大一高等数学复习题(含答案)

1、百度文库12单项选择题:1、f(x)1 lg x的定义域是A、,5(5,C、,4(4,2、如果函数A、1 ， 23、函数y复习题D,6(6,B、D、,4(4,5)5,6(6,)f(x)的定义域为1 ,B、1, V2lg( X2 1 x)2,则函数f(x)+f(x 2)的定义域是( B )C、2,、.2D、lg( x21 x) ( D )2, 1 1,.2A、是奇函数，非偶函数C、既非奇函数，又非偶函数B、是偶函数，非奇函数D、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为R,且原式=lg(x2+1-x2)=lg1=04、函数f(x)x2(01 一 .x 1)的反函数f (x)( C )A、1 x2B、1

2、x2C、5、0)D、(1x0)A、C、解:卜列数列收敛的是( C“1六 1,n为奇数f(n) 1，,n为偶数n 1B、D、f(n)f(n)选项A、B、D中的数列奇数项趋向于1,6、设yn 0.1 1个J,则当nA、收敛于0.1B、收敛于0.2-11解：yn 0.11 110 1027、“f(x)在点x=xo处有定义” 是当A、必要条件B、充分条件1,n为奇数1,n为偶数2n2n1 2n2n,n为奇数,n为偶数偶数项趋向于-1,选项C的数列极限为0时，该数列(一 1 C、收敛于一 911(1 10n9D、发散xC、x0时f(x)有极限的(D )充分必要条件 D、无关条件百度文库238、下列极限存

3、在的是（ A ）limA、x(x 1)C、解:9、A、B、lxm01exD、limxx2A中原式lim (1xlimx2x 2x sin x2x2 sin x解:12分子、B、2C、0D、不存在10、limx 1分母同除以x2,并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得A、2sin(x 1)x 1B、C、D、0解:11、原式=lim (x1) 1 2sin( x1)1卜列极限中结果等于e的是（A、lim0(1 xsinx严 xB、lim (1xC、lim (1x 、sin xsin xx )xxD、m(1sin xsin x、-)xx解:的极限为2,C的极限为112、函数1”的间断点有

4、（Cln |x|A、解:B、2C、3D、413、A、C、间数点为无定义的点，为 -1、0、1卜列函灵敏在点f(x)x=0外均不连续，其中点一、1 .B、 f （x） 一 sinx xx=0是f（x）的可去间断点的是（ B）f9x)1ex1 _ x D、f (x) e ,x x e , x百度文库3419、A、充分且必要条件 C、充分非必要条件解：ABCD中极限为无穷大，所以为第二类间断点 中极限为1,所以为可去间断点中右极限为正无穷，左极限为 中右极限为1,左极限为0,14、下列结论错误的是( A )A、B、C、D、如果函数 如果函数 如果函数 如果函数15、设A、616、设A、解:17、A、

5、C、f(x)在点X=X0处连续,0,所以为第二类间断点 所以为跳跃间断点则f(x)在点X=X 0处可导f(x)在点X=X0处不连续，则f(x)在点X=X0处不可导f(x)在点x=x 0处可导，则f(x)在点x=x 0处连续f(x)在点X=X0处不可导，则f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),则 f (0)=(f(x)在点X=X0处也可能连续A )B、3 C、2f(x)=cosx ,贝U limx 0D、0f(a) f(aX)sin a B、 sin aC、因为原式=limX 0f(a) f(aXcos ax)D、 cosaf (a)2 一y cos 2x ,贝U dy,2(cos 2x)

6、 (2x) dx2 cos2xsin2xdx18、f(x)在点x=X0处可微，是设y xnA、n! ( 2)n20、A、C、21、A、22、A、C、2 ，B、(cos 2x)dcos2xB、D、D、2 cos2xdcos2xf(x)在点X=X0处连续的( C )必要非充分条件既非充分也非必要条件e 2x,则 y(n)(0)n 1B、n!C、n! ( 2)F列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是y=x2-5x+6Xy xe2, 30,1D、n!-2B、yD、y求下列极限能直接使用洛必达法则的是(sin x lim x xB、limX 0sin xC、设 f(x) 2X则当f(x)与x是等价无穷小

7、量f(x)是比X较高阶的无穷小是1(x 1)2X 1, X1,x 5tan5x limx 一 sin3x2x趋于0时(B0, 20, 5D、21x sin limxx 0 sin xB、f(x)与x是同阶非等价无穷小量D、f(x)是比x较低阶的无穷小量百度文库解：利用洛必达法则limof(x)limMm02xln2 3xln3ln2ln 3 145x x .23、函数f(x) e e 在区间(-1, 1)内( D )A、单调增加 B、单调减少C、不增不减 D、有增有减一， x /24、函数 y 2-在(-1, 1)内(A )1 xA、单调增加/ B、单调减少C、有极大值 D、有极小值25、函数

8、y=f(x)在x=xo处取得极大值，则必有( D )A、f'(xo)=0B、f ”(xo)<0C、f (Xo)=0 且 f (xo)<0D、f (Xo)=0 或 f (Xo)不存在26、f (x0)=0 , f (x0)>0是函数f(x)在点x=x0处以得极小值的一个( B )A、必要充分条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、既非必要也非充分条件27、函数y=x3+12x+1在定义域内( A )A、单调增加 B、单调减少C、图形上凹 D、图形下凹28、设函数f(x)在开区间(a, b)内有f (x)<0且f (x)<0 ,则y=f(x)在(a, b)

9、内(C )A、单调增加，图形上凹B、单调增加，图形下凹C、单调减少，图形上凹D、单调减少，图形下凹29、对曲线y=x5+x3,下列结论正确的是( D )A、有4个极值点B、有3个拐点 C、有2个极值点D、有1个拐点2 2x30、若 f (x)dx x e C,则 f(x)= ( D )A、2x e2zB、4xe2zC、2x2e2xD、2xe2x(1 x)31、已知 y 2x ,且 x=1 时 y=2,贝U y=( C )A、x2B、x2+CC、x2+1D、x2+232、d arcsin Vx( B )A、arcsin *xB、arcsin VX+CC、arccosVxd、arccos4+C 3

10、3、设 f (x)存在，则 df(x) ( B )A、f(x)B、f (x)C、f(x)+C D、 f (x)+C34、若f(x)dx x2 C,则 xf(1 x2)dxA、2(1 x2)2 C12 2C、一(1 x ) C2B、2(1x2)2CZ12 2D、- (1 X ) C2百度文库56解:xf(1 x2)dxf(1 x2)d(1 x2)2 C35、设 f (x)dx sin x C ,则f (arcsin xxA、arcsinx+C B、sin v1 x2C、J (arcsinx)CD、 x+C解:原式= f (arcsinx)d arcsinxsin(arcsinx) c x36、设

11、 f (x)x ntt f (ln x).e ,贝U -dxxA、B、 ln x CC、D、Inx+C解:原式(lnx)dln xf (In x)ln x e37、xf (x)dx arcsinxf(x)dxA、1；(1 x2)3CB、1，(1-x2)3 3C、D、23(1322 x )解:xf (x)dxarcsinxC两端关于x求导得xf(x)即 f (x)所以-dx f (x)x .1 x2dx, 1 x2d(1x2)3-(1x2)2C38、若sinx是f(x)的一个原函数，则xf (x)dxA、xcosx-sinx+CB、xsinx+cosx+CC、解:xcosx+sinx+CD、xs

12、inx-cosx+C由sinx为f(x)的一个原函数知f(x)=cosx ,则使用分部积分公式得39、设 f (ex)1 x,则 f(x)= ( B )A、1+lnx+C B、xlnx+CC、* x2 x C2D、xlnx-x+C40、卜列积分可直接使用牛顿莱布尼茨公式的是(A、/dx0 x2 1B、1 dx .dx1/21 xC、xdxo 3 (x2 5)2D、1 xdx1；xln x百度文库解：选项A中被积函数在0, 5上连续，选项 B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上 连续,241、| sin x | dx ( A )T67A、B、2.2 | sin x | dx0 11j 0C、2

13、(2sin x)dx2.2 sin xdx042、使积分20kx(12 2 .x ) dx32的常数A、40 B、-40C、80 D、-80D、k= ( C解:k 原式二k2(1x2)2d(12 kx) 2(金)1 x2k 53243、设 f(x)2x.11,°,则x,011 f(x)dxA、121n 2B、121n 2C、D、2ln2f(x)dxi(2”1)dxdx2xln 2x)02小一(11 33x1A、解:44、xy 0(t-2 B、245、A、解:1)2(tC、2)dt ,则 dy dx-1 D、dy/dx=(x+1) 2(x+2)下列广义积分收敛的是(1 dx0B、1 d

14、x0、x四个选项均属于二、填空题.x ex1、 e dx解：原式=exC、dxD、1dx0”1 dx当，该广义积分当xpexe dxex xe deexee +Cp<1时收敛，大于等于时发散12ln 2.1,-32、已知一函数的导数为f(x) q,且当x=1时，函数值为一1 x22则此函数 F(x)=( arcsin x )百度文库78解:F (x) f (x)F(x)F(1)arcsinl3、曲线yx2e 的上凸区间是(解:-x2_ _ 22xe , y 2(2x4、解:2 2(x2.23sin x) cos xdxx3 cos2为奇函数2 sin2 xcos2 xdx25、若f(x)

15、的一个原函数是解:f(x)6、设f(x)(x)ln(x解：f(x)(0)7、曲线8、设y解:dydx9、lim (nCarcsinxC21)ex82xdx08则sin x, f (x)(x)cosx12f(0)0,则a(1)2,x12x-2122 x一的点外的法线斜率为( 42103x cos. 22a2)12f (x)dx ( -sinx+C2x22xdx 1 2dx2 a2 ,其中 a1,x2 a2_2x_2 x ax22x x acos4x , dx22万22Ao 2 1 - 22 2-sin0 4sinx ,(sin x) cosx, fxln(xx2 aln(x x2 a2).x2

16、a2)1x x212.aa2(1cost2x2-cos t上对应于tsintf (2x2)，而 f (x) tan x ,则 dy x 二8 8f (2x2) (2x2)4xtan(2x2)百度文库8910、设 f(x) limn(n 1)xnx2 1,则f(x)的间断点为x= ( 0解：x不等于0时，f (x)limnxn 2x n 1 nX=0 时，f(x)=f(0)=0,显然x不等于0时,f(x)=1/x 连续，又limx 0f(x)f(0)三、计算题.1 x21、求极限lxm02,2x sin x原式=?£1 1x224 x144§x o(x )1 4-x.8 li

17、mo(x4)2>mo x311n利用等价无穷小:e 1x,a1xina, in(i x)x,(i x)原式=lim31 x21 x(ex 1)x 0 (in 3) x2,lim 口 ：1 Hmln3 x 0 x2 x 0 x21 2x1.3x lim lim 2in 3 x 0 x2 x 0 x223ln 3x a(t sint)十 d2y3、设 ，求 一2-y a(1 cost) dx参考答案：dy_yasin tdxxta(1 cost)1，*、2a(1 cost)cost(1 cost) sint sint 1cost 1一一 23(1 cost)a(1 cost) a(1 cos

18、t)百度文库1004、求由方程y 1 xey所确定隐函数的二阶导数d2y d/把原方程两边对自变量x求导,dy ey edxxeydydx解得dy dxeyxeyey2eyey dy dx(2y) ey(2y)2(3 y) e2y(2 y)35、近似计算数e的值, 参考答案：使误差不超过10-212x2!1 n 一 x n!令x=12!n!(n 1)!要使误差Rn经计算，只需取1 e 1 1 -2!6、讨论函数参考答案：函数的定义为(x) 3x2(x) 6x103 ,只需Rn入102n=5,所以12.5 0.1667 0.0417 0.0083 2.7167 2.72 5!f (x)4x312

19、x2x3(1 x)的凸性与相应曲线拐点6x(1 2x)x(-°°, 0)0(0, 1/2 )1/2(1/2 , +8)f (x)-0+0-f(x)凹拐点凸拐点凹由f (x) 0 可得 x=0,1/2列表如下:百度文库1011所以凹区间为（拐点为（0, 0）7、求函数y1、1,0） （2,）凸区间为（0,2）（1 1） 12,162的单调区间、极值点 x定义域为,0)(0,)由y 2xx3 1.一、一.，,2,令y 0得驻点x 1,列表给出单调区间及极值点: xx(,0)(0,1)1(1,人y一一0十f(x)极小值3/所以，函数的单调递减区间为（，0）, （0,1,单调递增区

20、间为1,），极小值点为（1,3）8、求由y * jx, y . x,x* 2所围图形的面积a=p1 x29、设 f(x) x e°,求031f(x2)dx .参考答案：方法一：先作变量代换31 f(x 2)df(t)dt01(1t2)dte tdt01t3t3方法二：先给出f(x2)(x2)2(x 2)31f (x 2)d x211 (x2)2d(x2)dx1 e10、求曲线y(x 1)3/3x 在 A (-1，0),B (2,3),C （3, 0）各点处的切线方程百度文库11123 1y 3 3 x (x 1) -(32x) ' ( 1)3 3-1 x 1 x33 (3 x

21、)2在 A (-1 , 0)点处，k y (1)34所以在A点处的切线方程为34(x 1)而在B (2, 3)点处，L ky(2) 0所以在B点处的切线方程为y-3=0又在C (3, 0)点处，ky (3)不存在，即切线与x轴垂直所以C点处的切线方程为x=311、在区间 0,一上,2曲线ysin x与直线x一 ,y0所围成的图形分别绕x轴和y轴2所产生的放置体的体积。参考答案：绕x轴所产生的体积为Vx02(sinx)2dxcos2xdx2绕y轴所产生的体积为:12Vy0(2) dy/-、2 (arcsiny) dyarcsin y(arcsiny)2 y10y2arcsinydyyarcsin

22、yd11 y2,1 y21.2 o arcsinyd 1 yy2dy四、证明题(每小题 5分,10分)1、设 a0, a1, a2,an 是满足 a0a12aJ0的实数。n 1/2证明多项式f (x)a0 a1x a2xanxn在(0, 1)内至少有一个零点百度文库1212令 F(x)a°xal 2x2an n 1Xn 1显然F (x)在0 , 1上连续，(0, 1)内可导，且,Fao / 占0 由罗尔定理得，在(0, 1)内至少存在一点E ,使 F ( ) 0 ,即 ao a1 /an0从而/f(x) ao ax a2x2anxn在(0, 1)内至少有一个零点2、证明方程 x=asinx+b ,且a>0,b>0至少有一个正根，且不超过a+b参考答案：(写出辅助函数1分，证明过程4分)令 f(x)=x-asinx-b显然f(x)是一个初等函数，所以在 0