典型极坐标参数方程练习试题带包括答案.docx

1、极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中，直线Cl ： x=2,圆C2： ( xl) 2 + ( y2) 2= 1,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Cl, a的极坐标方程;JI(2)若直线C3的极坐标方程为=4 ( P WR)，设C2与C3的交点为M, N,求CzMN的面积.因为X= P解：(1)C2的极坐标方程为COS ,p 2 2 Py= PCOS 00 ,所以G的极坐标方程为sin4 P sin0 +4=0.P0COS0-3UP2 丁 p(2)将 =4代入故Pl2 cossinMN =+4 = 0，得一3 2 +4= 0,解得 2.由于C2的半径为1,所以G

2、MN的面积为2.4. (2014 辽宁，23, 10分，中)将圆x2+y2 = 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐C标变为原来的2倍，得曲线.(1)写出C的参数方程；X轴正半轴为X = X!,(2)设直线1 ： 2x+y 2 = 0与C的交点为Pl, P2,以坐标原点为极点, 极轴建立极坐标系，求过线段P&2的中点且与1垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(XI, yj为圆上的点，经变换为 C上点(X, y),依题意，得222 y 2由 xi+yi = l 得 x + 2 二2 y2即曲线c的方程为x + 4 = 1.x=cos t ,故C的参数方程为（t为参数）._y2sin tx2+y2=l

3、,二，X 1X 0由 4解得或y = 0y= 2.2x+y-2=0PlP2P1P2k -1不妨设(1,0),(0, 2),则线段的中点坐标为2，1 ,所求直线斜率为 =2,于是所求直线方程为y 1 = 2 X- 2 .化为极坐标方程，并整理得2 P cos 9 4 P sin G = 3,即p=4s in 0 2cos 9xOy中，以0为极点，X轴正半JI9-3-1, M, N分别为曲线C(2)(2015 -吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为PCOS 与X轴，y轴的交点.写出曲线C的直角坐标方程，并求 M, N的极坐标;设M, N的中点为P,求

4、直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将2 P cos? 0 =sin 0两边同乘以P，得2( P cos 9 )= P sin 0 ,化为直角坐标方程为2x2= y,C2： PCOS 0 =1化为直角坐标方程为x=l,x= 1联立可解得y=2所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).JIP cos 0 3兀9 P cos 3 + sin一 x= P cos 9 ,13cosJI0 sin 3= 1.又-x+y二,y=Psin 0,221x+Wy-2 = 0即曲线C的直角坐标方程为令 y=0,则 x=2；令 x = 0,/.M(2 , 0) , NO, 3 .AM的极坐标为(2 , 0) ,

5、 N的极坐标 为M, N连线的中点P的直角坐标为323，2 *卫1，3 ，JIp的极角为0-6.JI直线OP的极坐标方程为0 = r(P GR)注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐 标问题求解，再转化为极坐标.x= +t ,(2013 课标 I，23 104 5cost为参数，y二+t ()5 5sin以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为卩=2sin(1)把Cl的参数方程化为极坐标方程;求G与G交点的极坐标(P $0, 0 0 2 JI).X 45 c c g t，【解析】(1)将消

6、去参数t ,化为普通方程为(X- 4) 2+ ( y-5) 2=y= 5+ 5sin t25,即 Ci： x2 + y2 8x-10y+ 16 = 0.x= P cos 9 ,将 代入 x2 + y2 8x10y+16= 0,得y=Psin 0P 28 P cos 0lOpsin 0+16=0.所以C1的极坐标方程为p2 8p cos 0 lOp sin 0 +16=0.C2的普通方程为+ y2 -2y= 0.x2+y2_ 8x10y+ 16=0, 联立C c的方程*2X2+y22y=0,x=l解得y=lx = 0, 或y=2.所以C.与C2交点的极坐标分别为/2,JIJT4 , 2, 2【点

7、拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 Ci： x?+ y2= 4,圆 C2： (x2)2 +y2 =4.(1)在以O为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C., C2的极坐标方程, 并求出圆C1, a的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆Cl与C2的公共弦的参数方程.解:由(1)x= P cos y = p sin2的极坐称方桎为P4cos 0JIP = 2,解P = 4cos得P9=2,JIJIC2的交点坐标为故圆C与圆注：极

8、坐标系下点的表示不唯一.2, 32,X P cos 9 ,(2)方法一：由得圆C.与C2交点的直角坐标分别为(1 , P sin 63)，(13) ymf故圆。与。的公共弦的参数方程为y=t或参数方程写成 X 1 WwyW筋y=y,x= P cos 0 ,方法二：将x=l代入y= P sin 9 ,得 P cos 0=1,从而 P =COS 0 .于是圆C.与C2的公共弦的参数方程为x= 1y= tanjiJI一一冬 0 W 0335. (20151的参数方程为已知圆C的极坐标方程为P =0,亘线2cos河北邯郸二模，23 10x = 2 + 2 t ,护 n11（t为参数），点A的极坐标为

9、2，4,设直线I与圆C交y=2+2t于点P, Q.（1）写出圆C的直角坐标方程;(2)求I API - AQI 的值.解：（1）因为圆C的极坐标方程为p=2cos 0 , 所以 P 2 = 2 P cos 0 ,将其转化成直角坐标方程为x2+ y2 =2x,即(X 1) 2 +y2 = 1.（2）由点A的极坐标将直线I的参数方程Jy=2+2t得直角坐标为A2, 2 .2（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（Xl）2+y2=，得 t 2 V3- 11 _ 2 20.设tl, t 2为方程t 2 t= 0的两个根，则tlt2= L,2 2 2所以丨 API - lAQI = I t It2l =2.

10、x=t cos a，2. （2015 课标II, 23, 10分，中）在直角坐标系xOy中，曲线G： （ty = tsma ,为参数，t H 0）,其中0W a /3sin0 ,得从而有 x2+ y2所以 x2 + ( y如2 =3.设 P 3+2t，2 t，又 C(0 ,3),则2存Y2 t= 时，PC取得最小值，故当 0 丨丨此时，P点的直角坐标为(3 , 0).5. (2 014 课标II, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴JT正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为P = 2COS 0 , e e 0, 2(1)求C的参数方程； (2)设点D在C上

11、，C在D处的切线与直线1： yx + 2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：(1)C 的普通方程为(Xl)2 + y2=l(0 W yWl).可得c的参数方程为(2)设 D(1 +cos t ,x= 1 + cos t ,(t为参数，OWt W兀)y= sin tsin t).由(1)知C是以G(1 , 0)为圆心，1为半径的上半圆.因JI为C在点D处的切线与1垂直,故D的直角坐标为(2013 课标1 +cos所以直线GD与1的斜率相同，tan t - 3, t = 3 3 33 5 sin 3，即 2，2.分，中)已知动点P，Q都在曲线C：JIJIx=2cos参数 上，对应

12、参数分别为t = a与t =a a JT2 (0 2y=2sin t,M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原(2)将M到坐标原点的距离d表示为点.解：(1)依题意有 P(2cos a , 2sin a ) , Q(2cos 2 a , 2sin 2a),因此 M(cos a + cos 2a, sin a +sin 2 a )M的轨迹的参数方程为y = 2-2tx= cos a +cos 2 a ,(a 为参数，Ova 2 n ).y= sin a +sm 2 n(2) M点到坐标原点的距离 d = #x2 + y2=寸2 + 2COS a (Ov a

13、 v2 n )当a = n时，d = 0,故M的轨迹过坐标原点.Xt为参数(2014 -课标 I，, 分已知曲线a 2+y 2=直线1：23 10)1.【思路导引】 从而求其最值.【解析】(1)曲线C的参数方程为X = 2cos0 ,(0为参数)01的普通方程为 x+y= 直线26曲线C上任意一点P(2)(2cos5 I4cos 9 +3sm 6 61.0.03sin到1的距离为,其中a为锐角,a -4sin(0sin 300 a5 I5sin(PA61取得最大值，最大值为环5tan+) = 1 时，I I(1)写出曲线C的参数方程，直线1的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与1夹角为30

14、的直线，交1于点A,求IPAI的最大值与 最小值.由基木关系式可消参求出普通方程；PA用参数0来表示,(1)(2)把I 丨9 + a)= 1时，IPAI取得最小值，最小值为 5X轴正半轴为极轴建立当 sin(2013 辽宁，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以0为极点,JI极坐标系.圆C1,直线a的极坐标方程分别为P =4sm 0 , P cos 04 =2心(1)求Cl与C2交点的极坐标;(2)设P为Cl的圆心，Q为Cl与C2交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程为x= 13+ a,b3 (t eR为参数)，求a, b的值. y=2 +1【解析】(1)圆G的直角坐标方程为x2+ (y2

15、)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4-0.2+ ( y-) 2=， X2 二，y2 = 42.JIJI所以G与G交点的极坐标为4, 2 , 注：极坐标系下点的表示不唯一.A;.(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0, 2) , (1 , 3).故直线PQ的直角坐 标方程为Xy+2 = 0abbb由参数方程可得 y= 2(x-a) + 1= 2x 2 + 1，所以b2= 1，ab一 + 1= 2,【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题.-课标全2011国，23分在直角坐标系xOy 中，曲线Cl的参数方程为10 )x

16、=2cos a，y= +a( a2 2sin为参数),M是Cl上的动点，P点满足OP =OM, P点的轨迹为曲线G.(1)求G的方程;(2)在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线JI0 =三与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为 B,求IABL解：(1)设 P(x,y)X则由条件知M2,所以x+y的最大值为，最小值为6 2.23, 10.山西太原联考，分已知半向直角坐标糸xOy,以0为极点，X轴6 (2015JT的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点P的极坐标为23,6，曲线C的极坐标方程为p2P9S in = 1 (1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;x = 3 +2t 9(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线1：(t为参数)距离的最y= 2+ t解：(1)点P的直角坐标为(3 d3)寸5y= 1,即 x + C y+