2019年电磁场与电磁波试题

1、1如图所示，有一线密度的无限大电流薄片置于平面上，周 围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。解：根据安培环路定律,由川'在面电流两侧作一对称的环路。则上二乳寸2rr(-即2.已知同轴电缆的内外半径分别为二和丄，其间媒质的磁导率为且电缆 长度二兀忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。解：设电缆带有电流则3.在附图所示媒质中，有一载流为的长直导线，导线到媒质分界面的距离为; 试求载流导线单位长度受到的作用力解：镜像电流如+9岛5镜像电流在导线处产生的出值为2眶2h单位长度导线受到的作用力=D一 m x.h+a A+lA-T?严二肝=-1卫笛一力的方向使导线远离媒质的交界面D .minX

2、b b+h+4. 图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为d丄4的平行长直 圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷量分别为+?和.，若忽略端部的 边缘效应，试求(1)圆柱导体外任意点p的电场强度甘的电位*的表达式；w h ?-h ?以y轴为电位参考点，则5. 图示球形电容器的内导体半径叭 L，夕卜导体内径：、：工，其间充有 两种电介质I与T,它们的分界面的半径为二-二I。已知I与T的相对6. 电常数分别为_.1 - -_ o求此球形电容器的电容。解£2 = 一 茸(3于6) '4爲甲/二管古+胆df5 102 1 16? 1OZ 1 1f;)(；)4砖 3 14飯马63+ 4

3、仇9xlQu22 -xlCTnF9I=JS= UY1S 25x 1 O'14 A蚊+如时，求(1)电介质中的电流；两电介质分界面上积累的电荷；电容器消耗的功率。解：(1):.? = = 25xl0-u W R分布（B线）07.有两平行放置的线圈,解：上；线上、下对称。6. 一平板电容器有两层介质，极板面积为', 一层电介质厚度'- - 1 , 电导率=-二J 丁：，相对介电常数'，另一层电介质厚度匸】'一电导率'一二'0相对介电常数丄：，当电容器加有电压.I.0 = 8.85x10 C/rz丁¥_4+a升丁F必S解：（1）当电介

4、质插入到平行板电容器内a/2处，则其电容可看成两个电容器的并联1.已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为:求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。EX3d$(3-解:2一血静电能量 “ 2C 2fer-l)T+d叫d '(%-1) 'Ex - Ocos(0ct+ 炖)一耶q sirffT+炖)血g2吒(s -l)x+aYL*JC = + G 二 专(歹+ 3-討合成波为右旋圆极化波。ai= 一2时,8.图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距离为d.两板分别带有电荷量I J与 卜，现将厚度为d、相对介电常数为i,边3长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至二

5、处，试问该电介质要受多大的电场力？方向如何?其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。9.长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框,°尺寸与相互位置如图所示。设时，线框与直导=7e线共面一时，线框以均匀角速度绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。解：长直载流导线产生的磁场强度傀 Isb<h*（驴+/-（詔遇血）2参考方向一 0时为顺时针方向。10.无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为:时刻穿过线框的磁通二也迅鱼即a人2r rHezQ. 2os&5jzy）siii6xl09 A/d试求 b的值；（2）电场强度瞬时矢量犬门，和复矢量（即相量）* r解

6、：（1）+ aJcosVt感应电动势SxlO8）2radsd e- df故得9 rd.cos(6x 10? t一 5肩斥“+竹3弁肚皿（15切sir6兄xl£-5育亦）V /in 应二會9寤匚迫5勾九讪后-供3畀屈8£5砒）亡亦口e11.证明任一沿七传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。证明：设线极化波£rll 片3*2 耳 2Srl二览0）+场0）其中:壬：和L分别是振幅为二的右旋和左旋圆极化波12. 图示由两个半径分别为I和I的同心导体球壳组成的球形电容器，在球 壳间以半径：匕为分界面的内、外填有两种不同的介质，其介电常数分别为-：

7、-、/ 和二，试证明此球形电容器的电容 为证明：设内导体壳外表面所带的电荷量为Q则R2 <r<R 面积中心，_!P ,- 4,:.1= 281.25-45+81两导体球壳间的电压为：J 二 a/28L25?+452+8P = 296.121 A /ip(3)>的平均值2空 2/64)13.已知丁= Q0#码-2/內+2*陀)A/in2 求穿过面积: - < -在5方向的总电流(2) 在上述面积中心处电流密度的模；(3) 在上述面上，的平均值。解：/= j J ds= J/ d_pdz<* = f左=J；5" C.21 - 18a)dy= X12-6(3!

8、- 2s)= 399 AI _ 399£.2 3.8)(32)一IT商羽5 A/d314. 两个互相平行的矩形线圈处在同一平面内，尺寸如图所示，其中' ' L.，1。略去端部效应，试求两线圈间的互感。解：设线框_带有电流一，线框的回路方向为顺时针。线框1产生的B为监二曲k(s+q+鸟)SI 2jz 6'+q)G+站)15. 已知- J-1：；：；，今将边长为二的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿；、j和C方向时，求框中的感应电动势。线框的法线沿E时隘=°16. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度H ' J 为；H t)-碍

9、& sir(4 jr)cos(/ut-K)+ e3A2 cos(4 x)sir(a?r-JSj A/m其中：、1为常数，求位移电流密度儿。解：因为./ -'解：(1)线框的法线沿时由得二二XA= VxHgJ? d7= -aEm ccis田-"（-；）+ 孔 cosfojt-24 sir(4jr)cos(a?f-K)A2 cos(4excyA*A*：y , y=f '、a A '、f =右边：(A.)gz. A：(f)e；zx=-J?cos(4 x) cos(o>t-j9y) + e,4 A2 日ir(4x)sireA妙)一丐/sir(4x)sir

10、iiuf-血)A/m 217.利用直角坐标系证明l (fG)二n G ( f ) G2.证明左边=(fA) = ' (fAx£ fAygy fAzSz)_ ：(fAx)ex . ：(fAy)ey . "fAzz:x釣:zI_ f (Ax)gx . A：(f)gx . f f(Ay)ey . A "说exex&ycy(Az)ez A fzczz cz18. 求无限长直线电流的矢量位A和磁感应强度B 解：直线电流元产生的矢量位为0Idz'dA-gzT 22 124兀r +(z-z') 积分得(2)电容器的电容及储存的静电能量。a1右2(

11、短122解：1) Dr = D2 = QgxS,-I虫宁-I n (z'-z)、.(z'4 二2IJ2I -2-QS - 0,E2D2S；4 :ln(2_Z)+(g_Z)2 +1''2 -(2 z) (2 z)2r212S；oEdd-a)da当I：，A: 附加一个常数矢量C二e/丄I4兀I则 Alnl g 乂 In&卫沁4兀r4兀 I4兀rQ Q S ；2 :U2E2aa；Qa ； (d - a)iEiaiE2QI-ME；Q则由百八A =圣也1 卫(d _a) Q22 C 2S%de4兀 r19. 图示极板面积为S间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入

12、一块面积 为S、厚度为a、介电常数为；的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为Q与-Q。若忽略端部的边缘效应，试求(1) 此电容器内电位移与电场强度的分布;20. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为-_j(20 zE = ax lOeW ay 10e 2 (v/m)求(1)平面波的传播方向；(2) 频率；(3) 波的极化方式；(4) 磁场强度；(5) 电磁波的平均坡印廷矢量Sav。解：(1)平面波的传播方向为+z方向(2) 频率为 f 二k03 109Hz2兀(3) 波的极化方式因为Exm二Eym =10° X=0 -2 2故为左旋圆极化.(4) 磁场强度H =、：, Fz

13、E =丄血 ax1o* j£z $10冷/2宀 ：% 0二丄慝10-4-jax104)e-j20：z0(5) 平均功率坡印廷矢量Sav J ReE H* J Re(ax10* jay10冷e 2 2丄&10鼻-jdx10冷ej20：z0亠止2 .曲£a2 ii z0 0AA-2 1oaz2 120 二= 0.265 10,0az(W/m2)21.利用直角坐标，证明' ( fA)二f-A A f 证明：左边八(fA) J ( fAx&fAyfAz)_ "fAxx .：(舛曲'(fAzzx:y: zf ：（Ax）ex. A：（f）e&l

14、t; （Ay）ey A r（f）e exx exdycy：（Az）eZ Afzczz dzI汽AMAr（f）e:z:x厂get . f ：（Ay）ey . dxdy所以2 2i - A_d S= （ex2yz ez2xLezd xd y = 8S0 0故有1 A d = 8 = Nx Ad ScS23.同轴线内外半径分别为a和b，填充的介质-0，具有漏电现象，同轴线外=右边22.求矢量A二&x eyx2 Szy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路 的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求i A对此回路所包 围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解:2222lAJdI = J

15、xdx_ Jxdx + J22dy _ J0d y =8C0000ey:y2xcz2y z= ex2yz ez2x加电压U，求(1) 漏电介质内的,；(2) 漏电介质内的E、J ；(3)单位长度上的漏电电导解：(1)电位所满足的拉普拉斯方程为1 d d ：（ r dr dr）=0由边界条件r二U ;r丈，'=0所得解为：()=斗1 n注rad U e dr rlnb " a则漏电媒质的电流密度为J = E(r)二一rlnbaU2 U er InIna a电场强度变量为E(r) = -g(3)单位长度的漏电流为I0 =2 rI“丫单位长度的漏电导为U- bIna24.如图 所示

16、，长直导线中载有电流i =|mcost, 一 矩形导线框位于其穿过线框的磁通量c “a* = J B.dScbdr-0bI m cos t c aln2 二cd*z =dt%blm sin . c a ln线框中的感应电动势c近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势解：载流导线产生的磁场强度的大小为参考方向为顺时针方向。25.空气中传播的均匀平面波电场为E=£E0eT“，已知电磁波沿z轴传播, 频率为f。求!(1)磁场H ； (2)波长;能流密度S和平均能流密度Sav ；能量密度W26.平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度解：(1) H =

17、丄& eXE0ej（0L d/2）用介电常数为；的电介质填充，（1）板上外加电压u0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；（2）若已知板上的自由电荷总量为q，求此时极板间电压和束缚电荷;（3）求电容器的电容量。解: （1）设介质中的电场为E=e zE,空气中的电场为E o二ezEo。由q = D0，有又由于E 牛 Eo”U由以上两式解得2；oU。C o)d匚2；U°0（ ；o）d故下极板的自由电荷面密度为二下2 0 U 0（；o）d得到上极板的自由电荷面密度为Q 2；0；UU _ （ ； p）dQ2 ；0 ； ab_ 2 ；。（；o）d"二 c0）Qab电介质中的极化

18、强度电容器的电容为=2 ；o（； - ；o）Uoez（；p）dC =_Q = 2；o abU C o）d故下表面上的束缚电荷面密度为二 p下-eLP2；。（ ； - ；0）U。（；o）d上表面上的束缚电荷面密度为2 ；。（ ； - o）Uo（；o）d由26.频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（'Z ）方向传播，介质的特性参数为；r = 4、丄= 1，= 0。设电场沿X方向，即E= exEx ；当t=0，z = 】m时，电场等于其振幅值810V/m 。试求(2) 波的传播速度；(3) 平均波印廷矢量解：以余弦形式写出电场强度表示式E(z,t) =&Ex

19、(z,t) 二&Em cos®t -kz +WxE)把数据代入Em =10V/mk=2 - f .4% ；04:rad / m33 108= 1.5 108m/s(3)平均坡印廷矢量为Sav =卿H*2,10!z60:二空丄rad3 864 二 二z )V / mE(z,t)二&10°cos(2二 108t36，1.a 4兀兀sy10，cos(2 二 108tz )y ；36 1484:=ey 10 cos(2二 101 z )A/my60 二3660 二-8W/m2120:27.在由r=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=err_ ez2z验证散

20、度定理。解：在圆柱坐标系中I 112A (rr ) 一(2z) = 3厂 2 r crcz所以42兀 5'Lad = dz d (3r 2)rdr = 1200二T000了 AdS = f (er+ ez2z)er dSr + e©d S©+ezd Sz)W S42 二52 二二52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有吐 di =1200兀=HAJd STs28.求（1）矢量A =exX eyx y ez24x y z的散度；（2）求；LA对中心 在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定 理。解：（1）* 二込.

21、"24x2y2z3） =2x 2x2y 72x2y2z2 excycz（2） ' UA对中心在原点的一个单位立方体的积 分为故有 |_A d 二(2x 2x2y 72x2y2z2)d xd y dz 二一E_122_1224（3） A对此立方体表面的积分7 AJd s =12 12 1 12 12 11 J(5)2dydz- J J e-)2dydzJ2 J2 2_J 2 J2212 12+ f f 2x 2212 122 1 2 2 1 2()d xdz i i 2x () d xdz24 2 _1 2212 1222 , 1、3亠！ I 24x y (7) 二221241

22、'La d.I24= 1A d S12 1222I 3d xdy I I 24x y () d xdy斗2斗2229.计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求；Lr对球体积的积分。_2兀 兀r_erdS 二 d? aa2sin vd v - 4. a3S00又在球坐标系中' Lr12(r2r)=3r er所以所以ex;xxe y汙2xezcz2y z=ex2yz ez2x2 2i i (ex2yz ez2xezd xd y = 80 0故有2 兀Jia' |_rd=3r2sin vdrdvd =4二a3j00 030.求矢量A =0<x PyX e

23、z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路 的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求' A对此回路所包 围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解：2222J Ad I = Jxdx_Jxdx + J22dy_J0d y=8C0000又31.证明（1）'丄只二3 ； （ 2）' R= 0 ； （ 3）V （ Ar）= A。其中 R = exX 汀ezz，a为一常矢量。解：（1）兀R_ &+色+空=3excycz(2)Vx r =exeyrezw=0xyy设E = Er E2ex ey - ez232、2 二；0AR = AxXAyyAzZ(AR)二纵厶 Rx

24、Ayy AzZ) e&g Ayy AzZ) excy33.两平行无限长直线电流11和12，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培 力F m。解：无限长直线电流11产生的磁场为ez(AxX AyyAzZ):z二 exAx ey Ay e zAz 二 A32.两点电荷q =8C位于z轴上z=4处，q2 = 4C位于y轴上y = 4处, 求(4,0,0)处的电场强度。解：电荷qi在(4,0,0)处产生的电场为直线电流12每单位长度受到的安培力为1Fmi2 二丨2ez Bidz= -ei20%lilE1r 一2 ex4 -ez44殆°r-J 一阳 0 (4 72)3电荷q2在(4,0

25、,0)处产生的电场为q2r - r；1ex4 ey4E 2 -4陰-厂% (4血)3式中e12是由电流11指向电流12的单位矢量。同理可得，直线电流11每单位长度受到的安培力为F m21"0丨1丨22二 d故(4,0,0)处的电场为34. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋 转，求球心处的磁感应强度B。解： 球面上的电荷面密度为Q24 二 a2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r二era点处的电流 面密度为J s =、" v = w r 、" ez"* " ea-.Q -=easin v - e s

26、in -4兀a将球面划分为无数个宽度为dl二ad=的细圆环，贝y球面上任一个宽度为 dl二ad细圆环的电流为d I 二 Jsdl Qsin dv4兀细圆环的半径为b=asin日，圆环平面到球心的距离d=acos日，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为d 口_巴b2dl _卩声Qa2sin'dTdz2(b2 d2)32 壬8 二(a2s in2, a2cos)32% Qsin3 d故整个球面电流在球心处产生的磁场为B = ez0 'Qsin3G "X08 二 a6 二 a35.半径为a的球体中充满密度'(r)的体电荷，已知电位移分布

27、为 3 A 2r ArDr = a5 Aa4(r 乞 a)(r - a)其中A为常数，试求电荷密度'(r) 解由 HD八：，有，(r)|_D 二4-(r2Dr)r d r故在r ： a区域在r a区域1 d'(r)二；0 2r2(r3 Ar2) = ；0(5r2 4Ar)r d r54AOJ = O r36. 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量 为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E =er（ra）4，设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球壳外 表面的电荷面密度。解：（1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体

28、密度为3r4) =6 ；0 飞aa解：(1)小 |_P 二-3P0匚 P(X = 2 ) = nLP x± 2 = ex_lP x=L 2 = ? F0匚 P(X = - 2)= nLP X=_L 2 = _e P x=_L 2 二? P0同理吋y歩“。（y知"歩“心£EPo（2）球体内的总电量Q为a3r 22Q =: d = 6 -q 4 牛r d r = 4 - aT0a(2)qP= JPPdi+|7<TPdS=3P0L3 + 6L2汉丄 P0 = OTs2球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷

29、为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为38. 一半径为Rq的介质球，介电常数为；r；0，其内均匀分布自由电荷'，证明中心点的电位为可得到DJdS= qs2Q- 24二 a37. 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P 二 Po（exx eyy qz）。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。4二r2U =4 - ?3(r :R)(rR)、lp 4-(r2-4r dr r r在r =R的球面上，束缚电荷面密度为Di3；r p打3 丫 ；o(r :R0（2）由于D二；。E P，所以'、Ld= ；0'、Le_P 二 3 _D P，E

30、2旦吾名03%r(r - Ro)故中心点的电位为Ro:(0) = . Er00.EzdrR):上dr0 3 0rR）3由此可得到介质球内的自由电荷体密度为6 ；03 p总的自由电荷量；K2（一 ；0）rRg叶 名K r 12 ,4兀名RKq =：- d2 4 r dr ：T（3）介质球内、外的电场强度分别为39. 一个半径为R的介质球，介电常数为；，球内的极化强度P =er K r ,其 中K为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度;（3）计算球内、外的电场和电位分布。解：（1）介质球内的束缚电荷体密度为pkE弋厂孑（r: R）qRK2 ' 4二;°

31、r2 er ；。（ ； - ；o）r2（r R）介质球内、外的电位分别为R:1 = Ebdl 二 EprE2drrrRdrR %（牡一 £Q）rK:一 ；QlnRoOoOfRK 二Ezdr2 dr）r2rr QQ 1dr（心R）；RK；q（； - ；o）r（r -R）4Q.如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为UQ，求槽内的电位函数。解：根据题意, (Q, y)= (a,y) =Q (x,Q)=0 (x,b)二Uq根据条件和，电位(x, y)的通解应取为由条件，有"x, y）AnSinh（卫 y）sin（卫

32、 X）nTaaoOU Q 八 AnSinh（nm山）sin（两边同乘以sin(n二x.a，并从Q到a对x积分，得到2Uqasinh（ n二 b a）asin（Q）dx故得到槽内的电位分布2Uo(1cos nn)n二 sinh( n二b a)4Uo« n兀sinh( n兀bfa)(x,y)=4U0 '二 n 土3,5,屮,n =1,3,5,|l|n =2,4,6,丨1|即'dx, y)二U0yb ； 2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的 电位，其边界条件为 (x,0) = (x,b) = 0 2(x,y) =0 (x 宀)Uod:2(0,y)(0,

33、y)- 1(0, y)二u。U°半y(0乞y乞d)(d 乞 y< b)根据条件和，可设2(x, y)的通解为41. 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y = d到 y二b(：:z 。上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位 的解。设在薄片平面上，从y = 0到y = d，电位线性变化，(0, y) =U0y：d。yU01bo Jx4.2由条件有U 啓申V' An sin( y)= nTb0 U 0 -y _ y d b.u°U0 -二 yb(0乞y乞d)(d 乞 y< b)两边同乘以sin(n- y.b)，并从0到b对y积分

34、，得到-2)ysin(nbdy 学bbb解：应用叠加原理，设板间的电位为(x, y)二 1(x,y)2(x, y)其中，1( x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为U° )的电位,-00 q，位于 z 二 - h故得到S)Py 狞fn(呼)sin(?)ePbd 二 n 吕 nbb-0q- q，位于 z 二 h上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4胧 0R 4s 0R"_ q 1_ ； - 014二；0 i ：r2 (zh)2； 9r2 (z h)242. 如题（a ）图所示，在z ：0的下半空间是介电常数为；的介质，上半空间为 空气，距离介质平面

35、距为h处有一点电荷q。求（1） z 0和z 0的两个半空 间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等 于镜像电荷qIz q题 4.24 图（a）解：（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电 荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b）、（c、所示）下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即q 12(； r2 (z-h)2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为坊 p = n （ R P2） zt = % （Eiz 巳z） m极化电荷总电量为亠）Zz=0(E-%)hq2U)(r2 h2)32

36、GO8 - ； PdS - ； p2：rdr 二S0(r)hq r_7f 2丄厂2、3 2十0 o(r +h )drC - ；o)q43. 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q ,在球体外距离球心为D处有一个点 电荷q。 求点电荷q与导体球之间的静电力； 证明当q与Q同号，且Q RD3 R2 rr q (D2 -R2)2 D成立时，F表现为吸引力解：（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量 异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q和q的大小和位置分别为（如题图所示）R2D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电 力为F Fq=qFq=qFq

37、 >qq . q(D q )4二；0(D - d )24二；0D2_ q Q (R D)qRq22 F4疏0DD D-(RD)2j(2)当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F ：0时，则应有Q (RD)qRqDD*D(RD)2 子由此可得出Q RD3_ Rq (D2 - R2)2D44.如题所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为叫和"2的两种磁介质 的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2 ； （2）磁化电流分布。 解：（1）由安培环路定理，可得故得到所以得到=eJoI1Iz1厂1 一厂0卩2 =卩x（2）磁介质在的磁化强度-B2 -Ho则磁化电流体密度1 d(

38、rM “ ez(=o)I1d(rO在r =0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r = 0处存在磁化线电流Im以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C,由安培环路定理，有1I ImB dl0 CImA(1)I0在磁介质的表面上，磁化电流面密度为JIe (7°)lJ mS = M ? ez z=0r2兀卩 0 rH")H 2(HJr杪H1（P2）H2（P2）题5.9图45.如题图所示，一环形螺线管的平均半径r。=15cm,其圆形截面的半径a = 2cm鉄芯的相对磁导率'r -1400，环上绕N=10°0匝线圈，通过电流 I =0.7A。（1）计算螺旋管的电感；（

39、2）在鉄芯上开一个10二0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯LL的r不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解：（1）由于r0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中 心处的磁场。由安培环路定律，可得螺线管内的磁场为NI所以螺线管内的磁链为H =2兀r°与螺线管铰链的磁链为弓-NSlHJa2N2!2ro故螺线管的电感为故螺线管的电感为L =II2ro-7221400 4二 100.0210002915= 2.346 H(2)当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与 鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0 =B，但空气

40、 隙中的磁场强度H 0与铁芯中的磁场强度H "不同。根据安培环路定律，有H0I0 H 丄2 二 r° 一1°) =NI又由于% =、0H0、B丄0 7H .及Bo = B，于是可得Bl0(2二5 -I0)“°（2二 r°-lo）叩。(25-1。)4二2 10” 1400 0.022 100021400 0.0012 二 0.150.001(3)空气隙中的磁场能量为1 2Wm00H0SI02鉄芯中的磁场能量为Wm0Wm%2 r0 一 l01400 0.00120.15-0.001= 0.944 H= 1.48746. 一根半径为a的长圆柱形介质棒

41、放入均匀磁场B = ezB0中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解：介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为E = v B =e r ezB0 =err B0故介质棒内的极化强度为P = X e pE 二 er （ ；r -）；0r ' B0 二 （ ； - p ），B°极化电荷体密度为1 ；1 j2'p- P（rP）（ ； - ；o ）r 小 Bor crr cr-2（； - ；。厂 Bo极化电荷面密度为S = P n 二牡Bo er = =®）acoB。则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为

42、QP =旳2 1 订 - -2二a2（ ； - ；0），B02Qps =2二a 1 J =2二a （ - ；0） Bo47. 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b,长为丨。设外加电压 为U°sn，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解： 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即_ U o sincot E =耳r ln （b a）故电容器两极板间的位移电流密度为J厂亠弋八U0COSt:tr ln (b a)2二 i ； U0 cos00 r In (ba)errd dzln(b

43、 a)'U0COs 'tCU0COs t2阳丨C式中， ln（ b a）是长为I的圆柱形电容器的电容流过电容器的传导电流为-J I Ii c = C = C；：； U o cos；：； t dt可见id 二 ic9卫48.已知在空气中E PONin0二珅6 M t-）：z，求日和 -（提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得：o ）解：电场E应满足波动方程将已知的E= GyEy代入方程，得222一0 '0X:Z.:t2；H;:tE ViEy: Ey-ex yezy0: z : x1-ex0.r sin 10二 xsin(6二 109t- : z)-0ez0.1 10二 c

44、os10二 xcos(6二 109t- ： z)式中将上式对时间t积分,-2 :'Ey-2x-O.1(10)2sin10二xcos(6二 109t - : z)"eT =0.1sin10二x2cos(& 109t- z) ZFe% ；0=0卩0 ；0sin10二x-(6二 109)2COS(6二 109tz)故得-(10 二)2 - I2 % ；0(6 二 109)2 =0则日 一 r詡 wsrvez二 cos10二 xsin(6二 109t-： z)_49=-ex2.3 10 sin 10二 xcos(6二 10t-54.41z).4-ez1.33 10 cos10

45、二 xsin(6二 10 t - 54.41z)A/m49.在自由空间中，已知电场E （乙沪ey10si ndt-PzMm，试求磁场强 度H （乙t） o解：以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式:二二 300 =54.41rad/mE (z,t)二 ey103cos(，tR兀z )V/m2这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为-90。与之相伴的磁场 为E = 0H (ez) =120二eycos( t : z) ( ez)3兀二 ex40cos( -t ： z) V/m由_ _ ' rad/m得波长，和频率f分别为13=一ez ey103 cos| .t -0 .二 0

46、.21m1H (z,t)二一ez E (z,t)010120 :COS i， t - - z -L2-ex2 65sin( t - - z) A/mVp3 1080.21Hz = 1.43 109 Hz99-2二 f = 2二 1.43 10 rad/s=9 10 rad/s1A/m50.均匀平面波的磁场强度H的振幅为3二，以相位常数30rad/m在空气中沿七方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为"Gy，试写出E和H的表示式,并求出波的频率和波长解：以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式1H - e y cos( t : z)A/m3兀与之相伴的电场为则磁场和电场分别为H - -ey丄 cos(9 109t 30z) A/my 3兀9E 二 ex40cos(9 10 t 30z)V/m51.海水的电导率 二4S/m，相对介电常数=81。求频率为10kHz 100kHz1MHz 10MHz 100MHz 1GH的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解：先判定海水在各频率下的属性上 8&108诳 勿化声。勿广81%f可见，当f <1