2019年电磁场与电磁波计算题解

1、电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为:F 1 52Jc ar 10rA/m求： 通过半径r=1mm的球面的电流值。 在r=1mm的球面上电荷密度的增加率。 在r=1mm的球内总电荷的增加率。 I = ： Jc d s = 0° 10r1.5 r2 si nr dr d |r = 1 mm=40兀 r0.5 r =1mm = 3.97A 因为二二丄2(r210f 5r 25r d rcP由电流连续性方程，得到：可Jc:t r =1mm- -1.58<108A/m3r = 1mm在r=1mm的球内总电荷的增加率dt=-3.97A例2在无源的自由空间中，

2、已知磁场强度H -ay 2.63 10*cos(3 109t -10z)A/m求位移电流密度J；。解：由于Jc =0，麦克斯韦第一方程成为Jday：:yHyaz:z0一 3H=a/ 匕一ax 2.63 104sin3 1(ft-10Z)A/m2 点z例3在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度已二ay10，si n(6.28 109 20.9 z) v/m求空间任一点的磁感强度解:由麦克斯韦第二方程axayazVxE-ctdxdz0Ey0一 -：Ey二ax；z=十20.9 10 cos(6.28 109t-20.9z)将上式对时间t积分，若不考虑静态场，则有Bdt=ax 20.9

3、 10cos(6.28 109t-20.9z):tdt 二一ax3.33 10 J1 s in (6.28 109t -20.9z)T例4已知自由空间中，电场强度表达式为E = ax cos(wt - : z);求磁场强度的H表达式。F解： ' E B 第二方程ct且在自由空间中=亠“B;:H.:td d p* q叮 E'VFH - -ay isin(wt - z) d t卩0一 p=ay cos(wt - ： z)t无关的恒% w上式积分的常数项对时间是恒定的量， 在时变场中一般取这种与定分量为0例5有一个广播电台在某处的磁感应强度为B=0.2%cos2.1(3 108t-x

4、) azA/m媒介为空气,求该处的位移电流密度解：在该处无传导电流卫：t打v X B在直角坐标系中：Bz= 0.2% cos2.1(3x10t-x)axayazb-V B 二.dxdzBxByBz-U-0JdBy：Bx：By汨z:y:z)ax仁:x)ay (:y)az0.2% sin 2.1(3 10$ t - x)(-2.1x)例6同轴电缆的内导体外半径a=1mm外导体内半径b=4mm内外导体之间是空 气介质，且电场强度为100 8 - Ecos(1081 az) arV/mr用麦克斯韦方程求a。求磁感应强度B。 求内导体表面电荷密度 %。 求长度0<z< 1 m中总的位移电流解

5、：一B -八 EctarAra：'-AazrzAzarAra :r Ar-(az；z1 Ara :az)sin (104 - ： z) - 0100asin(1(0t - ： z)10" cos (1081 - az)在内外中间的空气中,：tft将B代入，则:1 100 2*108rsin(10t _ ： z) ar100108sin(108r ： z)ar1 100：2100 ；0108108= 101636 :10法拉/米= 1016% =4 二 10H /m10“8cos (10 t 在内外导体之间作园柱形高斯面，有0EdS= dV= ；dsvs:0Erd dz二 s

6、ad dz?s0 00 Er rd dz= 0.s ad dz31 10cos8(10z) ar；0 105cos (108Id：t：t100.-010-sin(10t- ： z) ar ds1010sin (10 t -a z)，r d z r12 二 1010sin(108tlnsn2 o101(108t z)d dz-6二 1O10 ；0310 1 8+1)sinsin (10 t )366由麦克斯韦方程可得:cos (1081 一 z) 0 = 6 兀汉 1O10 E0cos1081 -cos(1081 一)33例7、在两导体平板(z=0和z=d )之间的空气中传输的电磁波，其电场强度

7、矢量E =e EcSin( z)cos(-k x)y 0 dx /其中kx为常数。试求:(1) 磁场强度矢量H。(2) 两导体表面上的面电流密度 Js解:(1)对上式积分后得:E 兀E kxB =e ' cos( z) sin( t-k x) e 0sin(匚 z)cos( t-k x)x d . dx z , dx即:EokxCOs(d z) sin(kxx)ex(2)导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在z = 0表面上，法线n二ez，面电流密度zFey = sin('t-kxX)在z =d表面上，法线n = ez，面电流密度：Ez"ey=dsin(kxX

8、)例&一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为 a,外导体半径为b,长度为L,同轴线两 端用理想导体板短路。已知在 ar乞b、0乞z辽L区域内的电磁场为：E =eAsinkz， H =角 coskz(1) 确定A、B之间的关系。(2) 确定k。(3) 求r=a及r =b面上的 匚、Js解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态(1) A、B之间的关系。因为E=乞竿 coskz = - j： -H所以A -j JB k(2)因为'、H"rH Jz=er¥sinkzE所以A = _L_ B _ j ；(3)因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为:n H 二

9、 Js ， n D 二 J在r =a的导体面上，法线n=er，所以J sa?sar=e 旦 coskz - z rA .r / sin kzrr二e B coskz z aA .r sin kza在r二b的导体面上,J sbsb 二 n DBu = e 口 coskz r- z r r 巾 A sinkz rBr k = -ecoskzr- z b7A sinkz_b例9、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为：(V /m)4 - j20 二 z E(t) = (e - je )10 ex y试求:(1)工作频率f。(2)磁场强度矢量的复数表达式。(3)坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值

10、。解：由题意可得:k=20109所以工作频率f =3 109 Hz(1)磁场强度矢量的复数表达式为:H ez E 二丄(ey jex) 100-4j20：z(A/m)其中波阻抗0 =120二门。(2)坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。电磁波的瞬时值为:E(t) =ReEe旧=(ex jey)1。4cosWt2Mz)(V/m)H (t) =ReHejKt=古(e + je )10一4 cos® t 20吃)(A/m)0 y x所以，坡印廷矢量的瞬时值:St) = E(t戶 H(t) = 10-8coS©t 20z) (e -jey (ey + jej = 0W/m20y y同理

11、可得坡印廷矢量的时间平均值:SavRegE H =0 W/m2例10、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为:H十&屮6叨归丁3z)试求:(1)波长、传播方向单位矢量及传播方向与z轴的夹角。(2)常数A。(3)电场强度矢量。解:(1)波长、传播方向单位矢量及传播方向与z轴的夹角分别为:=-0.4 m k4ex 3ezk f ；kx kz (4二)2(3二)2 二 5二，k=0'8ex 0.6ez，g"6e J (4x 3z)=53(2)cHy cH十 W=4：jA-12“j=0(3) 电场强度复矢量0H q = 0 (-ex3 ey2 6 ez4) < j

12、 (4x 3z) (0.8ex 0.6ez)= ”0(評ex+5ey 护e”jS + 3z)V/m例11、假设真空中一均匀平面电磁波的电场强度复矢量为：EP2eyJ护"曲V /m试求:(1)电场强度的振幅、波矢量和波长。(2)电场强度矢量和磁场强度矢量的瞬时表达式解：依题意知，电场强度的振幅:E° = e0x E；y = 3、. 3 V / mk=k2+ky+k271所以波矢量k = kek，其中ek4ex从而(1)=4mk电场强度矢量的瞬时表达式为:E(t) =ReEe0 =3(e -迈e )cos冏t £(2x +V2 y V3z)x y6(V/m)磁场强度矢

13、量的瞬时表达式为:H(t)二丄电 E(t)(6$3ey 3.2ez)cos t-6(2x 2y-、3z)(A/m>例12、已知在无源的自由空间中，磁场为H 二 ey 2 c o s (: 1x5) si n 96 - -1zO t( A/m利用麦克斯韦方程求相应的电场E及常数：。解：将H表示为复数形式：H (x, z)二-eyi2cos(15二 由时谐形式的麦克斯韦第二方程可得：1E(x,z)H 二厂I" 0Hx)ez(1)ex ： 2 cos(15 二 x) ezi30 二 sin(15x) e_i zH (x, z)二丄i E e0"0z：:Ex :Ezeyi2&

14、quot;2;l0手2 十(15江)2)cos(15兀 x)e比较(1 式何(2式，有-2(15二)2) =J 0 ；o=(6 二109)2二 400 二所以 二,40-22- 41.56( rad / m)所以，相应的磁场强度为：E(x,z,t) - -=496 cos(15 二 x) sin(6 二 109t - 41.56 z) =565.5sin(15: x) cos(6 二 109t - 41.56 z)V / m例13、同轴电缆的内导体半径a =1mm ,外导体内半径b =4mm ,内外导体间为空气介质，并 且电场强度为100 8 / 、E 二 e cos10 8t - 0.5 z

15、 （ V/m）r（1）求磁场强度H的表达式；（2）求内导体表面的电流密度；（3）计算0z乞1m中的位移电流id。解：将E表示为复数形式：E(r,z)二 e I0%®则由时谐形式的麦克斯韦方程可得:H ( x, z)- .i 0.5 z /e ( A / m )0.398二 e r而磁场的瞬时表达式为H(r,z,t)旦cos(1(ft -0.5z)(A/m)(2 )内导体表面的电流密度H = = &397.9cos(108t - 0.5z)(A/m)E -*582(3)Jd 八0= U - sin(108t-0.5z)(A/m2)ct18兀 r所以，在0 - z -1中的位移电

16、流id 二；dLd；二:Jd_er2二 rdz 二-0.55sin(108t-0.25)(A)s例14、已知在自由空间传播的平面电磁波的电场的振幅E。=800（V/m），方向为氐，如果波沿着z方向传播，波长为0.61m,求：（1）电磁波的频率f ; （2）电磁波的周期T; （3）如果将场量表示为Acos（t_kz），其k值为多少？ （ 4）磁场的振幅H0二解：在空气中，电磁波的速度为C -1- 310 8（m / s）Ji00本征阻抗 0 =120理= 377所以/3 x 108(1)电磁波频率 f=c4.92 1 08Hz=492MHz/扎 0.61(2)1 8电磁波周期 T0.203 10

17、 s=2.03ns(3)k = 2 二 /，二 10.3( rad / m)(4)E 0800=2.12( A/m)H 00377例15、在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为E = ex10-4ei( n ey10xy4 i (t 一20 二 z e2求：（1）平面波的传播方向；（2）电磁波的频率；（3）波的极化方式;)(V /m)(4)磁场强度H ； (5)电磁波流过沿传播方向单位面积的平均功率。解：（1）从电场方程可知，传播方向为ez(2)从电场方程可知，k=20二所以-二20 :2 :109"10(Hz)3GHz(1)艮电场可表示为E = G iey )1t)eH 20

18、z是左旋圆极化波(2)由H-ezE可得0ey2.6510 _t-2 0z)e，(t_ 2z0)（5 ）平均功率Sav1 D r/ 彳彳 C 4i 20 =z 丄 * 彳 c 4 (20 Hz 申)、=£ Re( ex 10 _ e _+ ey 10 _ e2 )i(20 -z 屯)(_ex2.6510 Je _2ey 2.65 1O”ei20：z)=eZ 2.6510 J1 (W/m2)即 Pav =2.6510 J1 (W/m2)1詁斗*例16、电磁波磁场振幅为A/m，在自由空间沿ez方向传播，当t=0,z=0时，H在e方向,3兀相位常数-=30rad/m。（ 1）写出H和E的表达

19、式；（2）求频率和波长。解：（1）在自由空间中， ° =120二= 377 “而-_J 0 - 30( rad )109(radJ J0于是得磁场H(z,t)-二丄cos(93:1t030 )电场(2)CO9二 1.4310 ( Hz )2 :例17、在=1、；r若已知平面波的频率F TJI=4、：； -0的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度E = Ems in （t-kz，），3f -150MHz，任意点的平均功率密度为 0.265W/m2。试求：（1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗；（2） t=0,z=0时的电场E（0,0）'等于多少？ （ 3）经过t = 0.1

20、87;s 后, 电场E（0,0）值传到什么位置？波数"=2二仁：7=2二血 106 為 2吃（rad/m）1 1 8相速 Vp1.5 10( m/s)J屮2趴轧波长波阻抗已"二；、% =60二(门)(2)均匀平面波的平均坡印廷矢量S平均=eZ 丄匸聞=go.265>dO“ (W/nm )2 AJ卩得Em =10 汉 10 (V/m)当 t = 0 , z = 0 时E =|Em|sin 拧=10X100.866 =8.66X10 (V/m) t = 0.1 Js 后E=10'sin&ftkz4I3丿2I6_Z応：_3=10 sin15010110 一2=3次6610得sini30 2二z8.66 10I 3 丿z =15 (m)例18、空气中某一均匀平面波的波长为12cm,当该平面波进入某无损耗媒质中传播时，其波44长减小为8cm，且已知在媒质中的E和H的振幅分别为50V/m和0.1A/m。