求证 16 < < 17.k 1例析定积分的解题功能.

5、在此过程、“以均匀代定积分是通过无限分割、近似替代、借助求和再利用极限来达到计算的目的中，因为无限分割，所以求和时可以近似替代即“以直代曲”、“以匀速代变速”非均匀”这就是定积分处理问题的基本思想，下面通过具体例子来展示这种思想在解题中的具体体现。一、求由一条曲线y=f（x）直线所围成平面图形的面积例1.求由曲线y= sin x与x轴在区间0,2 n 上所围成图形的面积 S.分析 因为y= sin x在0, n 上的积分为正值，在n ,2 n 上的积分为负值，其面积应取 绝对值.二、求由两条曲线和直线所围成图形的面积例2.求曲线y=ex ,y=e-x及x=1所围成的图形面积.分析 根据条件作出

6、图形，由曲线方程解出积分上、下限，利用图形确定被积函数，利 用定积分求出面积.-3-三、求变速直线运动的路程例3 一点在直线上从时刻 t=O(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求：在t=4 s的位置；在t=4 s运动的路程.四、变力作功1 N的力例4.由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比.现已知 能使一个弹簧伸长 0.01 m,求把弹簧拉长0.1 m所作的功.五、定积分的综合应用4例5.已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为一，求a的值.3分析：根据a的取值的不同分类讨论，通过解方程求解.略谈定积分的应用物理、力学等都有十 由

7、于我们目前的基础知识有限，我们可以本文在课本的基础上再向同学们介绍一点另外的应用，供学习时参考。数学在生活中诞生，在应用中发展；定积分也是如此，它从计算曲边梯形的面积开始 到计算曲线的弧长， 再求变速直线运动的物体的位移，到后来在几何、 分广泛的应用，充分展现了定积分的威力。当然， 掌握的应用是有限的，1、求面积2、求体积例2、将抛物线例1、求由y2求所得旋转体的体积。3、物体的作功例3、一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果20N的力能使弹簧伸长3cm，求把弹簧从平衡位置拉长 13cm （在弹性限度内）时所做的功。一道定积分问题的多种解法计算定积分xdx o0解法一

8、：（利用定积分的定义）1）分割：把区间0,1等份成n个小区间J,丄（i1,2,3,.,n），其长n n其面积记为度为x 1 ,把曲边梯形分成n个小曲边梯形，nSi (iI2,3,，n) o（2）近似代替:S f（）xn用小矩形面积代替小曲边梯形面积,i 1n1),(i1,2,3,.,n) o（3）作和:Si1)4r12n(n 1)（4）求极限：Slim 弓(in i 1 n1)lim皿n 2 n所以；3xdx 3 o解法二：（利用定积分的几何意义）所求定积分为由y 3x,x 0, x 1, y 0围成的图形的面积。如图所示，所求定积分即为阴影部分的面积，且面积为3。3o2（利用微积分基本定理）

9、21021203 o2解法三:所以3xdx133xdx x 02用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧 .一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便 .例1求抛物线y22x与直线y x 4围成的平面图形的面积.二、巧用对称性在求平面图形面积时, 算过程的常用手段.注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题,也是简化计例2求由三条曲线x2,4y X2, y 1所围图形的面积.三、分割计算例3求由抛物线x2 4x 3及其在点M(0, 3)和点N(3,

10、0)处两条切线所围成的图形的面积.用定积分求面积的两个常用公式求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一,F面介绍求面积的两个常用公式及其应x用.、两个常用公式公式一：由连续曲线y= f(x)，直线x= a, x= b与y= 0所围成的曲边梯形的面积A为bA=| f (x) | dx ab特别地，当f(x)> 0时(如图1), A= f(x)dx;f(x)dx;b当f(x) w 0时(如图2), A =a当f(x)有正有负时(如图3), A=cf (x)dxabf(x)dx cffli¥3SS¥?Sh?Ss?yaII Si IKglSSSSS'yc f(x) b

11、公式二：由连续曲线y = f(x), y = g(x), f(x) > g(x)y g(x)及直线x = a, x= b所围成的图形(如图4)的面积A为bA= a f(x) g(x)dx a走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习, 初步了解定积分的概念, 为以后进一步 学习微积分打下基础 同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值, 培养学生的创 新意识和创新精神 在实际解题中, 由于这部分知识的特殊性, 经常会由于种种原因出现一 些错误,下面结合实际加以剖析1公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果f (x)是区间a, b上的连续函数，并且F (x)= f(x)，b那么 f(x)dx=F(b) F(a)a2几何意义出错bbf (x)dx的几何意义是介于 x a我们知道，当函数f (x)在区间a, b上恒为正时，定积分af(x)d