新编基础物理学第1章习题解答和分析

1、第1章质点运动学1-1. 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x= 8t36t (m),试计算质点(1)在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时速度；(2)在1s末到3s末的平均加速度，3s末的瞬时加速度.xdx分析：平均速度和瞬时速度的物理含义不同，分力1J用V 和v 求得；平均加速度和瞬时tdt加速度的物理含义也不同，分别用a -v和a 四 求得.t dt解：(1)在最初2s内的平均速度为V 上 x x(0)(8 23 6 2) 0 26(ms1)t t22s末质点的瞬时速度为v2 dx 24t2 6 90(m s1) dt(2) 1s末到3s末的平均加速度为a,v v(24 32 6)

2、(24 6) 96(ms2) t t23s末的瞬时加速度a . 48t 144 (m s 2)21-2. 一质点在xOy平面内运动，运动万程为 x 2t(m), y 4t 8(m).(1)求质点的轨道方程并画出轨道曲线；(2)求t = 1 s和t = 2 s时质点的位置、速度和加速度.分析：将运动方程 x和y的两个分量式消去参数 t,便可得到质点的轨道方程.写出质点的运动r r学方程r(t)表达式.对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度.解：(1) 由 x 2t,得：t -, 代入 y 4t2 82一2可得：y x 8,即轨道万程.回图略

3、(2)质点的位置矢量可表不为v 2ti(4t2v 8)j则速度加速度当t=1s时，有dv dtdvdtv v2i 8t jv 8jr r r r r r 2i 4 j (m), v 2ir8j (m1、 r r 2s ), a 8j m sr r rr r r 1r r 2r4i8j(m),v2i16j(ms ), a8j ms1-3. 一质点的运动学方程为 x t2, y (t 1)2 , x和y均以m为单位，t以s为单位.求:(1)质点的轨迹方程；(2)在t 2s时质点的速度和加速度.分析： 同1-2.解：(1)由题意可知:x R, y R,由 x t；可得 t VX,代入 y (t 1)

4、2整理得:即轨迹方程(2)质点的运动方程可表不为r 2r 2rr t i (t 1) j因此，当t2s时,有 r vdvdtdvdtr4i2tir 2i2(tr 1)jr 2jr 12j(m s ),r r a 2ir 22j(m s )1-4.一枚从地面发射的火箭以 20m s 2的加速度竖直上升后， 燃料用完，于是像一个自由质点一样运动.略去空气阻力并设 g为常量，试求：(1)火箭达到的最大高度；(2)它从离开地面到再回到地面所经过的总时间分析：分段求解：0 t 30s时，a 20m s2,可求出v1,x1 ；t >30s时，a g.可求出v2(t), x2(t).当v2 0时，火箭

5、达到的最大高度，求出t、x.再根据x 0,求出总时间.解：(1)以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，设火箭在坐标原点时，t=0s,且=30s.则当 04 < 30s 由 axdvxdt30vx20dtdvx ,00x )当v130s时ccc1v1 600m s, dx由Vx ,得dt30x120tdt dx ,00则x, 9000m当火箭未落地，且t>30s,又有tv9.8dtdv*,30v1x2解得解得Vx20tvx2894 9.8t同理由Vxdx /日得dtt30 (894 9.8t)dtXdxxi解得24.9t2 894t1341091.2s,代入得(2)由

6、式可知，当Xxmax0时，解得27.4kmtit2166s16s<30s (舍去)221-5.质点沿直线运动，加速度 a 4 t ,式中a的单位为m s , t的单位为s,如果当t=3s 时，x=9m, v 2m s 1,求质点的运动方程分析本题属于第二类运动学问题，可通过积分方法求解解由分析可知vtt2dv nadtn(4 t2)dtV000积分得1 .3v v04t t3由xtt1 3x0dx 0vdto(vo 4t -t )dt3得21 , 4x / + v0t 2t t12将t=3s时，x=9m, v 2m s 1代入上两式中得1v01m s , x0=0.75m所以质点的运动方

7、程为214x 0.75 t 2t2 t4(m)121-6. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度大小平方成正比，即 dv/dtkv2 ,式中k为常量.试证明电艇在关闭发动机后又行驶xkx距离时的速度大小为v v°e.其中v0是发动机关闭时的速度大小 .分析：要证明vx关系，可通过积分变量替换将时间变量替换掉，即 a 生 v型，积分即 dt dx '可证明.dVdVdxdV.2证：VkVdtdxdtdx分离变量得dVkdxV两边积分V1 .xVdVkdxIn VoVoVo证得kxVVoekx121-7. 一质点沿半径为 R做圆周运动，

8、运动学方程为s Vot -bt，其中v* b都是大于零的2常量.求:(1) t时刻质点的加速度大小及方向；(2)在何时加速度大小等于 J2b ；ds分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s st ,求导可求出质点的运动速率V ds,而dt切向加速度at dv ,法向加速度ant dt2，总加速度a，a2a2 ,当aJ2b时，即可求出t .解：(1)质点的运动速率切向加速度法向加速度加速度大小方向(2)当a J2b时，可得ds dtVo btat业bdt(vobt)2R,一 1 antan 一 at21 Vo bttan bR解出,bR vob1、1-8.物体以初速度20m s被抛出，抛射仰角

9、60 ,略去空气阻力，问：(1)物体开始运动后的末，运动方向与水平方向的夹角是多少末的夹角又是多少(2)物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45。角这时物体的高度是多少(3)在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大(4)在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大分析：(1)建立坐标系，写出初速度v0,求出v(t)、tan ，代入t求解.(2)由(1)中的tan关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出 y t，代入t求y.2(3)根据物体在轨迹最高点处，vy 0,且加速度a an g ,可求出 2(4)由对称性，落地点与抛射点的曲率相同an g cos ,求出 解：以水平向右为 x轴正向，竖直向上

10、为 y轴正向建立二维坐标系(1) 初速度r八 r r _r “v0 20cos600i 20sin600 j 10i 10V3j(ms1),加速度r r 2a 9.8j(m s ),则任一时刻v v vt 10i (1073 9.8t)j 与水平方向夹角有,10 .3 9.8ttan 10当1二时tan 0.262,14 41'当1二时tan 0.718,35 41' 此时tan 1,由得t =物体的高度112丫Vyot2 gt10.3 0.75 1 9.8 0.752210.23(m)(3)在最Wj处21 Vv 10m s , an 一 g得2 V 10.2mg(4)由对称性

11、可知，落地点的曲率与抛射点的曲率相同 由解图1-8得Vx10an a cos g cos g g 4.9(m 20s2)解图1-#v2 40082(m)an4.91-9.汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m s向加速度的大小为 0.2m 分析：由某一位置的 、 大小和方向.2 一、，s .求汽车的法向加速度和总加速度的大小和万向v求出法向加速度an,再根据已知切向加速度解：法向加速度的大小anv 102 0.25(m s ),方向指向圆心400总加速度的大小/a2,0.220.2520.32(m由解图1-9得tan0.8,38 40'则总加速度与速

12、度夹角90an128 40'a求出总加速度1-10.质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为V0 ,与水平方向成角.求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度、法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径(忽略空气阻力).已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an分析：在运动过程中，质点的总加速度a g .由于无阻力作用,质点的速度大小vv0 ,其方向与水平线夹角也是.可求出an所以回落到抛出点高度时，如解图1-10所示.再根据法向2加速度与轨迹曲率半径之间的关系an 上，解出曲率半径.解：切向加速度at g sin a法向加速度an g cosaaOrg解图1-10才2因为an,所

13、以2V0ang cos31.3.14 10 rad s .在分析根据定义可得向心加速度的大小an所求倍数2,22r 4 n r4 2(64 210 )0.1一2 一-609.84 1051-11.在生物物理实验中用来分离不同种类的分子的超级离心机的转速为这种离心机的转子内，离轴10cm远的一个大分子的向心加速度是重力加速度的几倍解图1-131-12.一质点在半径为 0.10m的圆周上运动，其角位置变化关系为2 4t3(rad).试求:(1)在t=2s时，质点的法向加速度和切向加速度大小各为多少；(2)当切向加速度大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少(3)在什么时刻，切向加速度和法向加速度恰

14、好大小相等分析本题为物体作圆周运动的角坐标表示下的第一类运动学问题，求导可得到角速度和角加速度，再由角量与线量的关系求得切向加速度at和法向加速度an.解(1)角速度和角加速度分别为12t2- 24tdtdt法向加速度an r 2 0.1 (12t2)2 2.30 102 (m s 2)切向加速度dv2、at r 2.4t 4.8 (m s )dt(2)由 at a/2 , a2 at2 a2 4at2得223atan3(24rt)2 r2(12t2)4t3 -362 4t32 4 V 3.15 (rad)(3)由 纵 a ,即 r(12t2)2 24rt ,解得t 0.55 s1-13.离水

15、面高度为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率V0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小 .分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念.小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为 V0.可以由V0求出船2速v和垂直绳的分量v1再根据an "vL关系，以及an与a关系来求解a.解： 如解图1-13,小船速度沿绳的分量 v2 v0 ,船速v v2 sec当船离岸的距离为 s时，船速船速垂直绳的分量Vlv2 tanvoh则船的法向加速度2Via cos,s2 h2解得2.2vo h3- s1-14. A 船以 30km11 .的速度向东

16、航行，B船以45km h的速度向正北航行， 求A船上的人观察到的B船的速度和航向.分析：关于相对运动， 速度矢量关系图求解.必须明确研究对象和参考系.同时要明确速度是相对哪个参照系而言.画出解：如解图1-14所示vVar30i km h1 v,vbr45 j kmB船相对于A船的速度vVBAv vvb var45 jr30i (kmh 1)则速度大小解图1-1421vA 54.1(kmh1)方向,vbarctan -va56.3 ,既西偏北56.31 .1-15. 一个人骑车以18km h的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直洛下，当他的速率增加至36km h 1时，看见雨滴与他前进的方向成120

17、。角下落，求雨滴对地的速度 .分析：这是一个相对运动的问题，雨对地的速度不变，画出速度矢量图，就可根据几何关系求解.解：如解图1-15所示，vr为雨对地的速度，：内，Vp2分别为第一次，第二次人对地的速度,vrp1 , Vrp2分别为第一次，第二次雨对人的速度，120由三角形全等的知识，可知18012060三角形ABC为正三角形，则V vD 36km h 1 ,方向竖直向下偏西 30Ip271-16如题图1-16所示，一汽车在雨中以速率 V1沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方角，速率为V2,若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿分析：相对运动问题，画矢量

18、关系图，由几何关系求解 解：如解图1-16 (a),车中物体与车蓬之间的夹角arctan - h若 >,无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿若 v ,如解图1-16 (b)则有v车 | BC | | AC | | AB |=v雨对车 sinv雨 sinv雨 cos tan v雨 sin又v雨 v2则题图1-16v2(l coshsin ) 13一1-17人能在静水中以1.10m s的速度划船前进.今欲横渡一宽为1.00 10 m、水流速度1 .0.55m s的大河.他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行万向到达正对岸需多少时间分析船到达对岸所需时间由船相对于岸的速度 划行速度v确定.画出矢量图由几何关系求解.解根据解图1-17,有v=U+ v ,解得u0.551sin - 一v1.10 2v决定，而v由水流速度v和船在静水中300解图1-17即应沿与正对岸方向向上游偏300方向划行.船到达正对岸所需时间为钉子速度为v0,钉子脱落后对地的运动方程为,d d3t - 1.