二重积分的应用

1、college of mathematics january 16, 20227.3 二重积分的应用二重积分的应用applications of double integralscollege of mathematics january 16, 20227.2.1 二重积分的元素法二重积分的元素法college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页将定积分的元素法推广到二重积分将定积分的元素法推广到二重积分可得二重积分的元素法可得二重积分的元素法college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 |

2、 下一页 若要计算的某个量若要计算的某个量 u 对于闭区域对于闭区域 d 具有具有可加性可加性dudu d d dyxf),(),(yx并且在闭区域并且在闭区域d内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为时，相应地部分量可近似地表示为 的的形式，其中形式，其中 在在 内内则所求量的积分表达式为则所求量的积分表达式为 dyxf),(du 称为所求量称为所求量u的的元素元素，记为，记为 ，( , )df x y d二重积分的元素法二重积分的元素法(即当闭区域即当闭区域 d 分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量 u相相应地分成许多部分量，且应

3、地分成许多部分量，且u 等于部分量之和等于部分量之和)，college of mathematics january 16, 20227.3.2 曲面的面积曲面的面积the area of a surfacecollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页平面的面积平面的面积:0axbyczd求平面在有界闭区域求平面在有界闭区域 d上的那一块的面积上的那一块的面积 a da已知已知求求acollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页则则cosacosa设平面与设平面与 z=0 的夹

4、角的夹角 为为daaacollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页:0axbyczd平面平面与与 z = 0 的夹角余弦为的夹角余弦为222coscabcn,a b c与与 k 夹角余弦夹角余弦所以所以cosa222abccdacollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页曲面方程：曲面方程：( , )zf x y( , )x yd:d有界闭区域有界闭区域求曲面的面积求曲面的面积 adcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页

5、| 下一页da( , )x yda( , )zf x y切平面的法矢：切平面的法矢：n,1xyff 切平面与切平面与 z = 0 的夹角余弦：的夹角余弦：221cos1xyff（ n与与 k 的夹角余弦的夹角余弦 ）college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页221cos1xyffda( , )x ydadacosd221xydaffd面积元素面积元素adda221xydffdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页221xydaffdd曲曲面面面面积积其中其中 d 是曲

6、面在坐标面是曲面在坐标面 z = 0上的投影区域上的投影区域求曲面面积的步骤：求曲面面积的步骤：(1)求曲面在坐标面求曲面在坐标面 z = 0上的投上的投 影区域影区域 d(2) 在区域在区域 d 上计算二重积分：上计算二重积分：221xydaffdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )yh z x曲面面积公式为：曲面面积公式为： 221zxyyzxdadzdx设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： 221yzxxyzdadydz同理可得同理可得

7、),(zygx yzdzxd),(xzhy college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页example22zxy22:d xyx投影区域投影区域projection22xyx22xyx1college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页22zxy22:d xyx22zxxxy22zyyxy221()()zzxy2222221xyxyxy2a221()()dzzdxy2dd22422xyx1college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页

8、| 下一页example222zaxyzh(0)haazhd222zaxyzh球冠在球冠在 xoy 面上面上的投影区域的投影区域：2222:d xyahcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页222zaxy2222:d xyah222zxxaxy 221()()zzxy222222221xyaxyaxy222zyyaxy 222aaxyazhdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页a221()()dzzdxy2222:d xyah221()()zzxy222aaxy

9、222dadaxy2222200ahadrdrar222202( 1)ahar 2()a ah2 ah()hahazhdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页2aah2()aa ahazhh半球面面积：半球面面积：a0lim2()ha ah22 a球面面积：球面面积：24aaacollege of mathematics january 16, 20227.3.3 平面薄片的重心平面薄片的重心the center of mass of a laminacollege of mathematicsjanuary 16, 2022上

10、一页 | 首页 | 下一页质点质点 : p(x, y)质量质量 : m质点质点 p 对对 x 轴的轴的静力矩静力矩：xmymy( , )p x yx质点质点 p 对对 y 轴的静力矩：轴的静力矩：ymxmcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页平面薄片占据区域平面薄片占据区域 d( , )x y面密度：面密度：( , )x y取一小块薄片：取一小块薄片：dd位于位于(x, y)近似地看成质点近似地看成质点小薄片质量：小薄片质量：( , )dmx y d质量元素质量元素d薄片质量：薄片质量：dmdm( , )dx y dcolleg

11、e of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页yxd小薄片对小薄片对 x 轴的轴的静力矩静力矩：( , )xdmyx y d对对 y 轴的静力矩元素轴的静力矩元素小薄片对小薄片对 y 轴的轴的静力矩静力矩：( , )ydmxx y d对对 x 轴的静力矩元素轴的静力矩元素college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页yxd薄片对薄片对 x 轴的轴的静力矩静力矩：xxdmdm( , )dyx y d薄片对薄片对 y 轴的轴的静力矩静力矩：yydmdm( , )dxx y dthe moment

12、 about the x-axisthe moment about the y-axiscollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页( , )xdmx yyd( , )ydmx yxd薄板的薄板的重心重心坐标：坐标：( , )x yymxm( , )( , )ddxx y dx y dxmym( , )( , )ddyx y dx y dthe center of the mass( , )x ycollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页ddx dxd ddy dyd 若薄

13、片有均匀密度：若薄片有均匀密度：（常数）（常数）薄板的重心坐标：薄板的重心坐标：ddx dxd ddxdd1dxdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页ddy dyd ddydd1dyd此时的中心成为此时的中心成为形心形心1dxxd1dxxd1dyydcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例3.424yx2yx是常数是常数求形心求形心作图作图implicitplot(y2=4*x,x=-0.2.1.2,y=-0.5.2.2,thickness=3,scaling

14、=constrained);交点：交点：(0,0)(1,2)24yx2yxddd1202xxdxdy2yx102()xx dx13college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页2yxd2yxdxd1202xxdxxdy102()xxx dx215dyd1202xxdxydy1201()2xxdx13college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页13215132yx2yx211532511331形心：形心：( , )x y2( , 1)5dxddyd1dxxd1dyydcolleg

15、e of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页例例3.3自学自学由对称性，重心在由对称性，重心在 x 轴上：轴上：0y college of mathematics january 16, 20227.3.4 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量the moment of inertia of a laminacollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页质点质点 : p(x, y)质量质量 : m质点质点 p 对对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：2xiy my( , )p x yx质点质点

16、 p 对对 y 轴的静力矩：轴的静力矩：2yix my：转动半径：转动半径x：转动半径：转动半径college of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页质点质点 p 对对 原点原点 o 的的转动惯量转动惯量：22()oixym转动半径转动半径22xyo( , )p x y22xycollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页平面薄片占据区域平面薄片占据区域 d( , )x y面密度：面密度：( , )x y取一小块薄片：取一小块薄片：dd位于位于(x, y)近似地看成质点近似地看成质点小薄

17、片质量：小薄片质量：( , )dmx y d质量元素质量元素dcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页yxd小薄片对小薄片对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：2( , )xdiyx y d对对 y 轴的转动惯量元素轴的转动惯量元素小薄片对小薄片对 y 轴的轴的转动惯量转动惯量：2( , )ydixx y d对对 x 轴的转动惯量元素轴的转动惯量元素对对 o 的转动惯量元素的转动惯量元素小薄片对小薄片对 原点原点o的的转动惯量转动惯量：22() ( , )odixyx y dcollege of mathematicsjanuary

18、16, 2022上一页 | 首页 | 下一页yxd薄板对薄板对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：xixddi2( , )dx yyd薄板对薄板对 y 轴的轴的转动惯量转动惯量：yiyddi2( , )dx yxdthe moment of inertia about the x-axisthe moment of inertia about the y-axis2( , )xdiyx y d2( , )ydixx y dcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页薄板对原点薄板对原点 o 的的转动惯量转动惯量：oioddi22( , )()dxx y dythe moment of inertia about the origin22() ( , )odixyx y doixyiiyxdcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一页xi2( , )dx yydyxdy：转动半径：转动半径问：薄片关于直线问：薄片关于直线 y = a 的转动惯量？的转动惯量？yxdya微元的转动半径：微元的转动半径：ya di2()( , )yax y dcollege of mathematicsjanuary 16, 2022上一页 | 首页 | 下一