与圆有关的位置关系 华东师大版

1、与圆有关的位置关系【学习目标】1探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系2了解三角形的内心和外心及内切圆、外接圆、内接三角形、外切三角形的概念3了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，掌握切线的识别方法4了解切线长及切线长定理5会过圆上一点画圆的切线6知道圆与圆的五种位置关系的意义；弄清两圆的半径及圆心距之间数量关系及联系【基础知识精讲】1点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系，与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间有着紧密的联系这反映了“形”与“数”的内在联系，也就是说：点和圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以

2、由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形(点与圆)的位置关系数量(d与r)的大小关系点在圆内d<r点在圆上dr点在圆外d>r(2)我们已知道，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，即圆心和半径是确定圆的两个元素，所以过已知点画圆的问题，应紧紧抓住圆心位置和半径大小进行探讨当圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此过已知点画圆的问题又转化为找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数经过探讨：我们发现：经过平面上一个点可以确定一个圆经过平面上两个点可以作无数个圆经过不在同一直线上的三个点可以作无数个圆注意：经过两点的无数个圆的圆心在已

3、知两点连结的垂直平分线上经过不在同一条直线上三点的圆的圆心是任意两点连线的垂直平分线的交点经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个(3)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形注意：三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点2直线与圆的位置关系(1)设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rdrd<r注意：若一条直线与一个圆没有公共点，那么这条直线与这个圆相离；若一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切；若一条

4、直线与一个圆有两个公共点，那么这条直线与这个圆相交3圆的切线(1)定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线，这个公共点叫切点(2)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意：是对“切线的识别”的两种叙述方式，虽然形式上不相同，但本质上是一致的，在解题时，我们可根据题目特点灵活选择适当的方法在应用切线的识别方法时，必须先弄清“题设”中的两个事项：一是经过半径外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可4切线长定理(1)切线长定义：我们把圆的切线上某

5、一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角注意：我们要明确切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量5三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做圆的外切三角形注意：三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点6三角形外心、内心有关知识比较图形名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边垂直平分线的交点OAOBOC外心不一定在三角形的内部内心(三角形内

6、切圆的圆心)三角形三个内角的平分线的交点ODOEOFOA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB注意：我们一定要从文字、图形和实际意义上区别“内切圆”和“外接圆”这两个概念，以免混淆7圆与圆的位置关系在平面内，两圆作相对运动，可以得到下面不同的位置关系(其中设R、r为两圆的半径，d为圆心距)位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0d>Rr外切1dRr相交2Rr<d<Rr内切1dRr内含0d<Rr从上表中可看出，两种圆的五种位置关系是从d很大，然后逐渐减小，它们的位置从外离逐渐演变成内含注意：两圆内含时，如果d0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况【经典例题精讲】例

7、1 如图23-2-1，已知等边ABC的边长为，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是( )分析：此题是考查线与圆的位置关系，由基本知识点可知，要判断直线与圆的位置关系，只需知道圆心到直线的距离与半径之间的关系过A作ADBC，交BC于D，可求出AD3cm，即AD等于半径，故圆与直线BC相切答案：C注意：要判断直线与圆的位置关系，一定要知道圆心到直线的距离与半径的关系，若题目中没有直接给出，要想办法求出例2 如图23-2-2，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，试说明：AC平分DAB分析：CD是O的切线，连结OC，则OCCD连结圆心与切点是解决切线问题时常用的作

8、辅助线方法之一解：连结OC，AC平分DAB注意：在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径例3 已知AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD(如图23-2-3)试说明DC是O的切线分析：欲说明DC是O的切线，需连结OD证ODCD即可解：连结ODBC是O的切线，OBC90°，ODC90°DC是O的切线注意：欲说明一条直线是圆的切线，需证这条直线垂直于经过切点的半径，这是证明某直线是圆的切线的方法之一，也是常用的方法例4 如图23-2-4，已知PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C(1)写出图中所有的垂直关系；(2)写

9、出图中所有的全等三角形；(3)如果PA4cm，PD2cm，求半径OA的长解：(1)OAPA，OBPB，OPAB(2)OAPOBP，OCAOCB，ACPBCP(3)设OAxcm在RtOAP中，OAxcm，OPODPD(x2)cm，PA4cm，由勾股定理得，x3答：半径OA的长为3cm例5 两圆半径长分别是R和r(R>r)，圆心距为d，若关于x的方程有两相等的实数根，则两圆的位置关系是_A一定内切B一定外切C相交D内切或外切分析：此题考查了两个方面的知识，一是一元二次方程根的判别式，二是圆与圆之间的位置关系，由题设条件得4(Rrd)(rRd)0R>r，Rrd，或Rrd两圆的位置关系外切

10、或内切答案：D注意：方程有两相等实数根，说明0这是一道代数与几何综合题，解题时一定注意分析明白例6 如图23-2-5，施工工地的水平面上，有三根外很都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A2BCD分析：如图23-2-5，连结，设外切于点A，则在中，最高点C到水平面的距离答案：D注意：两圆外切，连结圆心，即连心线是常用的辅助线，当涉及到计算时，构造直角三角形是常用的方法之一【中考考点】例7 (2002·陕西省)如图23-2-6，两个等圆O和O外切，过O作 O的两条切线OA、OB，A、B是切点，则AOB等于( )A30°B45°C60

11、6;D90°分析：连结AO，OO，OA切O于A，OAOA在RtOAO中，OOA30°，同理OOB30°，AOB60°答案：C注意：两圆相切，连心线必过切点，故OO2OA，另外考查了直角三角形的性质例8 (1)(2002·南通市)已知两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么这两圆的位置关系是( )A内含B相交C内切D外离(2)(2002·扬州市)已知两圆的半径为7和4，圆心距为5，那么这两圆的公切线的条数是( )A1条B2条C3条D4条分析：(1)熟练地掌握两圆的5种位置关系，一般抓住两种特殊的位置关系，即(外切、内切)，然

12、后推出其他三种情况即：内切dRr(R>r)外切dRr相交Rr<d<Rr(R>r)外离d>Rr内含d<Rr(R>r)(2)由位置关系判定公切线条数是常见题型答案：(1)B(2)B例9 (2001·北京市)如图23-2-7，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于P点，若CD3，AB4，则tanBPD等于( )ABCD分析：要求tanBPD，必须构建直角三角形，因此，连结BD，得ADB90°，但CD与AB无法直接运用定理建立关系，所以此题关键是通过证PCDPAB，得，答案：A注意：当证明有关线段的比例式才能直接运用基本定理推导时，通常由“

13、三点定形法”证三角形相似例10 (2003·福州市)已知ABC内接于O，过点A作直线EF(1)如图23-2-8a，AB为直径，要使EF是O的切线，还要添加的条件是(只需写出三种情况)_，或_，或_(2)如图b，AB为非直径的弦，CAEB，试说明EF是O的切线分析：根据切线的判定定理，由AB是直径，因此围绕BAE90°可得到其他的条件解：(1)CAEB，ABEF，BACCAE90°，CFAB，EABFAB，供参考(2)证明：连结AO并延长AO交O于H，连结HCHBAH是直径，BCAECAEHAC90°HAEFEF是O的切线例11 (2002·北京

14、市西城区)如图23-2-9，已知AB为O的直径，P为AB延长线上一动点，过点P作O的切线，设切点为C(1)当点P在AB延长线上的位置如图所示时，连结AC，作APC的平分线，交AC于点D，请你测量CDP的度数(2)当点P在AB延长线上的位置如图和图所示时，连结AC，请你分别在这两个图形中用尺规作APC的平分线(不写作法，保留作图痕迹)，设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图形分别测量出CDP的度数猜想CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？并对你的猜想加以证明分析：这是一道融测量、猜想、证明于一体的综合性问题，测量是关键，因此要绝对准确；猜想要合理解：(1)测量结果CDP45&

15、#176;(2)测量结果CDP45°(图中)(3)图中的测量结果CDP45°因此，猜想CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化证法一：连结BC，如图AB为O的直径，ACB90°PC切O于点C，1APD平分APC，23412，CDPA3，CDP445°猜想正确证法二：如图，连结OCPC切O于点C，PCOC1CPO90°PD平分APCOAOC，A31A3，猜想正确【常见错误分析】例12 如图23-2-10，PA、PB是O的切线，A、B为切点，APB78°，点C是O上异于A、B的任意一点，那么ACB_错解：51°正解：

16、51°或129°误区分析：由于点C是O上异于A、B的任意一点，故点C可能在劣弧上，也可能在优弧上，即点C有两种位置关系，ACB有两解，错因就是对位置关系考虑不全面，产生少一解的错误例13 如图23-2-11，两圆同心，半径分别为9cm和5cm，另有一个圆与这两圆都相切，则此圆半径为_A2cmB7cmC2cm或7cmD4cm错解：选A正解：选C误区分析：另有一个圆与这两圆都相切存在两种情况，如图23-2-12一种是与大圆内切与小圆外切，如，求得半径为2cm一种是与大圆内切与小圆内切，如，求得半径为7cm错因由于对位置关系考虑不全面，出现漏解错误小结：经过以上2题的错解原因，我

17、们解题一定要分类讨论，考虑全面，以免出现漏解现象，同时要注意二值题型【学习方法指导】1注意运用类比的方法，如学习直线与圆的位置关系可与点与圆的位置关系相类比，学习圆与圆的位置关系时与点与圆，直线与圆的位置关系进行类比2我们学习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时要应用运动变化的观点和数形结合的思想方法，借助图形的直观，注意图形位置关系变化时，相应的数量关系如何变化，抓住图形的运动变化过程中“形”(不同的位置关系)和“数”(相关的数量关系)之间的本质联系【规律总结】1判定一条直线是圆的切线，常有以下两种情况：(1)当已知直线与圆有一个公共点时，画出以这个公共点为一个端点的半径，再说明这条半径与已

18、知直线垂直(2)当直线与圆的公共点尚未确定时，则应画出圆心到这条直线的垂线段，再说明这条垂线等于圆的半径2本单元常用辅助线：(1)有切点，可作过切点的半径(2)两圆相交，可作公共弦(3)两圆相切，可作公切线(4)有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角(5)圆与圆要心连心，即作连心线3遇有三角形的内切圆，要联想到：(1)三角形的内心到三角形三边的距离相等(2)三角形的内心与三个顶点的连线平分三角形的三个内角【同步达纲练习】一、填空题1一个圆的直径是6cm，到圆心的距离是4cm的一点A在圆_2O的半径r5cm，圆心O到直线l的距离dOD3cm，在直线l上有P、Q、R三点，且PD4cm，QD

19、>4cm，RD<4cm，则点P在圆_，点Q在圆_，点R在圆_3ABC中，O是它的外心，BC24cm，O到BC的距离为5cm，则ABC外接圆的半径等于_cm4已知AOC60°，点B在OA上，且，若以B为圆心，R为半径的圆与直线OC相离，则R的取值范围是_5如图23-2-13，RtABC中，ACB90°，A30°，BC4cm，若以点C为圆心画圆与AB相切，则C的半径等于_cm6如图23-2-14，AB、AC是O的两条切线，切点为B、C，D是优弧BC上的点，已知BAC80°，那么BDC_7如图23-2-15，PA与PB分别切O于A、B两点，C是上任

20、意一点，过C作O 的切线交PA及PB于D、E两点，若PAPB5cm，则PDE的周长为_cm8ABC的内切圆O与BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，且AB13cm，BC14cm，AC9cm，则AF_，BD_，CE_9已知相切两圆半径分别为2cm和5cm，则两圆的圆心距为_10两圆外切时，圆心距为12cm，当它们内切时，圆心距为3cm，两圆半径分别为_与_，当它们内含时，圆心距的取值范围是_二、选择题11已知等腰ABC中，ABAC5，底边BC6，若以顶点A为圆心，以4为半径作A，则BC与A( )A相交B相切C相离D不能确定12如图23-2-16，已知O的直径AB与弦AC的夹角为30°

21、，过C点的切线PC与AB延长交于P，PC5，则O的半径为( )ABC10D513如图23-2-17，点O是ABC的内心，AO的延长线交ABC的外接圆于点D，下列结论：BDCDDO；ACOABO；BODCOD；AOBCBO；OAOBOC其中正确的有( )A2个B3个C4个D5个14若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆的半径为2cm，则它的周长为( )A24cmB22cmC14cmD12cm15半径分别为1cm和5cm的两个圆相交，则圆心距d的取值范围为( )Ad<6B4<d<6C4<d<6D1<d<5三、解答题16如图23-2-18，AB是O的直径，AE平分BAC交O于点E，过点E作O的切线交AC于点D，试判断AED的形状并说明理由17如图23-2-19，要在一个直角三角形的铁片上裁剪下一个图片，已知AB6