傅里叶变换公式

1、傅里叶变换公式第2章信号分析本章提要? 信号分类凋期信号分析-傅里叶级数 非周期信号分析-傅里叶变换? 永冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段§ 2-1信号的分类两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定 的。进一步分为：周期信口非周期信号。0非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的?按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。信号描述方法时域描述如简谐信号频域描述以信号的频率结构来描述信号的方 法：将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一

2、个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波 ， 以及各谐波的幅值和相角。vp a ge break >§ 2- 2?周期信号与离散频谱飞凋期信号傅里叶级数的三角函数形式?周期信号时域表达式x(t) x(t T) x(t 2T) x(t nT)(n 1, 2,)T:周期。注意n的取值：周期信号 无始无终”#x(t) a。傅里叶级数的三角函数展开式(an cos n ot bn sinn ot) n 1(n =1,2, 3,) 傅立叶系数：a。anbnT 2T x(t)dt2T 2T x(t)cos n otdt2T2T x(t)sin n otdt2式中T-周期

3、；。-基频， 0= 2 /To 三角函数展开式的另一种形式：N次谐波的幅值N次谐波的频率/ f-jx(t) a。zN次谐波An COS(Jotn )/ n 1可丿1/r信号的均值，直流分量N次谐波的相角arctg an1, 2, 3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法 濒谱图A4(I周期信号的频谱三个特点：离散性、谐 波性、收敛性例1 :求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解： A 1At非对称周期方波解：信号的基频周期方波傅里叶系数奇函数：ao an 0bn T4T4ATT x(t)sin n"2T20t的偶函数Asin n 0tdt 込 1 cosnnn为

4、奇数n为偶数n次谐波的幅值和相角AnJan bnbn4An(n 1,3,5,)最后得傅立叶级数4Ax(t)cos(n 0tn n2) (n 1,3,5,)频谱图4AAn 4A 4A3 533® 05 3 0幅频谱图相频谱图1、凋期信号傅里叶级数的复指数形式 砍拉公式e j t cos t jsin t1jtj tee2jjtj tee2cos tsin t1? 傅立叶级数的复指数形式jn otx(t)Cnen(n 0, 1, 2, 3,)?复数傅里叶系数 的表达式C0 a0T * 2Tx(t)dtT 2Cn其中a n , bn的计算公式与三角函数形式相 司，只是n包括全部整数。一般C

5、n是个复数。因为an是n的偶函数，bn是n的奇函 数，因此an a nb nbn即：实部相等，虚部?C n的复指数形式相反，Cn与C-n共轭。Cncn e共轭性还可以表示为CnC- n即:C n与C-n模相等,相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系对于n>0CnJa： ( bn)2A2（等于角函数模的一半)n arctg an（与三角函数形式中的相角相等）_An2bn上 bn一 arctg an用C n画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图：| C n|,相频谱图:n arctgan第I mcn-#AnAAI0 2 0n'1 |21 n2ol0 2 0丨

6、01121单边频谱双边频谱。丨22 0:实谱频谱图：R e cn-,虚频谱图:；也就是an 和-b n -<pa ge b r eak>§ 23非周期信号与连续频谱分两类：a. 准周期信号?定义：由没有公共周期（频率）的周期信 号组成频谱特性：离散性,非谐波性?判断方法：周期分量的频率比（或周期比） 不是有理数b. 瞬变非周期信号x(t)Lx(t)ltx(t)JV-厂LAttt几种瞬变非周期信口数学描述：傅里叶变换 一、傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.2 2）借助（2. 1 6）演变成：X（t）的傅里叶变换X（ 3 ）x(t)1/x(t)e j

7、tdtej td2定义X（t）的傅里叶变换X （ 3）X( ) x(t)e j tdtX（3）的傅里叶反变换X（t）:x（t）2X( )ej td傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率 连续变化的无数 谐波+ x（屮d的叠加。称X（）其为函数x（t）的频谱密度函数。?寸应关系:-X ( )d ej tcn ejn 0t2X( ) X( )|ej ()曰X ()描述了 x(t)的频率结构 X()的指数形式为?频率 f (H Z )为自变量,因为f =w/ (2p ),得X ( f )x(t)e j2 f tdtx(t)X(f)ej2 ftdf指数形式X(f)X(f)ejX( f

8、)的频谱图幅值频谱图和相位频谱图:幅值频谱图相位频谱图实频谱图R eX( 3 )和虚频谱图Im( 3 ) 如果X ()是实函数，可用一张X()图表 示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角 为或 。傅里叶变换的主要性质(一) 叠加性a1x1 (t)a2x2(t) fta1X1( f)a2X 2( f)(二) 对称性x(t) FT x( f)(注意翻转)（三）时移性质x(t to)FT X(f)e j2 ft0（幅值不变,相位随f改变±2 fto）（四）频移性质x(t)e j2 ft0FT X(f fo)（注意两边正负号相（五）时间尺度改变特,弓反）卜圧1 f x(at) X() a

9、a（六）微分性质d(t) ft (j2 f )nX(f)dtn（1）卷积定义x(t) y(t) x( )y(t )d(2 )卷积定理x(t) y(t) ft X(f)Y(f) x(t)y(t) FT X(f) Y(f)2、脉冲函数及其频谱 (一)？脉冲函数：x(t) x(tTI A (t to)1/(t)-/212to定义函数(要通过函数值和面积两方面定义)函数值：t 0(t)0 t 0脉冲强度(面积)(t)dt 1(二)脉冲函数的样质函数值:x(t) (t to)强度:x(t) (t to)dtx(to) (t to)dtx(to)结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是X (t)在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积 分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2.?永冲函数的卷积性质：(a) 利用结论2x(t) (t) x( ) (t )dx(t) (t )d x(t)(b )利用结论2x(t) (t to)x( ) (tto)dx(t to)(tto)d x(t to)结论:平移（三）脉冲函数的频谱(t) ft (f) (t)ej2 ftdt 1均匀幅值谱由此导出的其他3个结果(t to)FT ej2ft0（利用时移性质）1 FT（利用对称,、匕e j2 fotFT(f f。)式，再用频移性质）（四）正弦函数和余弦函数的频谱cos 2 ft1e j2 ft ej2