数值分析典型例题

1、v1.0可编辑可修改第一章典型例题例3 ln2=0.,精确到10 3的近似值是多少解 精确到103=，即绝对误差限是 =,故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元2 141Ab 3 2 1412 412 1 ( 3/2)3 1 ( 1/2)10.51.515.50.53 2( 3)10.50451715.517于是有同解方程组2x1 x2 4x30.5x2 5x317x315.517回代得解*3 = 1, *2 = 1, *1=1,原线性方程组的解为X= (1,1,-1)T例2取初始向量乂0)=(0,0,0) T,用雅可比迭代法求解线性方程

2、组解建立迭代格式x1(k1)2x2k)2x3k) 1x2k1)x, x3k)3 (k=1,2,3,)x3k1)2x1(k)2x2k) 53I2第1次迭代，k=0X0) = 0,得到 乂 0 0 =(1,3,5) T第2次迭代，k=1x1(2)232 515x2于是 0= 0 1 01 5 33x32)212 353X2) =(5, -3, 3)T第3次迭代，k=2x1(3)2(3)2(3)11x20 0 15(3)31x32)252(3)51乂3)=(1,1,1) T第4次迭代，k=3x12 1x2x32 1113 12 15 115X (4) =(1,1,1) T例4证明例2的线性方程组，雅

3、可比迭代法收敛，而高斯-赛 德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为1 22A= 1 112 210 22 U 0 010 00000D 1 = D 100220雅可比迭代矩阵为 B)= D 1(L U)10 00 2201010100 12 202I B012 2(2) 2(1) 22 2(1)30得到矩阵B的特征根1,2,3 0,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收 敛。高斯-赛德尔迭代矩阵为GS= (D ) 1U= 1102 10 0022一一 223(2)2 002解得特征根为1=0,2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散例5填空选择题:1.用高斯列主元消去法解线性方

4、程组次消元后的第 2 ,3 个方程分别为答案:x2 0.5x31.52x2 1.5x33.5解答 选a2i=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2xi+2x2+3x3=3,消元得到x2 0.5x31.52x2 1.5x3 3.5是应填写的内容。3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组xxxx x x xx x的迭代格式中x2k1)=(k=0,1,2,)答案：3 x，1) x3k)解答：高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上 万的新值。第三章典型例题例1已知函数y=f (x)的观察数据为xk-2045yk51-31试构造拉格朗日插值多项式R (x),并计算f ( 1)的近

5、似值只给4对数据，求得的多项式不超过3次解先构造基函数l (x)l (x)x(x )(x)x(x )(x)()()()(x )(x)(x) (x )(x)(x)()()()l(x)_ x(x )(x)13(X)(x 2)x(x 4)(5 2)(5 0)(5 4)(x 2)x( x 4)35所求三次多项式为nP3(x)=yklk(x)k 0x(x )(x)+(x )(x)(x)()x(x )(x)+(X )x(x )f( -1)P3( -1) =例3设x ,x ,x ,.,xn是n+1个互异的插值节点,lk(x)(k,.,n)是拉格朗日插值基函数，证明:n(1) lk(x)k证明nlk(x)xm

6、xm(m, , ,., n)knPn(x)=y°l 0(x)+y1l 1(x)+ +ynl n(x)=yklk(x)k 0Rn(X)f (n )(n口 n (x), )!f (x) Pn(x) Rn(x)当f(x) 1时,1= Pn(x)Rn(x)f ()，、 lk(x) - n (x)(n )!由于f(n )(x),故有nlk(x)(2)对于f (x)=xm, m=0,1,2,，n,对固定x10 m n),作拉格朗日插值多项式，有nf(n )()n (X)xmPn(x)Rn(x)xkmlk(x)-k(n )!当 n>m- 1 时，f(n+1) (x)=0 , R(x)=0 ,

7、所以nximlk(x)xmk注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x)nanxannx . a x a利用上结果，有Qn(x)anxn an xnnanlk(x)xnknlk(x)xnklk(x)xk anlk(x)knlk(x)anxnk 0n 1an ixk . axka0nQn(Xk)lk(X)k 0n上式Qn(xk)lk(x)正是Q(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Q(x)的拉k 0格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2, 3歹U,试用直线拟合这组数据。解 计算列入表中。n=5。a。, a1满足的法方程

8、组是kxkykxkxkyk11414224933691844816325525i53i55解得a0=,ai=。所求拟合直线方程为y=+例6选择填空题1.设y=f(x),只要xo, xi, X2是互不相同的 3个值，那么满足RXk尸yk(k=0,1,2)的f(X)的插值多项式 P(X)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()f(n )() 一(A) Rn(X)f(X)Pn(X)一 n(X)(n )!(B) f (X, Xo, Xi, X2,，Xn)( XXl)( XX2)(X Xn 1)( X Xn) f (n )()(C) Rn(X) f

9、(X) Pn(X) 一(n )!(D) f (X, Xo, Xi, X2,，Xn)( X Xo)( X Xi)( X X2)(x Xn i)( XXn)答案：(A) , (D)。见教材有关公式。第四章典型例题例i试确定求积公式f(x)dx f( 丁)f(7)的代数精度。依定义，对xk(k=0,i,2,3,)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取i,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=1，有左边= f (x)dxdx(2)取 f(x)=x，有左边= f(x)dxdx, 右边=f( 丁)f(丁)丁 丁取f(x)=x2，有f(x)dx x dx二f( )f(.)()()-(

10、4)取 f(x)=x3，有左边二 f (x)dx x dx ,右边=f( _) f()()() J J J J(5)取 f(x)=x4，有左 边 二 f(x)dx x dx ,右 边=f( ) f()()()-当k 3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。hh例 5 试确7E求积公式f(x)dx -f(0) f(h) ah f (0) f (h)中的参02数a,并证明该求积公式具有三次代数精度。解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有1dx -1 1 0,即 h=h02hh2x1dx h0 h ah2(1 1)02不能确定a,再令f(x)=x2，代入求积

11、公式，得到h 2 h 22o x dx -0 h ah (2 0 2h),即得a .求积公式为f (x)dx h f (0) 1202.3.3h h 3 2ah332h2f(h) f (0) f (h)12将f(x)=x3代入上求积公式，有h 3 h 3 h22x3dx 0 h3 (3 0 3h2)0212可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有h 4 h 4 h3x4dx -0 h4(4 0 4h3)0212所以该求积公式具有三次代数精度。例6选择填空题1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点解答：牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其

12、精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题 例1证明方程1x sin x=0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过x 10-4的根要迭代多少次证明令 f (x) = 1 xsin x; f(0)=1>0 , f(1)= -sin1<0f(x)=1 x sinx=0在0, 1有根。又f (x)=1 cosx>0(x 0,1),故 f(x)=0 在区间0 , 1内有 唯一实根。给定误差限=><10-4,有ln(b a) InIn . Inn .InIn只要取n=14。例2用迭代法求方程x5 4x2=0的最小正根。计算过程保留4 位小数。分

13、析容易判断1 , 2是方程的有根区间。若建立迭代格式x，即(x) x, (x)x-(x ( , ), 此时迭代发散。建立迭代格式 x V4x 2, (x) V4x 2, (x). 4,(1 x 2)1 5"(4x 2)45此时迭代收敛。解建立迭代格式I!x . x , (x) x(x)4-(1 x 2)，取初始值x0 1(可任取1, 2之间的55 (4x 2)45值)x x0 x x.1x x J .5 x . x .2x x取x例3试建立计算 启的牛顿迭代格式，并求7 的近似值，要求迭代误差不超过10 5分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差 的绝对值不超过105

14、。解令 x V a, f (x) x,求x的值。牛顿迭代格式为f(Xk)Xk aaXkXkXk -Xk (k ,.,)f (Xk)XkXk迭代误差不超过10：计算结果应保留小数点后6位。当 X=7或 8 时，X3=343或 512, f( )f ()，而f( )f ()，取 Xo=8, 有X -X - -. 078Xx x -a- -. 956X.X X .a.X X -.X.X X .a.X X -.X.于是，取X例4用弦截法求方程X3X21 = 0,在*=附近的根。计算中保留 5位小数点。分析先确定有根区间。再代公式。解 f(x)= X3-X2-1, f(1)= 1, f(2)=3 ,有根区间取1,2取Xi=1,迭代公式为XnXn 7f kVxn I Me，2"X X ,、(XX )X