基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案

1、基本不等式及其应用考点梳理昭1.基本不等式a + b若a>0, b>0,则 丁融，当且仅当这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数.2注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点: （1）各项或各因式均正；（一正） （2）和或积为定值；（二定）（三相等）等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值.2.常用不等式(1)2 2a + b > 2ab(a, b R).后宁a，b 0注:不等式a2+ b2>2ab和心 >7ab它们成立的条件不同,2前者只要求 a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.其等价变形：ab<（专）2a babw( a,

2、b R).b aa+ b2(a, b同号且不为0).22 '(a, b R).占 a，b 0a b.a3+b3+ c3a,b,cabc<33(8)a+ b+ c 3 3 > S/abc； a,b,c 0 33.利用基本不等式求最大、最小值问题,即 a+ b>(1)求最小值：a>0,b>0,当ab为定值时，a+ b,a + b2有 a2+ b2>或 a2+ b2求最大值：a>0, b>0,当a+ b为定值时，ab有最大值，即 为定值时，ab有最大值(a>0, b>0)，即基础自测I 小劝夺洁丰可小试®设a, b R,且

3、a+ b = 3,则2a+ 2b的最小值是()A.6B.4a/2 C.2边D.2V6解：因为2a>0, 2b>0,由基本不等式得2a+ 2b> 2a2b = 2阿=奶，当且仅当a号，故选B.吐 Maa且a + 2b- 2= 0,贝U ab的最大值为（）A.1B.1C.2D.4解： a>0, b>0, 1 1a+ 2b = 2,.a + 2b = 22寸2ab,即卩 ab<2 当且仅当 a= 1, b=2时等号成立.故选A.WM地到乙地往返的时3 为全程的8平均时速为M贝A.av v </abB. v/abta+ bC.abv v<2a+ bD.v

4、 = 2解：设甲、乙两地之间的距离为 s.2s 2ab 2ab(/ a< b,A v =<= Vab.s + s a+ b 2pab 中 a+ b2 2 22abab-a a a丄、丄又 v aT a = >= 0,.v>a.故选 A.a+ ba+ ba+ b 24解：由xy = 1得X2 + 2y2= x2+子2寸2,当且仅当x =± 2时等号成立.故填2寸2.解：由条件知，mx>0, n>0, mHn= 1,当且仅当m= n = 2时取等号,1log 2mHlog 2n = log 2mnclog 24 2,故填一2.典例解析I脅*器析息右护追

5、类型一利用基本不等式求最值解： x> 1,.X + 1 >0,令 m= x+1,贝U m>0,且 y =（1）= n+ 4+52/m4+ 5= 9,当且仅当m= 2时取等号，故ymP9.又当m + x或m0时，y + x,故原函数的值域是9 ,+).(2)牢记基本不等式使用条件正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.2 1A.Ig x + 4>lgx(x>0)B.sinx +>2(XM kn，k Z)sin X ''C.x2 + 1>21 x| (x R)D.1k(x R)2 1 1 2 1 解：A 中，x+ 4>x(x&g

6、t;0)，当 x = 2时，x+ 4=x.B 中，sinx + > 2( s inx (0 , 1)； sin X' ，丿，1sinx+sn2(sin x 1,0).C中,D 中,X2 2|x| + 1 = (| x| 1)2>0(x R).1 (0 , 1( x R).故 C 一定成立，故选 C. X十1点拨:2ax + bx+ c这里(1)是形如f(x)=的最值问题，只要分母X + d> 0,都可以将f(x)转化e为f (x) = a(x + d) + x+d + h(这里ae>0；若aev0,可以直接利用单调性等方法求最值)， 再利用基本不等式求其最值.2

7、叵至0 (1)已知t >0,贝u函数f(t) = t -f + 1的最小值为解：；t > 0,A f(t) =t 4t + 1 = t +1 4> 2,当且仅当t = 1时，f(t)min= 2,故填一2.已知 x>0, y>0,且 2x + 8y xy = 0,求:(I)xy的最小值;(n) x+y的最小值.8 2解：(I)由 2x + 8y xy = 0,得 j+y = 1,又 x>0, y >0,82/828E则1-x+寸叫8厂换,得xy A64,当且仅当x = 4y，即x= 16, y = 4时等号成立.8y(n )解法一：由 2x + 8y

8、xy = 0,得 xx>0,a y >2,y 2则 x+ y=y + 汽=(y 2) +汽+10> 18,当且仅当y 2 = 弋，即y = 6, x = 12时等号成立.y28 2解法二：由 2x + 8y xy = 0,得&+y = 1,则 X+ 尸 8+ 2 (x + y) = 10+ y + 8y> 10+ 2 牛=18,当且仅当 尸6, x=12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围83殄 若关于x的不等式（1 + k2）x< k4+4的解集是M则对任意实常数k,总有（）A. 2 M 0 M B.2?M 0?MC.2 M 0?M D.2?M

9、 0 M 4/匚解法一：求出不等式的解集：(1 + k2)xw k4 + 4?x<行-(k2 + 1) +-2?xW(k2+1)+ 2 mjn = 25 2(当且仅当 k2=51 时取等号).解法二（代入法）：将x = 2, x= 0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为故选A.点拨:一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒 成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有 关不等式恒成立的等价命题: a> f(x)恒成立？a> f (x) max； (2) av f(x)恒成立？av f (x) mi

10、n；(3)a>f(x)有解?a>f(x)min； (4) avf(x)有解?avf(x)max叵矽 已知函数f(x) = ex+ ex，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x) < e-x+ m-1在(0,+)上恒成立，求实数 m的取值范围.解：由条件知 m：ex + e x 1) < ex 1在(0，+)上恒成立.t 1令 t = ex(x>0)，贝U t > 1，且 me 12一t + 11对任意t > 1成立.t 故实数m的取值范围是一X + h 11t-1+ 匚+ 1>27 (t-1) + 1 = 3,13,1> -1 二

11、t1+1当且仅当t = 2,即x = ln2时等号成立.类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积B360imia形场地要求矩形场地面用需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如 图所示，已知旧墙的维修费用为 45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为 x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元）将y表示为x的函数;试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m,则 y= 45x+ 180(x 2) + 18O2a = 225x + 360a 360.由已知xa=

12、 360,得a=竽所以 y = 225X + 2当且仅当225x = ，即x= 24时等号成立.x 360(x >2).x x > 0,二 225x + 360 >2寸225X 360= 10800,x y = 225x + 3602 360> 10440, 'x答：当x = 24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元.叵矽 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am高度为bm已知排 出的水中该杂质的质量分数与 a, b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m,

13、问a, b各为多 少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小 （A, B孔面积忽略不计）.1111h/解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数,k根据题意可知：y = ab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b+ 2ab + 2a<60（a>0，b>0），即 a+ 2b< 30- ab（a>0，b>0）./ a + 2b>22ab， 2/2 融+ ab< 30,得 0v 题W 3承.当且仅当a=2b时取“=”号，ab最大值为18,此时得a=6, b = 3.故当a = 6 m, b = 3 m时经沉淀后

14、排出的水中杂质最少.30 ak解法二：同解法一得，代入y=ab求解.课时作业却卜吐拒艸11.若a>1则a+a1的最小值是（A. 2 B.a C.3D.1（aT）-k + 1 -2+ 仁3,当 aa 1解： a> 1,A a+丄2 = a 1+ 1>a 1a 1=2时等号成立.故选C.2.设 a, b R, aM b,且a+ b = 2,则下列各式正确的是（）A.abv 1v 丁 B.abv 1< 丁C.1 v abv 丁 D. ab< 才 1解：运用不等式ab<a+ b 2c , 2?ab< 1以及（a+ b）2< 2（a2 + b2）?2 &l

15、t; a2+ b2（由于 aM b,所以不能取等号）得，abv 1v导，故选A.5 一 4x + X23. 函数f（X）=在（X, 2）上的最小值是（）2 XA. 0B.1C.2D.31+（ 4 4x + X2） 解：当 X v 2 时，2 X > 0 ,因此 f（X）=x） >2 、/2x （ 2 x）= 2，当且仅当2x= 2 x时上式取等号.而此方程有解 X= 1 （ 8, 2），因此f（x）在（8, 2）上的最小值为2,故选C.4. （2014 福建）要制作一个容积为4 m,高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器

16、的最低总造价是（）A.80 元B. 120 元C. 160 元D.240 元4解：假设底面的长、宽分别为x m x m,由条件知该容器的最低总造价为 y = 80+ 20xx80+ > 160,当且仅当底面边长x = 2时，总造价最低，且为160元.故选C.x.5. 下列不等式中正确的是（）b a/baA.若a，b R,则a+b沁a萨2B. 若x, y都是正数，则Igx + Ig y>对g x Ig yC. 若 xvO,则 x+ 4> 2寸X 彳二4D.若 x<0,贝U 2x+ 2x> 22 - 2x= 2解：对于A, a与b可能异号，A错；对于B, lgx与lg

17、 y可能是负数，B错；对于C,444应是 x + -( X)+二 < 2、( x)二=4,C错；对于D,若 x<0,贝U2xx x x+ 2x> 2寸21 1即x2+ 3x + 1的最大值为5,故填a> 1.8. （2014 四川）设me R,过定点A的动直线x+ m戶0和过定点B的动直线mx y m + 3= 0交于点P（x, y），则I PA I PB的最大值是解：易知定点A（0 , 0） , B（1 , 3）. - 2x = 2成立（x= 0时取等号）.故选D.6. （2014 重庆）若 log 4（3a + 4b） = log ，贝U a+ b 的最小值是（）A

18、.6 + 2 出B. 7 + 23C. 6 + 4 羽D. 7 + 4 萌解：因为 log 4（3a + 4b） = log ab,所以 log 4（3 a + 4b） = log 4（ ab），即 3a + 4b= ab,且3a+ 4b>0,即 a>0, b>0,所以«+1（a>0, b>0）, a+ b= （a+ b） £+ b = 7+ab> 0,ab、，/''ab a3aE4b 3aL4b 3a E = 7+4（3,当且仅当石=石时取等号.故选D.7. 若对任意x> 0, x2+ 3x+ 1 < a恒成

19、立，则a的取值范围是.解：因为x>0,所以x +2（当且仅当x = 1时取等号）,x1112+ 3 5'所以有x2 + 3x+ 1 =厂WX+-+ 3x且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A, B重合与否，均有| P A2 + I P B2= I AB2= 10( P在以AB为直径的圆上).所以|PA "PB<2(1 pa'+IPB2) = 5.当且仅当|PA = |PB =/5时，等号成立.故填5.49. (1)已知0VX<3,求X(4 3X)的最大值;点（X, y）在直线x + 2y = 3上移动，求2x + 4y的最小值.4解：(1)已知

20、0<X<3，二 0< 3X<4. X(4 3X)二 $3 X)(4 3X) <1 J 3x ? = 3,当且仅当3X = 4-3X9 X = 2时成立.24当X = 3时，X（4 3X）取最大值为3. 已知点（X, y）在直线X + 2y= 3上移动，所以x+ 2y = 3. 2X+ 仁 2V?'4y = 2页12 尽 4 血当且仅当24， 即x= 3, y= 3时“=”成立.X+ 2y = 3,2433当x=2，y=4时，2x+4y取最小值为4羽.10. 已知 a>0，b>0，且 2a+ b= 1，求 S= ab 4a2 b2 的最大值.解：/a>0,b>0,2a+ b= 1，/.4a2 + b2= (2a + b)2 4ab= 1 4ab.且 1 = 2a+ b>2aB，即pabw 4， abw8，二 S= 2寸ab 4a b = jab (1 4ab) = 2寸ab + 4ab 1w2 当1 1且仅当a= 4, b=1时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.=一设每间虎笼的面积为S，则 S= xy. 现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长