湖南省长沙市2019年中考数学实现试题研究与函数有关的新定义问题题库

1、与函数有关的新定义问题一 _. k . .一1.头数x、y右存在坐标(x, y)同时满足一次函数 y=px+q和反比例函数y=-,则二次函 x数y= px2+ qx- k为一次函数和反比例函数的“共享”函数 3(1)试判断(需要写出判断过程 广一次函数y=x+4和反比例函数y =-是否存在“共享” x函数？若存在，写出它们的“共享”函数和实数对坐标；(2)已知整数 m n、t满足条件：t<n<8m|并且一次函数 y= (1 +n)x+2m+ 2与反比例函数2018 y=存在x函数y=(mnt)2+(10mi-t)x-2018,求整数 m的值;9(3)若同时存在两组实数对坐标 (x1

2、, y。和(x2, y2)使一次函数y= ax+2b和反比例函数y =c存在“共享”函数，其中实数a>b>c, a+b+c= 0,令L=|二1|,求L的取值范围.xx1 x2解：(1)令一x+4 = 3,解得x= 1或x=3, y=- x+4和y=3是“共享”函数，实数对坐，xx标为(1 , 3)和(3 , 1);2y = (1 + n)x + (2mi+ 2)x 2018,2018 一 一一(2) y=(1 +n)x+2m 2与y= 的 共学 函数是xy=(m+ t)x2+(10m-1) x-由题意得，y=(1 +n)x + 2m2与y = 20竺的“共享”函数为x2018,1

3、+ n=mi tn = 9mv 3，一 一一.，即.一 一，2m 2=10m-1t =8m- 2又. t<n<8rn，8 m- 2<9m- 3<8m m为整数,m= 2；y-b和y = -c存在“共享”2函数为 y=ax + 2bx+c,则a、b、c满足,a+ b+ c=02 ，一 一4b 4ac>0,a>b>c即(a a2c) acL2=(-1)2=Xi X2(Xi+ x2)4xiX2(X1X2)2,2b、2 4c(一) 2a a 4b 4ac(a)2(a+c) 2ac a2 a2= 4( +-+ 1)cc ca 12c=4( ) +3,c 2 2&

4、lt;a< 72 c 2,-3<L2<12, 1-3<L<2 3.2 .对平面直角坐标系中的点P(x, y),定义d=|x| 十 |y|,我们称d为P(x, y)的幸福指数.对于函数图象上任意一点Rx, y),若它的幸福指数 d>l恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数 y= x2+ 1就是一个幸福函数，理由如下：设 Rx, y)为 y = x2+1 上任意一点，d= | x| + | y| = | x| + | x2+ 1| ,. x>0, | x2+1| = x2+1 > 1, . d>1.y=x2+1 是一个幸福函数. 1 ,(1)

5、若点P在反比仞函数y=-的图象上，且它的幸福指数d= 2,请直接写出所有满足条件的xP点坐标；(2) 一次函数y=- x+ 1是幸福函数吗？请判断并说明理由；(3)若二次函数y = x2 (2m+ 1)x+ n2+ mn>0)是幸福函数，试求出 m的取值范围.1解：(1)设点p的坐标为(m m，1d= m + 1 m = 2，解得：m=1, m=1,经检验，m= 1,1是原分式方程的解，.满足条件的P点坐标为(1, 1)或(1 , 1);(2) 一次函数y=- x+ 1是幸福函数，理由如下：设 Rx,y)为y= x+1 上的一点，d=| x|+| y| =| x|+ | x+1| ；x&

6、lt;0 时，d= |x| + | - x+1| = -x-x+1 = 1-2x>1;当 0wxwi 时，d= | x| + | -x+ 1| =x-x+1 = 1；当 x>1 时，d= | x| +| -x+ 1| =x + x-1=2x-1>1.，对于y = x+1上任意一点 Rx, y),它的幸福指数 d>l恒成立，一次函数y= x+1 是幸福函数；设 P(x, y)为 y = x2 (2m 1)x+ n2+m 上的一点，d= | x| + | y| = | x| +1 x2- (21)x +2 ., m+m ,- y = x2- (2 m 1)x + nn+ m

7、= (x-n)( x- m- 1) , m>0,. .分 xw。、0vxvm mex<vm- 1、x>m+ 1 考虑.当 x<0 时，d= | x| + | x2(2 m 1) x+m = x+x2(2 m 1)x+m+m= (xm- 1)'-m- 1,当x = 0时，d取最小值，最小值为 M+m一 2 .-m+ m> 1,解得：m>吏21 ；0V xv m 时，d = | x| + | x2- (2 vm- 1)x+ m2+ m =x+x2- (2m 1) x+ m2+ m= (x- n)2+ m-1>1,(xm 2>0,.m-1 &g

8、t;1,解得：m>2；当 m< x<1 时，d= | x| + |x2(2 m 1)x+n2+m = x x2+(2 m+ 1)xn2m= (xm-1) 2+1,当x=m时，d取最小值，最小值为 m,1;当 x>m 1 时，d= | x| + | x2- (21)x+n2+m =x + x2(2m 1)x+n2+m= (x-n) 2+ m-1 >m> 1,1.解得：若二次函数 y= x2(2 m 1)x+m2+mm> 0)是幸福函数，m的取值范围为 m>2.3.在平面直角坐标系中，设直线 l的解析式为：y=kx + b(kw0),当直线与一条曲线

9、有且只有一个公共点时，我们称直线 l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”.1(1)求直线l： y = x+2与双曲线y=-的切点坐标；x(2)已知抛物线y=ax2+bx+c经过两点( 1, 0)和(3, 0),若直线l : y=x+2与抛物线相切，试求实数a的值；2 1132(3)已知直线l : y1 = kx+m与抛物线y2=2x+4相切于点4),设二次函数 M y3 = ax +bx+ c(a、b、c为整数且aw0),对于一切实数 x恒有yw y3W y2.求二次数M的解析式.y= x+ 22解：(1)联立 1 ，得 x 2x+1 = 0,x= 1, 切点坐标为(1 , 1)y=一

10、x2(2)由题可知，抛物线解析式可表本为：y = a(x+ 1)( x- 3) = ax - 2ax- 3a,y=x+22 _ _联乂 2，仔：ax (2 a+1)x 3a 2=0y = ax - 2ax- 3a由抛物线和直线相切易知：awo且A = 0,22 =(2a+ 1) 4ax( 3a2) = 16a +12a+ 1 = 0,届r/曰一3+5 3 i5解得：ai = 3一,a2= 广一, 881 3 由题可知：直线 yi = kx + m和抛物线M都经过 仿，-),3 k ,3 a . b ,不.一=-+m -= -hFc，4 24 4 23 km= 4-2，3 kyi=kX+r ：

11、21 k联立得 2x kx 9+；= 0,2 12 2y2= 2x + 4A =k2 4X2X( 1-k) =0.2 2，1斛得：k=2, . m= 4,1，直线11的斛析式：y1 = 2x 二，4,对于一切实数 x恒有yK y3W y2,对于一切实数 x恒有：2x；wax2+bx+ cW2x2+；.当x=0时，有一!<c<；而c为整数，c=0. 44V1=2x-联立4 ，得 ax + (b 2)x+c+= 0.y3= ax2 + bx+ cA =(b-2)2-4ax(c+1)= 0, 4b2-4b+4-4ac- a=0 ，联立式得：a= b= 1, c= 0.故二次函数 M的解析

12、式为：y3=x2 + x.4.已知y是关于x的函数，若其图象经过点Rt, t),则称点P为函数图象上的“ bingo点”，例如：y=2x 1 上存在"bingo 点"P(1 , 1).，八一，一，一，1 ,(1)直线(填写直线解析式)上的每一个点都是“ bingo点”；双曲线y=-上的x“bingo 点”是；(2)若抛物线 y=gx2+(a+1)x a2a+ 2 上有"bingo 点"，且"bingo 点" A B(点 A 239和点B可以重合)的坐标为A(x1, y1), 8(x2, y2),求x2+x2的最小值；(3)若函数y =

13、 4x2+(n k+1)x+m+ k- 1的图象上存在唯一的一个"bingo点”，且当一2< n< 1时，m的最小值为k,求k的值.解：(1) y=x; (1,1 )和(一1, 1)；(2)设二次函数 y = ；x2 + (；a+1)x1a2a+2 的“bingo 点”为(x, x), 239x = x2 + (?a+ 1) x-a2- a+ 2,239 . 1x2+ 1ax1a2 a+2 = 0, 2391. x1 + x2= - -a, x1 , x2= -a22a+4, 39，x1 + x2=(x1 + x2) 2x1x2= ( 1 a) 2x( a 2a+4)=d

14、(a+n ,39942又“ bingo点" A R点A和点B可以重合)，A >0,即(1a)24 . 1 (-1a2-a+2)>0, 329aw 一 3-，21 或 a> - 3 +。21,当a= 3+，2i时，x2 + x2取最小值，.,2 , 2、20 4. . ( Xi + x2) min = 321 ；1 212.(3) , y = 4x +(n-k+1)x+m+ k1 只有一个 bingo 点 ,y=-x + (n-k+ 1)x+m+ k-1与y=x只有一个交点，则?x2+ ( n- k)x+k- 1 = 0有两个相同根，4A = b2 4ac= (n -

15、 k)2- (k- 1)=0,2可得 m= (n- k) - k+ 1,当kv2时，n=- 2, m取最小值，即(-2- k) 2- k+ 1 = k,则无解；1当一2wk<1时，n=k, m取取小值，即一k+1 = k,则k=-;当 k>l 时，n=1, m取最小值，即(1 -k)2-k+1 = k,则 k24k+2=0；.k1=2-2(不合题意，舍去)，k2=2 + 42,1综上所述，k值为2或2+M2.5.已知y是关于x的函数，若其图象经过点Rt, 2t),则称点P为函数图象上的“偏离点”.例如：直线 y= x3上存在“偏离点” P(-3, 6).，.1(1)在双曲线y =-

16、上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存x在，请说明理由;(2)若抛物线y= 1x2+(2a+2)x |a2a+1上有“偏离点"，且“偏离点"为A<xb y。239和B(X2, y2),求w= x1 + x2 ka的最小值(用含k的式子表示)； 3 若函数y =1x2+(m- t+2)x+n+t 2的图象上存在唯一的一个“偏离点”，且当一4K mK3时，n的最小值为t,求t的值.解：(1)存在.假设存在“偏离点”，根据题意得2x=-,解得X1 = 32, X2= 卓，X22当 *=乎'时，y=42;当 x= J时,y=。2,'

17、9;'"偏离点”坐标为(、，42)或(一, 一 42);(2)设抛物线上的“偏离点”坐标为(x, 2x),代入抛物线得一x2+ (|a + 2)x-|a2-a+1 =2392x 得一1x2 + 2ax- 2a2- a+ 1= 0, 239A = -T-+ 2( a a+1) >0,aw 1,994 -4 _2 ,又.X1 + X2= a, X1 , X2=-a + 2a 2, 39. .x2+x2巧=(X1+ X2)22x1 . X2号=(a2(4 + 1) a+4,又抛物线开口向上,且对称 3393轴为 a= 3623，若 36 + 3k>16,即 k>一

18、玲，则当 a=1 时，w= x1+x2 k22 ka_ .,Xi + X2取小值为一32k +24k+ 16323,#rr 2036 + 3k_若 36+3k<16,即 k<万，贝U当 a= 16 时,综上所述，w的最小值为8 k一一 一9 32 一一k2+24k+163220(kv 一三)31 21 2将 偏离点 (X, 2x)代入 4X+(mi-1+2)X+n+t 2=2x 得：4X + (mv t)x+n+12=0,.该函数图象上存在唯一一个“偏离点”，.，,、21 ,c.=(m-1) -4X 4(n + t -2) = 0,即 n= m2-2mt+12t+2=(m-1)2-

19、1 + 2,又对称轴为m= t,若 tw 2,取 rn= - 2 时，有 nmin=4 + 4t+t t + 2=t,即 t +2t+6=0,A = 4 4X1X6V 0,方程无解；若一2<t<3,取m t时，有nmin=t22t2+t2t+2 = t,解得：t = 1,成立；若 t >3,取 m 3时，有 nmin=32 6t +t2t +2=t ,即：t2-8t +11 = 0,解得 ti=4+ /,t2 = 4小(舍)，综上所述，1=4+4或1=1.6.若y是关于x的函数，H是常数(H> 0),若对于此函数图象上的任意两点 (xi, yi),(X2, y2),都有| yi-y2| < H,则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高.如图所表示的函数的界高为4. k . 一、, 一.(1)若函数 y=(k>0)( 2wxw1)的界图为 6,则 k =；X(2)若函数y=kx+1(2w xW1)的界高为4,求k的值；，2,25(3)已知函数y= x -2ax+ 3a( 2w xw 1)的界图为 ,求a的值.解：(1)12 ;k【解法提不】当一2W xw1时，函数y=-(k>0)中y随x的增大而减小，y1>y2,将x1 x=-2 代入得 y1 = = 一将 x2= 一 1 代入得 y2= -= -