专题17圆锥曲线综合问题

1、专题十五圆锥曲线综合问题1. 2005年海淀区高三二模理科第16题uuirur o已知向量m, (0,x), n, (1,1), n2 (y2,1)(其中x , y是实数)，又设向ir ur _ur r ir_iru r量m mi 72n2 , n m2 72 ,且m n，点P(x, y)的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程； 设曲线C与y轴的正半轴的交点为M ,过点M作一条直线l与曲线C 交于另一点N ,当| MN | 迪 时，求直线l的方程.32. 2005年西城区高三一模理科第18题如图所示，已知点A( 3p,0) (p 0), B、C两点分别在y轴和x轴上运 uuu uuuuuir i

2、 uuir动，并且满足 AB BQ 0, BC -CQ .2求动点Q的轨迹方程；设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设A'(3 p,0),求直线A'E、 A'F的斜率之和.3. 2005年海淀区高三一模文科第19题，理科第18题uur uur 1 uuu uuur已知 A( 2,0)、B(2,0),点 C、点 D满足 |AC | 2, AD 1(AB AC),求点D的轨迹方程； 过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为4,且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.54. 2006年西城区高三一模文科第19题，理科第18题22椭圆

3、土 4 1 (b 0)的焦点在x轴上，其右顶点关于直线x y 4 0的4 b对称点在椭圆的左准线上.求椭圆的方程； 过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交椭圆左准线于点C .设 uuu uur uuuO为坐标原点，且OA OC 2OB ,求 OAB的面积.5 2005 年东城区高三一模理科第19 题已知。为坐标原点，点E、F的坐标分别为(1,0)和(1,0),点A、P、Q uuur uuuruuuruuur uuur uuur uuur uuur运动时满足| AE| 2| EF |，AQQF， PQ AF0， AP/ EP 求动点P 的轨迹 C 的方程；uuuur uuur uuur 设

4、 M 、 N 是 C 上两点，若OM 2ON 3OE ，求直线MN 的方程6 2006年西城区高三二模文科第20题，理科第19题 22双曲线。与1 (a 0,b 0)的离心率为73, A、F分别是双曲线的左 a b顶点、右焦点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点,AP、AQ分别交右准线于M、N两点.uuir imr若RQ 5QF ,求直线l的斜率；4 c 证明：M、N两点的纵坐标之积为-a2 .31. 2005年海淀区高三二模理科第16题由已知，m (0,x) (.2y2,2), (2y2,x ,2),n (x,0) (、2,.2) (x 2,2).m/n,2y2( 2)

5、(x、. 2)(x .2) 02即所求曲线的方程是：-y2 1.2由(I)求得点M (0, 1),显然直线l与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y=kx+1.2 x 2由 £ y 1捎去y得：(1 2k2 )x2 4kx 0.y kx 1.4k斛得x1=0, x2=2(x1,x2分别为M, N的横坐标).1 2k2由 |MN| / k2|x1 x2 | V1 k2 | 4k 2 |V2，解得：k 1.1 2k 3所以直线l的方程x y+1=0或x+y 1=0.4. 2005年海淀区高三一模文科第19题，理科第18题 设 Q(x,y),因为 BC 1CQ,所以 B(0, -y), 22又

6、4( 3p,0),所以 AB (3p, -), BQ (x,3y),，一一-3 2-由已知AB BQ 0,则3Px -y 0, 4分y2 4Px即Q点轨迹方程为y2 4px.5分 设过点 A的直线为 y k(x 3p)(k 0).E(x1,y1)、F(x2, y?)联立方程组y2 k(x 3P),消去x得Ky2 y 3kp 0,7分 y 4px4py1y2=12p2 8 分kAE kAFyiy2x1 3p x2 3pyi x2 3 pyiy2xi 3py2(xi 3p)(x2 3p)10分又 y2 4px1，y；4 Px2,所以kAE kAF2yyi3 pyi4p2yiy23 py24p(xi

7、 3p)(x2 3p)yi y2(yi 丫2匹 - 3p)4P i3分(xi 3p)(x2 3p)2由 yiy2=i2p,得 kAE kAF=0i4分 设C、D点的坐标分别为C(x0,yo), D(x,y),则:uuruuuAC (Xo 2,y> AB (4,0),uuur i uuu uuur xyAD (AB AC) ( 0 3,)222uuur Q AD (x 2,y)0 3 x 22,解得x0 2xy。、，y。2 y5yuuur -22Q | AC | 2 ,即(x。2)2y。 由题意有再4x2 y2 1 ,即为点D的轨迹方程 易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y k(x

8、2).22又设椭圆方程为今- 1(a2 4).a a 4因为直线l与圆x2 y2 1相切，故41kL 1,解得k2 1k2 13将代入整理得，(a2k2 a2 4)x2 4a2k2x 4a2k2 a4 4a2 0,而 k2 1,即(a2 3)x2 a2x 3 a4 4a2 0 , 342a设 MJ,%), Nd*),则 x1 x?一:a 38,经检验，此时 0.4一(a 4),求得5故所求的椭圆方程为6. 2006年西城区高三一模文科第19题，理科第18题椭圆的右顶点为(2,0) (2, 0),设（2,0）关于直线xy 4 0的对称点为（X0,y0）,X0则2VoX0V。20,解得X04,4,

9、所求椭圆方程为设 A(X1,y) B(X2,y2),C(4, y3),由3X2V4y2 k(X14,得(3 4k2)X2 1),228k2X 4k2 12 0,所以X1X2uurr 因为OAuuurOC8k23 4k2 ,uuuX1 X22_4k 123 4k2所以2X2X1由得X2代入得,所以k2 4由于对称性,2OB ,即（xy）4 8k22", X13 4k_ 24 8k24Z2- Z 23 4k 3 4k所以X1只需求42".4k4k24, y2)123 4k22(X2, y2) ,整理得4k4k25 0,此时，y1 i；5,y2412,X25-2时, OAB的面积

10、.1 - 11OF| 1y1y2116 5.8. 2005年东城区高三一模理科第19题uuurAQuuur PQuuurQFuuurAF 0Q为AF的中点.PQ是AF的垂直平分线uur uuuAP/ EPPQ uur |PA|AFuur|PF |A、E、P三点共线P为AF的垂直平分线与AEuuu uuir uuu|PE| |PF | |PE|uur|PA|的交点uur uur |AE| 2|EF | 4点P的轨迹为椭圆,2a2所求的椭圆方程为- 41.设两交点的坐标为M(xi,yi)、NHm),则2 2, 23x1 4y1uuuin由已知OMuuur 2ON12 , 3x2 uur3OE可得:

11、12x1 2x23, y12y2 0由上式可组成方程组为3x23x2XiVi4y； 4y；2x22 y2121230(1(2(3(4把、代入得2736x212x216yf 12X4得x2-44代入得y23:58直线MN与x轴显然不垂直,所求直线MN的斜率k必Y1x2 X13y23 3x2y21 x2J52所求的直线MN的方程为y g,x 1)10. 2006年西城区高三二模文科第20题，理科第19题3解：设 P(xi,yi),Q(X2,y2),因为双曲线的离心率为。3,所以c a，b &a,双曲线方程为2x2 y222a 2ck xx2 c(x1 x2) c k 2k 2 2a2,uuiruuur5因为RQ 5QF ,所以x2 -c ,6因为直线l：y k(x c),所以y2ck,6点Q是双曲线上一点，所以2(5c)2 ( ck)2 2a2, 66整理得，50e2 e2k2 2 ,解得 k V26.3636 证明：设 P(xi,yJ , Q(x2, y2)由已知 AP:y y(x a), AQ: y y(x a), xi ax2 a2a)，x2 a c2所以 yM( a), Ynx1a c22y1Y2 户、2Y1Y2za 、2肝 以 YmYn -(一 a) -2(一 a)，xi a x2a cx