数学建模人力资源安排模型

1、人力资源安排模型摘要： 近年来，我国电力工程发展越来越快，高级人力资源渐渐成为发展的瓶颈. 如何在保证专业人员结构符合客户的要求下合理的分配现有的技术力量，使得公司直接收益最大已成为每个公司需要解决的问题。本文针对某一公司在承接4 个项目工程时的人力资源如何安排使得直接收益最大这一问题进行建模。本文建立模型主要依据公司的人员结构及工资情况、各项目对专业技术人员结构要求、以及不同项目和各种人员的收费标准三个要素。其中人员结构和对人员结构的要求为约束条件，各种人员的收费标准、工资和管理开支为权重。本文针对这一特点建立16 个变量的整数规划模型。并分别运用启发式算法和软件求解该模型。在启发式算法中，

2、先将人员结构分为两个部分，固定部分即客户的最低需求部分，调派部分即需要安排部分。其中固定部分所对应的直接收益是固定的，所以只需考虑调派部分所产生的最大收益，将收费标准减去所有对应的开支，得到该公司的利润标准，并给出不同项目和各种人员的利润图表。对简化后的11 个变量考虑，运用启发式算法给出调派部分的人员安排以及直接收益，最后给出具体人员安排如下：A项工程需高级工程师1名，工程师6名，助理工程师2名，技术员1名；B项工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项工程需高级工程师2 名，工程师6 名，助理2 名，技术员1 名； D 项工程需高级工程师1 名，工程师 2 名，助理1 名

3、，技术员无；最大利润为每天27150元。用Lindo 软件对 16个变量的整数规划求解得到答案和上面相同，最大利润为每天27150元。本模型的优点在于运用两种不同的方法进行求解，得到了相同的结果，启发式算法在去掉固定部分的调派人员后，使问题大大简化，有利于计算；同时给出利润标准，使问题更加直观，由于所建立的是整数规划模型，在变量比较多时，用Lindo软件易于求解，具有一定的普遍性和推广性；同时，在变量较少时，启发式算法也是一种有效的方法。关键词：启发式算法，整数规划模型，灵敏度分析，最大收益，优化分析一.问题重述“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和

4、相应的工资水平分布如表1所示。高级工程师工程师助理工程师技术贝人数917105日工资（元）250200170110目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在 A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在 C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表 2所示。高级工程师工程师助理工程师技术贝A1000800600500收费B1500800700600（元/C1300900700400大）D1000800700500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合

5、客户的要求，具体情况如表3所示:ABCD高级工程师1325212工程师222228221助理工程师131技术贝101611-18总计因此需要解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？二.问题分析在本模型中，要解决的问题为怎样分配人力资源使公司的直接收益最大，其约束分别为公司人员结构以及各项目对专业人员结构要求。 很明显这是一个变量为16个的整数规划 问题，在满足约束条件下建立相关模型是比较简单的，如何给出解答是本题的关键。本文 给出了 3种解法。解法一在模型的求解中可以将安排分为两个部分：第一个部分为固定部 分即客户最低要求部分，其利润是不变的；第二部分为需要安排部

6、分，为方便起见，首先将16个变量简化为11个变量，给出其对应的利润标准。对需要安排部分运用启发式算法， 求出需要安排部分的人员结构，在此基础上可得到最大收益，即为固定利润与安排部分最 大利润之和。解法二是将此问题看作多重集的 r组合数，分别给出不同的可能组合，再求 最大值，由于计算量比较大和时间上的关系， 本文就不再给出解答。解法三采用Lindo软件进行求解，得到最优安排。三符号说明A,B,C,D表示各承包项目的类型xij表示 j 项目需要i 类型人的人员数cij表示第i 类型人被调派到第j 项目的收费标准W表示该公司每天的直接收益W1表示该公司每天固定部分的直接收入W2表示该公司每天调派部分

7、的直接收入R表示该公司承包四个项目每天的直接收入L表示 C , D 两个项目专业技术人员的每天管理开支的总费用Q表示该公司每天所发给 41 个专业技术人员的工资总额ij表示第 i 类专业技术人员作第j 个项目给公司净收入ki表示该公司给第i 类专业技术人员每天所发的工资（其它符号在文中用处说明 ）四模型的假设1 假设该公司每天都必须给41 个专业技术人员发工资，无论他们是否被指派去完成各项目；2 假设在 C , D 两个项目工作的工人所开支的管理费由该公司承担；3 假设这四个项目每天都在开工，不存在停工的项目；五.模型的建立1.模型的准备为了做到心中有数，首先我们对本问题进行粗略的估算，(1)

8、对出动人数的估计一方面，从表1和表2中的数据可以看出，所有专业技术人员无论调派到那个项目， 他们的收费标准都大于该公司给他们所发的日工资，另一方面，四个项目所需要的总人数 为55,大于该公司的现有专业技术人数 41,所以，为了使该公司每天的直接收益最大，我 们得出的结论是：要求该公司出动所有的专业技术人员， 即调派41个专业技术人员去这四 个项目。(2)对调派方案估计由于这四个项目对该公司的人员结构有要求，设 j表示为第i类人调派去做第j个项 目时，给公司带来的直接收益，ki表示公司给专业技术人员的日工资， Cj表示第i类人员 做第j项目的收费标准，jCjki(j1,2)则jCjki50(j3

9、,4)由此，我们得出j的值如下表:1112131421222324750125010507506006006505503132333441424344430530480480390490240340表下面采用按j的最大元素法对人员进行调派，由于 12131114,因此，高级工程应尽量调派到B项目，同理，工程师应尽量调派到C项目；助理工程师应尽量调派到 B项目，而技术人员只有5个，恰好是四个项目的最低要求，因而不存在这样的问题。这样可以得到以下的调派人数表，ABCD分配情况高级工程师1最多5人21分配完工程师最多为6助理工程师2最多5人21分配完技术贝1310分配完总计101611表(5)现在只

10、剩下工程师没有分配完，由于 23 21 22 24 ,所以工程师在先满足C的 条件下，再尽量满足 A,B,由于此时B最多只能分配16 5 5 3 3名，A最多能分配 10 1 2 1 6名，这样41名专业技术人员分配完毕。(3)对该公司每天直接收益估计假若该公司是按上面的方案进行调派的，我们认为该公司每天的直接收益是最大的，通过44计算，得出最大的直接收益为： WjXj 27150,由于上面的调派方案可能不是最i 1 j 1优的，所以最优的直接最大收益 W',应该满足W' W2. 整数规划模型通过对问题仔细的分析,可用整数规划模型来描述: 设 i(i 1,2,3,4) 为人员类

11、型，其中1表示高级工程师，2表示工程师，3表示助理工程师，4表示技术员；j(j 1,2,3,4)为项目类型，其中1表示A项目，2表示B项目，3表示C项目，4表示D项目； Xj(i 1,2,3,4; j 1,2,3,4)表示第j项目需要第i类人的人数，Cj表示第i类人员做第j项目的 收费标准。Q表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额，R表示该公司承包四 个项目每天所得的收入，L表示C,D两个项目的专业技术人员每天的开支管理费，则该公 司每天的直接收益W R L Q题意知：Q 250 9 200 17 170 10 110 5 7900元要使该公司每天的直接收益最大，我们建立整数规划模型

12、，具体过程如下：4444目标函数为：MaX WCij Xij50Xij7900i1 j1i1j3约束条件为：(1) 由于要满足该公司的人员结构要求，即有：4X1 j 9(该公司供分配的高级工程师不超过9 人)j14X2j17(该公司供分配的工程师不超过17人)j14X3 j10(该公司供分配的助理工程师不超过10人)j14X4j 5(该公司供分配的技术人员不超过5人)j1(2) 项目 A 对专业技术人员结构的要求，即有：1x11（A项目对高级工程师的要求）X212（A项目对工程师的要求）X31 2（ A项目对助理工程师的要求）X41 1（ A项目对技术员的要求）4Xii10（A项目对总人数的限

13、制）i1（3） 项目 B 对专业技术人员结构的要求，即有：2 Xi2 5（ B项目对高级工程师的要求）X22 2（ B 项目对工程师的要求）X32 2（ B 项目对助理工程师的要求）X42 3（ B 项目对技术员的要求）4Xi2 16（B项目对总人数的限制）i1（4） 4） 项目 C 对专业技术人员结构的要求，即有：X132（ C项目对高级工程师的要求）X23 2（ C 项目对工程师的要求）X33 2（ C 项目对助理工程师的要求）X43 1（ C 项目对技术人员的要求）4Xi3 11（C项目对总人数的限制）i1（5） 项目 D 对专业技术人员结构的要求，即有：X14D 项目对高级工程师的要求

14、）2x248（D项目对工程师的要求）表（6）X34 1（ D项目对助理工程师的要求）X440（ D项目对技术人员的要求）4Xi4 18（D项目对总人数的限制）i 1（6） 该公司分配给各个项目的专业技术人员要必须是正整数，即有：Xj 0 （i 1,2,3,4; j 1,2,3,4）六.模型的求解方法一：启发式算法首先将问题做如下简化：1）对公司的收入和支出的简化：公司每天的直接收益为收入R减去发给员工的工资Q和管理费用L,即W R Q L,在计算过程中，公司的直接收益可以简化为每个 专业技术人员在不同的四个项目中对公司带来的收益，可以看作各种人员在不同项目的利润标准，即每个人员在不同项目中每天

15、可以获得的利润。给出不同项目和各种人员的利润标准（单位元/天）：高级工程师工程师助理工程师技术贝A750600430390B1250600530490C1000650480240D7005504803402）各项目对专业技术人员结构的要求以及人员结构的简化：在各项目中，客户对不同的技 术人员结构都有个最低要求，其对应的成本是固定的，在调派过程中除去固定部分后的最 大利润对应着总的最大利润。给出固定部分的最低人员配置要求和剩余技术人员结构图表（7）:ABCD剩余人员高级工程师12213工程师22229助理工程师22213技术贝13100表其对应的每天固定部分直接收益皿cjxj 16210 （元/

16、天）给出调派部分不同项目对技术人员分配要求和剩余人员结构图表（8）:ABCD剩余人员高级工程师0 20-300-13工程师0000-69助理工程师00003技术贝00000需求47414表（8）可以看出变量由16个减少为11个，对这11个变量给出模型。下面根据图表（4）和图表（6）的数据，运用启发式算法进行求解：首先对最高层-高级工程师进行分配，其中B的权值最大，所以先将3个高级工程师尽可能安排在B处， 此时B的剩余需求为4个人，最高层安排完毕。然后考虑次高层 -工程师，其中C的权值 最大，则先将工程师尽可能安排在 C处，此时C处人员需求已满，工程师还有 5个剩余， 考虑次大权值为A和B,由于

17、两个权值相等，我们为满足需求条件，先对第三层-助理工程 师考虑。助理工程师在B中的权值最大，尽可能向B处安排助理工程师，这样助理工程师 安排完毕。此时B处剩余需求为1人，安排工程师1名在B处，剩余的4名工程师刚好满 足A,最优安排完毕。给出调度部分的人员安排图表ABCD高级工程师7501250(3)1000700工程师600(4)600(1)650(4)550助理工程师430530(3)480480技术贝390490240340表（9）算出调派部分的最大利润 W2 10940（元/天）则总的最大收益 W W1 W2 16210 10940 27150 （元/天）给出调派部分和固定部分的人员安排

18、表（10）ABCD高级工程师750 (1)1250 (5)1000 (2)700 (1)工程师600 (6)600 (3)650 (6)550 (2)助理工程师430 (2)530 (5)480 (2)480 (1)技术贝390 (1)490 (3)240 (1)340表（10）方法二：由表（6）的数据可知简化后，模型变量的个数由 16个变为11,由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是 55人，多于该公司现有人数41,所以要使公司每天的直接收益达到最大，就应该把人员完全配置到项目上去，即将以下 3个约 束取等号。X11X12X143(0X112, 0 X122, 0X14

19、1)X21X22 X23 X249 (04, 0 X227, 0X234, 0 X246)X31X32X33X343(0 X313, 0X323, 0X333, 0 X343)以上的3个方程都可以看作多重集的r-组合数问题，运用包含排斥原理对每个方程进行求 解，得到的结果组数是比较多的，在满足约束条件后所得到的方案可以大大减少，对每种方案给出其对应的利润，找到最大值。由于计算比较复杂，本文在这里不再赘述。方法三：利用Lindo软件求解，程序如下：maX 1000 X11+800 X21+600 X31+500 X41+1500 X12+800 X22+700 X32+600 X42+1300

20、X13+900X23+700 X33+400 X43+1000 X14+800 X24+700 X34+500 x44-50 x13-50 x23-50 x33-50 x43-50X14-50 X24-50 x34-50 X44-7900 y stx11+x12+x13+x14<9 x21+x22+x23+x24<17 x31+x32+x33+x34<10 x41+x42+x43+x44<5 x11+x21+x31+x41<10 x12+x22+x32+x42<16x13+x23+x33+x43<11 x14+x24+x34+x44<18x11&

21、gt;1x11<3x12>2x12<5x13=2x14>1x14<2x21>2x22>2x23>2x24>2x24<8x31>2x32>2x33>2x34>1x41>1x42>3x43>1 x44=0 y=1endgin x11 gin x12 gin x13 gin x14 gin x21 gin x22 gin x23 gin x24gin x31 gin x32 gin x33 gin x34 gin x41 gin x42 gin x43 gin x44（注明：上程序中的y是为了方便计

22、算而引入的变量，无任何实际意义）程序运行的结果为：OBJECTIVE FUNCTION VALUE （目标函数值）： 27150VARIABLEVALUEREDUCED COSTX111.000000-1000.000000X125.000000-1500.000000X132.000000-1250.000000X141.000000-950.000000X216.000000-800.000000X223.000000-800.000000X236.000000-850.000000X242.000000-750.000000X312.000000-600.000000X325.00000

23、0-700.000000X332.000000-650.000000X341.000000-650.000000X411.000000-500.000000X423.000000-600.000000X431.000000-350.000000X440.000000-450.000000六.模型的检验通过方法一和方法三进行求解，得出的结果完全相同的，由此说明我们所建立的模型 是最优的。卜面我们采用灵敏度分析对模型进行检验，参考Lindo运行的结果得出下表（11）变量X11X12X13X14X21X22X23X24调派人数15216362灵敏度-750-1250-1000-700-600-600

24、-650-550变量X31X32X33X34X41X42X43X44调派人数25211310灵敏度-430-530-480-480-390-490-240-340表（11）将变量按其灵敏度由大到小的顺序进行排列，结果如下Xl2 X13 X11 X14 X23 X22 X21 X24 X32 X42 X33 X34 X31 X41 X44 X43通过对表格（9）与表格（3）进行比较，我们发现调派的人数完全符合各个项目对专业技术人员结构的要求，同时使公司的收益达到最大，通过进一步的检验，发现以上表格的调派 方案不但满足专业技人员结构要求，而且是完全符合灵敏度由大到小的安排顺序，由此说 明我们所建立

25、的模型是合理的，是符合实际的。七.模型的改进和推广卜面我们对模型进行优化分析，如表（12所示:ABCD高级工程师750 (1)1250 (5)1000 (2)700 (1)工程师600 (6)600 (3)650 (6)550 (2)助理工程师430 (2)530 (5)480 (2)480 (1)技术贝390 (1)490 (3)240 (1)340人数总计1016114由上表给出的调派的人力资源表的数据可以看出，该公司调派了所有专业技术人员，使得公司在现有的人员结构基础上收益达到了最大，但是该公司调派的总人数并没有达到这四个项目的人数上限，从上表可以看出 A,B,C三个项目已经达到了人数的

26、上限，而 D项 目没有达到人数的上限，还差14个专业技术人员，现假设公司可以从市场聘用专业技术人 员时，那么，我们通过计算，得出最优聘用方案是：聘用的人数为 14人，其中高级工程师 为1名，工程师为6名，助理工程师为7名，这样可以使该公司的收益增加W 1 700 6 550 7 480 7360(元/ 天)本文的建模思想可以进一步的推广到资源分配问题。在现实生活中,会遇到很多与本问题相类似的分配问题，例如，将数量一定的一种或若干种资源恰当的分给若干个使用者,从而使目标函数达到最优。具体如下:设有 m 种类型的原料, 总数量为a , 用于生产n 种产品，xij 表示生产第i 种产品需要第j种类型

27、原料的数量, 其收益记为gi(xij ) , 问如何分配使总的收入最大?此问题就可以写成静态规划问题:nmmax zg i (xij )i1 j1nmxij ai1 j1xij0当 g(xij ) 都是线性函数时, 它可用本模型所用的Lindo 软件求解；当 g(xij )是非线性函数时 , 可以看成一个多阶段决策问题, 采用动态规划的递推关系来求解，或者用Lingo 软件求解。八模型的评价优点：1 本模型所采用的是整数规划，可综合考虑各种因素，且可解一般性的问题，对于变量相对较多时，应用计算机很容易求解。2本模型中所采用的启发式算法，比较容易理解，而且易于求解，在变量比较少时，是一种有效的方

28、法，而且所求的解往往是最优的。不足：启发式算法对于变量比较多时，求解过程比较复杂，而且可能不是最优解，九参考文献1 << 运筹学 >> 教材编写组，运筹学，北京: 清华大学出版社，19902 屈婉玲，组合数学，北京: 北京大学出版社，1989附:关于人力资源安排的论证报告各位领导、各位来宾、各位员工：大家好！我们公司是一家从事电力工程技术的中美合资公司，多年以来，在各位领导的大力支 持下，在各位来宾的关心下，在各位员工的辛勤工作下，我们取得了辉煌的成就，在市场 上占有一席之地。但毕竟我公司的人力资源有限，仅有专业技术人员41名，而市场上有多家公司需要我们承包工程项目，为了使我公司在单位时间内的收益尽可能的大，我们必须 尽量的承包多个工程项目，与此同时，为了保持公司的美好形象，在保证工程质量的前提 下，各个项目必须保证专业技术人员结构符合客户的要求，这样在人力资源的分配上给我 公司带来了一定的困难