《渗透思想方法,突出数学味》

1、渗透思想方法，突出数学味例谈数学思想方法在教学中的渗透作者：侯英敏单位：河南省郑州市惠济区教研室邮编：450044【标题】渗透思想方法，突出数学味例谈数学思想方法在教学中的渗透【内容提要】所谓数学思想方法（为表述方便，以下简称MIM)是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的本质的概括。一、认识数学思想方法（一）思想与方法的区别（二）数学思想方法与数学知识的关系二、教学中渗透数学思想方法的重要意义（一）提高学习者的思维强度（二）有利于构建良好的认知结构（三）激发学数学的动机、用数学的意识三、数学思想方法的教学现状四、中小学数学教材中的体现的核心数学思想方法五、教学中渗透思想方法的原则

2、（一）过程性原则注重体验，经历过程 （二）系统性原则类比归纳，形成体系（三）目标性原则潜移默化，注重渗透（四）层次性原则螺旋上升，反复渗透（五）差异性原则尊重差异，区别对待（六）隐显结合原则根据需要，适时显性六、教学中渗透数学思想方法的有效策略（一）备课中合理确定（二）课堂中充分感受 （三）练习中反复体验（四）复习中及时提炼【关键词】数学思想方法（MIM） 数学味 课堂教学 策略【问题的提出】问题背景一：数学课程标准（修改稿）中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得：对未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学知识，数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技术。”

3、将数学思想方法列为数学教学的“四基”之一，这是以往所不曾有的。当数学思想方法大众化已在数学课程中充分体现的今天，很多老师不知所措。在调研过程中我们发现，很多老师对“什么是数学思想？基础教育阶段的教材中体现了哪些重要的数学思想？如何再课堂上有效的渗透数学思想？”等问题充满迷茫和困惑，这些已成为困扰很多数学老师的问题，成为制约教师专业发展的瓶颈，成为影响数学教师课程执行了的一个重要因素。修订后的标准把数学思想和方法放到了重要的位置，面对新课程背景下渗透数学思想方法教学的新要求，作为新教材的实施者，我们试图通过对此课题的研究促使教师澄清认识，科学有效地在教学中渗透数学思想方法。问题背景二：在下校听课

4、的过程中，我们越来越感觉到课改之后的数学课堂不同程度地出现了“去数学化”的倾向，如教学过于注重形式创新，淡化了数学本质；过于追求课堂热闹，忽略了教学效果。显然，这是不符合课程改革精神的，也是违背数学教育规律的。解决这一问题的根本对策在于增加数学课的“数学味”，在数学课堂上要以内容为载体，让学生去感受、了解、掌握数学最本质最核心的东西数学思想方法。 基于以上原因，特以“例谈数学思想方法在教学中的渗透”为切入点进行有关的研究和实践。【正文】国家科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学

5、思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。所谓数学思想方法（为表述方便，以下简称MIM)是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的本质的概括。它属于对数学规律性的认识范畴。数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体体现在解决问题的不同方法中。一、理解本质认识数学思想方法MIM是指在认识或处理各种数学或者非数学现象的思维过程中，所表现出来的种种数学观念及思维方式。（一）思想与方法的区别：严格说来，数学思想与数学方法是有区别的。数学思想及牵涉到认识论方面的内容，如：对数学科学的看法，对数学与外部世界关系的看法，对数学认识过

6、程的看法；又牵涉到方法论方面的内容，如：表示、加工、处理某种现象或形式的手法，为实现某个预期目标的具体途径和方法。相对而言，数学思想更具有普遍性和可创造性，其抽象程度更高一些，理论的味道更浓一些。数学方法则表现出更多的可操作性可程序性，实践的味道更多一些。数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段，而对于方法的有意识选择，往往体现出对于数学思想的理解深度。尽管存在着这样那样的区别，但是数学思想与数学方法之间的总体关系乃是密不可分、相互交融的。因此，我们不可能也没有必要把思想和方法严格区分开来。（二）MIM与数学知识的关系：数学知识是MIM的载体，MIM通过数学只是来显化，数学知识的形成又是MIM

7、运用的结果。从教育的角度来看，两者之间有着明显的区别。数学语言是MIM的外壳，但某些MIM并不完全能用数学语言来表述，同一个MIM也可以用不用的数学语言来表达。数学概念是MIM的某一个侧面之外显形式，是学习MIM的起点，数学概念的发展亦得益于MIM，同时，数学概念的记录于演变也能促进MIM的发展。二、教学中渗透数学思想方法的重要意义事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是会遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之以渔”。从数学教材体系来看，整个中小学数学教材中贯穿着两条主线，一条是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，一直都很受重视。

8、另一条是数学能力的培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有被直接写进教材，但对中学小学的学习和成长却事发十分重要，也越来越引起了广大数学教育者的重视。在教学中不能只注重数学知识的教学，忽视了数学思想方法的渗透。两条线应在课堂教学中并进，无形的数学思想赋予有形的数学知识以灵魂。重视数学思想方法的教学有利于教师从整体上把握数学教学目的，讲述学的本质、知识形成的规程，解决问题的过程展示给学生，使教学达到事半功倍的效果。（一）提高学习者的思维强度数学模型的特点之一就在于其抽象性舍弃了许多非本质因素。 （图1） （图2）例如图1表示一个迷宫的平面图，字母好比是其中的门和通道。那么，作为从外部进入

9、该迷宫内部的行路图，图2就足够了。换言之，图1和图2是同一个模型，图2 可以算的上是图1的抽象舍弃了迷宫的内部形状、大小、装饰等非本质属性，只保留了通道的相对位置这一本质属性。因此，让学生多接触模型，对于培养七思维的深刻性品质是有益的。二模型化的则是一种意识、一种主观倾向，它的形成过程实质上就是个体思维强度的提高过程，而它的实现，则依赖于主体对客体的认知水平，对知识的领悟水平，反映出个体的思维深刻性、广阔性和灵活性。（二）有利于构建良好的认知结构由于模型本身的抽象性所带来的广泛可应用性，使得同一模型可以在不同的知识里都有所反映。例如：（奇偶）作为一个二元模型，可以用来表示许多生活中、数学中的具

10、有两种状态的现并可以作为研究和处理这些现象的有效工具。事实上，下面的几个问题都可以通过这个模型来解决。123456789问题1：图3是一所房间的示意图，数字表示房间号码，相邻房间均有门相通，若从1号房不重复地走遍这几个房间，又回到1号房，可以么？（不可以） （图3）问题2：桌上有七只杯子，其中三只杯口向上，四只杯口向下，每个人将杯子（随意几只）翻动四次，问：若个个人翻动后，能否使七只杯子全部杯口向下？（不能）问题3：全世界的人都在握手，两个人每握依次手则给个人均记一次，问：握手次数为奇数的那些人的总和是奇数还是偶数。（偶数）显然，同一模型在不同知识或问题中的统一性，使得学习者能够意识到不同知识

11、或问题之间的本质性联系，这种通过MIM而形成的不同只是或问题之间的联系性的强弱，正是个体认知结构是否有效的一个重要指标，反映出个体对于知识的领悟程度，是个性化的体现。类似地，Ax=B也可以作为沟通许多不同类型问题的一个模型。（三）激发学数学的动机、用数学的意识由于模型形成的背景十分丰富，因此，在选择教学内容是，可以有较大的自由度，因而能够较好地照顾到学生的兴趣。同时，还可以通过激发学生的认知内驱力来形成他们的学习动机。根据现代认知心理学，学生学习动机的出现，在其年龄较小时，好奇与兴趣占有很大比重，而随着年龄增大，认知内驱力则逐渐扮演了重要的角色。同时，模型的概念与模型化意识可以很方便地应用到数

12、学以外的世界，这对于培养学生用数学的意识无疑极为有利。大量的应用问题、组合问题都有力地说明了这一点。三、数学思想方法的教学现状修订后的标准把数学思想和方法放到了重要的位置，但多数教师教学中往往只是重视了知识和技能目标的落实，很少涉及数学思想和方法的渗透。现行教材主要以知识结构作为编写体系，因而MIM则散见于教材之中，MIM的教学中要依赖于教者的理解和领悟，主观随意性很大。现在的教学中，一些教师对数学思想方法理解不透，在中小学数学教学中，数学思想方法的教学成为被人遗忘、冷落的角落。长期以来，我们对数学教学效果的评价总是以对“显性知识”的掌握而展开的，因此，导致在课堂上我们的许多老师数学教学变成了

13、单纯的“解题教学”，只讲解题步骤，不展示思维的过程；只讲解题结果，不探寻来龙去脉。如计算教学中仍是以计算为主线，虽然也重视算法的多样性，但却忽视算法多样性背后的不变性即算法所蕴含的数学思想方法。究其原因，教师没有充分认识到数学思想方法对学生发展的重要性，对挖掘教材中的数学思想方法存在困难，甚至不少教师对特定的数学知识背后隐藏什么样的数学思想方法全不知晓。更让人痛心的是一些很生动活泼的数学思想方法，由于淹没在大量的“加、减、乘、除、乘方运算法则及习题”中，而失去了魅力和价值。四、中小学数学教材中体现的核心数学思想方法整个中小学数学教材中贯穿着两条主线，一条是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，

14、一直都很受重视。另一条是数学能力的培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有被直接写进教材，但对学生的学习和成长却十分重要，我们对中小学教材中的重要数学思想方法做了梳理。（一）对应思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。例如：直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。又如北师大版教材一年级上册操场上一课，教材分别将实物图片、图形

15、一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。（二）符号化思想方法英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号，符号就是数学存在的具体化身。数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。例如：北师大版教材从一年级就开始用“”代替变量 x ，让学生在其中填数。 1 + 3 = ，3 +=5 ，6- = 3等。还如（上图）北师大版教材一年级上册操场上一课，先用实际人头图片来表示学生和老师，在分别用和分别表示学生和老师，再用数字来表示学生和老师的人数，最后用式子来

16、表示学生比老师多几人，这就是符号化思想的体现。符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。因此 ，教师在教学中要注意学生的可接受性。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。（三）转化思想方法转化是一种重要的数学思想和方法，在解决实际问题中有着广泛的应用。转化是运用联系、运动和变化的观点来观察和认识问题，通过对原题进行改造、

17、变形，使原来感到生疏的问题转化为已经学过的熟悉的问题，从而化繁难为简易，化抽象为具体，是问题得以顺利解决的一种方法。转化是解决数学问题的一种主要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想是转化思想的体现，就解答问题的本质而言，解题就意味着转化，即把生疏的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把未知的问题转化为已知条件等等。其实转化的思想方法无处不在，它是分析问题、解决问题的有效途径。例如，有这样一个数学问题：“有人在如图所示的小路上行走，当他从A处走到B出示，共走了几米？假设小路的宽都是1米。” （图4）当我们看到这个图形就让人头晕目眩的题目时，一

18、定会觉得求出答案并非易事。如果想用分段求和的方法求出总长度，条件不够根本无法下手，得另辟蹊。 南京师范大学附中的马明先生看到这道题时，室内电视机里正在转播排球比赛。运动员挥汗如雨，休息时，服务员用宽宽的扁平拖把在地板上擦汗迹，马明先生灵机一动，他想，如果这个拖把的宽度是1米，若行人就是服务员，并带着拖把沿小路前推，那么行人走遍小路相当于拖把拖遍整个场地，每拖1平方米的场地，相当于行人前进了1米，整个场地的面积是168即128平方米，所以行人从A到B共前进了128米。这真是个绝妙的方法，马明先生巧妙地把一个长度问题转化为面积问题，真叫人叹为观止，由此可见善于转化对于解决问题是多么的重要。 在教材

19、中转化的思想在空间与图形领域更是随处可见，尤其是在图形面积和立体图形的体积学习过程中，教材都是引导学生想办法把新问题转化为以前学过的知识进行解决。 例如北师大版教材六年级上册圆的面积这部分内容中，教材设计了在探索圆面积计算公式的过程，体会“化曲为直”的转化思想。 （四）类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。以上内容是北师大版小学数学五年级上册第三单元分数中的一课，这部分内容安排在分数的基本性质之前，旨在通过观察比较发现分数与除法的关系，从而建立起商不变的规律与分数基本性质之间的联系。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且

20、使知识的记忆变得自然和简洁。（五）分类思想方法当你走进超市购物付款时，不知道你是否留意，收银员会将收到的钱按100元、50元、20元、10元、5元不同面值的人民币整理成一叠一叠的，你知道这样做的原因吗？也许你会认为，这样做仅仅是算总钱数时会方便快捷，其实用数学的眼光去看，这当中还体现了一个分类的数学思想方法。分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的

21、正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。例如：以下是北师大版教材四年级下册的内容，教材通过分类活动，使学生认识并识别直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形。在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学研究的对象区分为不同种类的一种数学思想。正确的分类应当符合两个原则：（1）应按照同一标准（2）分类应当不重复、不遗漏。（六）数形结合思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学

22、知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面可以使抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。以下几例均是北师大教材中体现的数形结合典型内容。又如，在初中数学有理数及其运算这一章教学中利用“数轴”这一图形，巩固“具有相反意义的量”的概念，了解相反数，绝对值的概念，掌握有理数大小的道理，理解有理数加法、乘法的意义，掌握运算法则等。实际上，对学生来说，也只有通过数形结合，才能较好地完成本章的学习任务。（七）函数方

23、程思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。例如让学生观察20以内进位加法表，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。函数思想在初中教材中的体现更是随处可见，在此不一一列举。五、教学中渗透思想方法的原则数学思想方法是与数学知识和解决问题的过程密切联系在一起的，在教学中是深藏不露还是独立教学？是“蜻蜓

24、点水”还是“形成系列”？通过学习、思考和实践我们认为，在数学教学过程中渗透数学思想方法应遵循以下原则：（一）过程性原则注重体验，经历过程 渗透数学思想方法，并不是将其从外部注入到数学知识的教学之中。因为数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出。例如学生写出几个商是2的除法算式，通过观察可以归纳出被除数、除数和商之间的关系，大胆猜想出商不变的规律：可能是被除数和除数同时乘以或除以同一个数（零除外），商不变；也可能是同时加上或减去同一个数，

25、商不变。到底何种猜想为真？学生带着问题运用不完全归纳举例验证自己的猜想，最终得到了“商不变性质”。所以学生获得“商不变性质”的过程，又是归纳、猜想、验证的体验过程，绝不是从外部加上一个归纳猜想验证。学生一旦感悟到这种思想，就会联想到加减法和乘法是否也存在类似的规律，从而把探究过程延续到课外。（二）系统性原则类比归纳，形成体系与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成一定结构的系统，才能更好地发挥其整体的功能。如解方程的换元法，属于转化思想，转化思想更抽象，在数学中的应用更广泛，学生掌握起来也更困难。对于某一种数学思想而言，它能概括的一类数学方法，必须形成自身的体系，才能为学生理解和掌握的更好。

26、（三）目标性原则潜移默化，注重渗透要把数学思想方法作为数学教学的目标之一。中小学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行的数学教材的编排一般是沿知识的纵方向展开的，总体上可分为两个层次，一个称为基础知识，包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能。另一个称为深层知识，那就是数学思想和数学方法。一般认为，在具体知识的教学中，通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。（四）层次性原则螺旋上升，反复渗透从学生的学习规律看，对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一

27、个由低级到高级的螺旋上升过程，如对同一数学思想方法，应该注意其中不同知识阶段的再现，以加强学生对数学思想方法的认识。例如数形结合的思想方法，在初一讲数轴时，涉及到数形结合思想，学生会借助数轴表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等；讲到不等式组的解法时，要求学生画数轴找出不等式组的公共解集。此时，学生已能初步形成通过数轴帮助解题的方法，学习乘法公式时，可以借助于图形的变换推导出公式，逐渐地学生可以形成借助几何图形求解代数问题的观念。到初三学习函数时，在教师的反复渗透下，大多数学生都能逐步形成数形结合的数学思想方法。（五）差异性原则尊重差异，区别对待人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同

28、的人在数学上得到不同的发展。这一新数学教育理念要求教师要及时了解并尊重学生的个体差异，对不同的学生提出不同的要求，数学思想方法的教学更是如此。（六）隐显结合原则根据需要，适时显性 数学思想方法有一个从模糊到清晰、从未成形到成形再到成熟的过程。在教学中，思想方法何时深藏不露，何时显山露水，应审时度势，随机应变。一般而言，在低中年级的新授课中，以探究知识、解决问题为明线，以数学思想方法为暗线。但在知识应用、课堂小结或阶段复习时，根据需要，应对数学思想方法进行归纳和概括。六、教学中渗透数学思想方法的有效策略（一）备课中合理确定 渗透数学思想方法，教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点，在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，在备课时要多问自己几个为什么，