正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理学习目标1 .理解正弦定理、余弦定理的公式；2 .利用角边互化的方法解决一些三角形变量问题（最值（值域） 问题）.知识摘要正、余弦定理在4ABC中，若角A, B, C所对的边分别是a,b, c, R为 ABC外接圆的半径，则定理正弦定理余弦定理内容abc一人=- D= - c=2R sin Asin B sin Ca2= b2 + c22bccosA;b2 = c2+ a22cacosB；c2 = a2 + b22abcosC常见变形(1)a=2Rsin A, b=2RsinB, c=2RsinC;(2)sin A=od? sin B= OD? sin C = 2R2R2R&

2、#39;(3)a : b : c= sinA : sinB : sinC；(4)asin B = bsin A, bsin C= csin B,cos A=b2 + c2 a2 2bc 'cos B =c2 + a2 b22ac ；cos C =iasin C = csin Aa2+b2-c22ab重难点指导一、利用正弦定理解三角形例1在 ABC中，已知a = 2, b=，6, A=45°,则满足条件的三 角形有（）A.1个 B.2个C.0个D.无法确定解析：因为一= 所以sinB = V6>=V3.sin A sin B2因为a<b,所以A<B,故角B有两

3、个取值，所以满足条件的三角形有2个.故选B.【感悟提升】判断三角形解的个数的两种方法：代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的 个数.二、利用余弦定理解三角形例2在4ABC中，三边上的高依次为则4ABC为（）13 5 11A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形解析：设4ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c, 12 113,5,11分别为a, b, c上的高.根据三角形的面积相等可得a 1 b 1 c 1, 13511所以可设 a=13x, b=5x,c=11x(x>0

4、),2.22、2由余弦定理得cosA(5 11 132x 。，则A ,，一 2 5 11x22所以三角形为钝角三角形，故选 C.【感悟提升】余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时要根据条件灵活选择.三、利用正、余弦定理同时解三角形例3已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，sin2 B 2sin Asin C ,且 a c,cos B '，贝U a.4 c 解析：因为sin2B 2sinAsinC,所以由正弦定理得b2 2ac.又因为a c,cos B -,所以余弦定理得b2 a2 c2 2ac - 2ac , 442化为2 a 5 - 2 0,解得g2.

5、ccc课本再探例(教材习题1.1B组第2题)在ABC中，如果有性质 acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特点？ 解：由acosA=bcosB及正弦定理得sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A =180° -2B,所有这个三角形是等腰三角形或直角三角形.【感悟提升】判断三角形形状的方法：( 1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 ABC 为 直 角 三 角 形a2=b2+c2 或b2=a2+c2 或c2=a2+b2；4ABC为锐角三角形a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2；4ABC为钝角三角形a2+b

6、2vc2或b2+c2va2或c2+a2vb2； 按等腰或等边三角形的定义判断.( 2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=180°这个结论.若cosA=0,则A=90° , ABC为直角三角形； 若cosAv 0,则4 ABC为钝角三角形； 若cosA>0且cosB>0且cosC>0,则AABC为锐角三 角形 .【 变式探究】变式1(由边化角)设 ABC 的内角A， B，C 所对的边分别为 a, b, c,若 bcos C+ccos B= asin A,则AABC 的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析：由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B = sin2A, 所以 sin(B + C) = sin2A,即 sin(180° A) = sin2A, sin A=sin2A. 因为 AG (0° , 180° ),所以 sin A>0,所以 sin A=1,即 A=90故选B.变式2（由角化边）在ABC中，若sin2 B sin2 C sin2 A ,贝U ABC 的形状是（）A.锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D.不能确定解析：根据正弦定