07第三章第7节曲率

1、第七节曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径四、小结问题：如何定量描述曲线的霜程度?基点:A(x0,j0),M(x,j)为任意一点,-、弧微分设函数门兀)在区间(a,) 内具有连续导数.规定：曲线的正向与兀增大的方向一致;(2) AM = s,当A舫的方向与曲线正向一致时,s取正号相反时，取负号.单调增函数s =s(x).设N（兀+ Ar+3），如图,MN< <MT + NT 当山:->0时，Xo X工+心 X|MV| = J(Arr +(3)2 = ji + (鲁)22 t Jl + y,2禺, 麻=|As| T処 MT = A/(Jx)2 + (Jy)2

2、= Jl + y,2 dx,NT = lAv dy T 0，故 |凋= l + yf2dx.弧微分公式 S = S（兀）为单调增函数，故ds = ；l + yf2dx.、曲率及其计算公式1 曲率的定义曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。（1）当弧长相同时, 转角越大曲线弯曲程 度越大。（2）转角相同 时弧段越短弯曲 程度越大弧段佩r的平均曲率为k = |.曲线C在点M处的曲率K = limW&to| As I在lim学二字存在的条件下，k = |卿 公to As asds |;主意(1)直线的曲率处处为零。(2)上各点处的曲率等于半径的倒数，且半径越小曲率越大.如图所示，有As =

3、 R&aK = limAct可见：R愈小，则愈大,RR愈大，则愈小2 曲率的计算公式ds设y = /（兀）二阶可导，I tana = g有 a = arctan yy"da=R必'*: ds -y'2(bc设二阶可导,b =必)，.的肿),rfy 二 0(/)卩”(/) 一矿，(/)”(/) dx 卩'(/) dx2 泸(/).|0(/)鸭"(/)一0'(/)肖'(/)| K 302(/) + y/2(°F例1求y =ax3(a>0)在点(0,0)及点(1皿)处的曲率解：T yf = 3ax2, yfr = 6

4、axyytf6a xT _I(1 + *)(1 + 9«2x4V.在点(0,0)处 K = 0.在点(l，a)处(l + 9a2p例2抛物线y =ax2+bx + c上哪一点的曲率最大? 解 yf = 2ax + b, yf, = 2ay=3 l + (2ax+b)2Y显然，当兀时，农最尢lah 万 2 4/厂又打兰)为抛物线的顶点2a 4a抛物线在顶点处的曲報大.、曲率圆与曲率半径定义设曲线J=/(X)在点 M(工)处的曲率为k(k 0) 在点M处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点D,使QM| = t = P以D为圆心，卩为半径 k 作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆D曲率中

5、心，P曲率半径注意:1曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数即 £ =k = k p2曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点 处的曲率越小（曲线越平坦）;曲率半径越小,曲 率越大（曲线越弯曲）3曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.例3证明曲线:x2+2xj-8j2 + 2x + 14j-3 = 0必为直线. 证明：隐函数求导2x + 2y + 2xyf-16yyf + 2 + 14yf = 0f x+v + 1y =8j-x-7“(8j-x-7)(1 + jr)-(x + j +1)(» -1)y =(8j-x-7)

6、2将/代入得n _ 9(* + 2xy 8j2 + 2x +14j 3) _y 二(8J-X-7)2二k =-r =0d+y2)1所以曲线必为直爼四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支微分几何学.III基本概念：弧微分，曲率，曲率圆. 曲线弯曲程度的描述曲率； 曲线弧的近似代替曲率圆（弧）习题3 7片751,3,4,7总习题三好804,5,6,8,10(1,2,4),11 ,13,15,17,19思考题椭圆兀=2cost些点处曲率最大?y = 3 sin/ 上哪思考题解答k_ 肿61 + (jr)22(4sin21 + 9cos21)26=3(4 + 5cosh)23要使R

7、最大，必有(4 + 5cos21)2最小, => t = -,西此时k最大，2 2练习题一、填空题：1、曲率处处为零的曲线为;曲率处处相等的曲线为2、抛物线y = x2-4x + 3在(2, -1)处的曲率为;曲率半径为3、曲线丿=ln(x + a/1+x2)在(0, 0)处的曲率为二、求曲线J = ln(secx)在点(兀)处的曲率及曲率半径.x = a cos31,.3祖f处的曲率y = asm txy2四、证明曲线ymcosh-在任何一点处曲率半径为aa五、六、曲线弧j=sinx (0<x<k)±哪一点处的曲率半 径最小？求出该点处的曲率半径 -、亠+出 曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指 豔囂亶常顶点，并求在该点处的曲率半径