傅里叶变换的基本性质

1、3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需因此有必要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。线性傅里叶变换是一种线性运算。若fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )afi(t)bf2(t)aFi(j ) bF2(j )(3-55)F(j其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数f(t)1U(t) 22sgn由式（3-55）F(j) U(t)sgn (t)2 j二、对称性(t) F(jF(jt)

2、2 f(3-56)证明 因为1f(t) 2F(j)ej td2 f(t)F(j)ej td2 f( t)F(j)e j td将上式中变量换为X,积分结果不变,2 f(t)F(jx)e jxtdx再将t用 代之，上述关系依然成立,2 f(F(jx)e jXdx最后再将x用t代替，则得2 f(F(jt)e j tdtF(jt)所以F(jt) 2f()证毕若f（t）是一个偶函数，即f(t) f(t)，相应有f（） f（），则式（3-56）成为F(jt) 2 f()(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2。式中的表示频谱函数坐

3、标轴必须正负对调。例如F(jt)12 f()例3-7若信号f （t）的傅里叶变换为2 AF(j) 01212试求f （t）。解 将F（j ）中的换成t，并考虑F（j的实函数，有/2/2F(t)2 A "（亍）F(jt) F(t)该信号的傅里叶变换由式（3-54）可知为根据对称性F(t)2 f()f()A Sa()2术F(j )/20 /23-20所示。再将f（）中的 换成t，则得f(t)f（t）为抽样函数，其波形和频谱如图三、折叠性f(t) F(j )f( t) F(F(jF(jf(t)为实函数 f(t)为虚函数(3-58)四、尺度变换性f(t)F(jf(at)1-F(j-) (a

4、a为大于零的实常数)(3-59)证明因a>0,由f(at)f(at)e j tdtat，则dx adt，代入前式,可得函数f(x)f(x)e证毕f (at)表示f (t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而F(j a)则表示F(j )沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。例3-8已知f(t)/4/4解前面已讨论了,求频谱函数F(j )。的频谱函数，且f0(t)Fo(j )12/2Sa()f(t to)F(j )ejto(3-6o)根据尺度变换性，信号f(t)比fo(t)的时间尺度扩展

5、一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数F(j九)两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。Afo(t)/20 /2>t/4 0 /4>t五、时移性f(t) F(j此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f (t)平移时间to，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变to。的频谱函数F(j )。E例 3-9 求 f(t) 0t 0,t解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有F(j ) E Sa(2)e j /22六、频移性f(t) F(jf (t)e j otF j0(3-61)证明f (t)e j otf (t)e j ote j tdtf(t)e

6、 0)tdt F j( o)证毕频移性说明若信号f(t)乘以e j ot，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e j ot，这就使频谱中的每条谱线都必须平移0，亦即整个频谱相应地搬移了0位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号cos ot或sin ot ，即f (t)cos0tF j(0)F j(0)f (t)sin0tF j(0)F j(0)七、时域微分性f(t)F(j )dnf(t)dtn(j)nF(j )(3-62)证明 因为f(t)F(j)ejtd两边对t求导数，得所以df(

7、t)dtF(j )ejtddf(t)dt(j)F(j )同理，可推出例 3-10 求 f (t)dnf(jdtn)nF(j )证毕(t)的频谱函数F(j )。解：因为(t)1由时域微分性F(j ) (j )n例3-11图3-22所示信号f(t)为三角形函数求其频谱函数F(j )。由微分性所以f (t)(2)f（t）微分两次后,得到图(t)f (t) (jf(t)3-22(c)所示函数，其表达式为(t)(t)2f(t)-(ej-cos 12(cos(j1)厂sin2(/2)(/2)2(a)八、频域微分性1/0-1/ JI-(b)图 3 - 22f(t) F(j )tf(t) jSdf (t)t(

8、1/ )lf(10'(-2/ )(c)ttnf(t) (j)ndnF(j )(3-63)例 3-12 求 f (t)tu(t)的频谱函数F(j解：因为U(t)根据频域微分性tu (t).djd九、时域积分性f(t)F(jf(t)dtF(jF(0)()(3-64)例3-13根据解：因为根据时域积分性例3-14求图(t)1和积分性求U(t)U(t)f(t)(t)3-23U (t)的频谱函数。(x)dx所示信号f(t)的频谱函数F(j )。1解：f(t)对t求两次微分后,得(t)/2)(t /2)f (t)1-ej t/21-e/2j-si n(牙)由时域积分性f'(t)f (x)d

9、x2 sin(万)*)sa(2)f(t)f (x)dxsin(-)Sa(0)(1()Sa()(a)1/:1*taAf(t)(1/外/20十、频域积分性1-f(0)/2 0代t(-1/)f(t)(b)(c)图 3 - 23F(j1(t) - f(t)F( jx)dx(3-65)例3-15已知f半，求F(j解：因为旳)2T(ejt ejt)2r(1)1) j1)(1)根据频域积分性sin(t)1tj(X 1)(X1) dxU(1)U(1)1 、时域卷积定理f1(t)F1(jf2(t)F2(jf1(t)f2(t)F1(j)F2(j(3-66)证明F f1(t) f2(t)f1()f2(t)d ef1

10、()f2(t)e j tdt df1( )F2(j)e j tdF2(j )f1()eF2(j )F1(j证毕例3-16图3-24(a)所示的三角形函数f(t) 1 也0可看做为两个如图3-24(b)所示门函数G (t)卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(j )。所以解:(a)图tf(t)F(j3 - 24sin(5)例3-17 一个信号f(t)的希伯特变换f(t)解：因为则对称性2jt(t) G1f(t)-水 G (t)1/2 0'/2 ' t(b)Sa()(t)-Sa2(亍丄f(t)是f (t)和t的卷积，即sgn(t)2 sgn(2 j2 sgn()由时域卷积定理f(

11、t)jsgn()1f(t) - jsgn( )F(j )F(j ) jsgn( )F(j )十二、频域卷积定理fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )fl(t)f2(t)1Fi(j ) F2(j )(3-67)fi(t)f2(t)Fi(j2 f)F2(j2 f)例 3-18利用频域卷积定理求f(t) tU(t)的傅里叶变换F(j )。解：因为'(t)由对称性jtj2U(t)所以根据频域卷积定理1f(t) tu(t)F(j )j2()(-)'F(j )(丄)十三、帕塞瓦尔定理fi(t)f2(t)F2(jfi(t) f 2(t)dtFi(j)F2(j)d(3-68)可推广fi(

12、t)2dtFi(j2d(3-69)若fi（t）为实函数，则Fi2(j)d(3-70)若fi（t） , f2（t）为实函数，则fi(t) f 2(t)dtiFi(j )F2(j )d (3-7i)例3-i9求Sa2( )do解：因由帕塞瓦尔疋理可得十四、奇偶性若 f(t) F(jSa2( )dSa2(F( )e(1)当f(t)为实函数时,242Sa( )2 Sa( )d2Sa()dR(G2(t)G2(t)G2(t)dtjX(),F( ) F(j()F()R()X()R(X()(3-72)若f(t)为实偶函数，即f(t)f(t)F(j)F(X()R( 实偶函数(3-73)若f (t)为实奇函数，即f(t)f( t)，则F(j )R(jX(0虚奇函数)(3-74)当f(t)为虚函数，即f(t)jx(t)时，则F( ) F() (R( ) R(X( ) X(3-75)傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性af1(t)bf2(t)aF1(j ) bF2(j )2.对称性F(jt)2 f()3.折叠性f( t)F( j )4.尺度变换性f(at)-F(j-)aa5.时移性f (t to )F(j )ejt06.频移性e j 0t f(t)F j(o)7.时域微分dnf