向量解题技巧

1、一、怎 么 样 求 解 向 量 的 有 关 概 念 问 题掌握并理解向量的基本概念(1) .判断下列各命题是否正确(1)若a = b,b =3则3 = 5；(2)两向量ab相等的充要条件是忖=忖且a、b共线；a=|b是向量a=b的必要不充分条件；(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则aB=dC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(2) aB = cD的充要条件是A与C重合，B与D重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的 向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点； 重要结论：a

2、与b不共线，则a+b与a-b是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示 的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(xi, yi), B(x2, y2),则 AB =OB -OA =(X2, y2) (x，y)=(X2 x1，y2 y1)。例1 若向量a=(3,2),b=(0,-1)，则2b-a的坐标是 例 2 若向量 a=(1,1),b=(1,1),c = (1,2狈卜=例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3),若点C满足OC=uOA+POB,其中u,Pw R且飙+P =1 ,则点C的轨迹为()例4 O是平面上一定点，

3、A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足- AB ACOP =OA + K(牛+牛)，九WQ),贝U P的轨迹一定过AABC的()AB ACA.外心B.内心C.重心D.垂心例5设G是AABC内的一点，试证明：(1)若 G是为 MBC重心，则 GA+GB + BC=0;(2)若 GA+GB+BC =0,则 G是为 &ABC重心。三、三点共线问题的证法证明A,B,C三点共线，由共线定理(AB与AC共线),只需证明存在实数九，使AB = 7“aC, 其中必须有公共点。共线的坐标表示的充要条件，若 a = (x1, y1), b = (x2, y2),则例1已知A、B两点，P为一动点，且OP =

4、OA + tAB,其中t为一变量。例2证明：始点在同一点的向量a、b、3a_2b的终点在同一直线上例3 对于非零向量 a、b,求证：a - b a+b |a +|b四、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大 小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。例 1 已知 M(1,0), N(0,1), P(2,1),Q(1,y)且 mNpQ,求 y 的值。例2 已知点A(1,-2),若向量AB与5=(2,3)同向，AB| = 2Vi3,则B点的坐标是.例3平面内给定三向量a = (3,2),b = (1,2),C = (4

5、,1),则：(1) 求 3a+b2c; (2)求满足 3 = mb+nC的实数 m、n(3) 若(a + kb)/(2b 0),求实数 k;(4) 设d =(x, y)满足(d -C)/(a + b)且d -C =1,求d.例4(1)已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6),求 ACDB的交点，P的坐标。(2)若平行四边形ABCD勺顶点A(-1,-2), B(3,-1),C(5,6),求顶点D的坐标。五、向量的数量积的求法十果.白工口定义法： a *b = a * b cos6求数事积：1_ -、坐标法：a *b =x1x2 +y1y2当a/b时，0=0呻口 e =180两种可能。故

6、ab=ab一些重要的结论：a2=aa=|a2； (a 土b)2 = a2 2a *b+b2; (a +b)(a - b) = a2 -b2例1设a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则()其中是真命题的为()例2 已知平面上三点 A B、C,满足 AB =3, BC =4, CA =5,贝U AB BC + BC,CA+CA, AB的值等于。例3 已知向量晶口b的夹角为120且a=2, b =5,则(25-b)a=.六、如何求向量的长度形如点十四的模长求法：先平方T转化为含数量积运算 T开方，即: 例i已知向量a,b,a=|b =4,awb的夹角为6。=,则a+b =, a+b =，其中

7、b =1, 3a-2b =3,求 35 + b的值。例2设向量a,b满足a =七、如何求两向量的夹角a *bx1x2 y1y2夹角公式：cos匚a|b ：12722 y22例 1 已知 a =10, b =12，且(3a)“gb) = 46，求a,b的夹角 .例2 若可与e2是夹角为60叩勺单位向量，且5 = 24+e2,b=-3耳+2可,求a.b及a与b的夹角。八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：a_b= a*b=0= x1x2 y1y2 = 0例1若向量a,b满足a +b = 3 b ,则a与b所成的角例2在AABC中AB=(2,3), AC =(1,k),且AABC的一个内角为直角，求

8、k的值。例3已知a_L b, a =2, b =3.且。3a+2b与人a_b垂直，求 九例 4 已知 0(0,0), A(0,5),B(6,3), AD _L OB于点 D,求 D点的坐标。九、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例 1 已知 a =(4,-3), b =1,且a ,b =5,则b =?例2求与向量a =(而,-1)和b =(1,T3)的夹角相等，且模长为 “5的向量C的坐标例3若平面向量b向量a = (1,-2)的夹角是180且b =345则b =()例4已知向量b与向量a = (-3,4)垂直，且 b=15MUb=.十、线段定

9、比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点,定比分点坐标公式:重心坐标公式:X 2x 二1甘中点坐标公式:y = 1,x1 x2 x3x 二X又2x 二yy2 尸丁3y1y2y33例1设点P分有向线段PP2所成的比为-,则R分P2P所成的比为4例2已知两点P(4,-9),Q(2,3)，则PQ与y轴的交点分有向线段pQ所成的比为 .十一、利用平移公式解题点A(x, y)按向量a = (h,k)平移，得到点(x+h,y+k),而函数y = f (x)的图像按 向 量a = (h,k)平移得到的函数的解析 式为y = f (x-h) +k ,解题时

10、要注意理解图像平移前后的关系。例1已知两个点P(1,2),P(2,14)，向量a = (T12)，则:把p按向量a平移得.(2)某点按a ,得到P,求这个点坐标。(3)P按某向量平移得到P,求这个向量坐标。例2将函数y =log3(2x+1) -4的图像按向量5平移后得到的是函数y = log3(2x)的图像， 那么a的坐标是.例3将函数y =2sin 2x的图像按向量a平移，得y = 2sin(2x十二)+1的图像，则向量a的坐标3是()十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。a b c正弦止理： =2R; a=2R,sinA, b =

11、2RsinB, c = 2R,sinCsin A sin B sin C1 1 .1二角形面积公式：S2ABe = absinC = bcsin A = acsin B。2 22卜2 + 2 _ 2余弦定理： a2 =b2 c2 -2bccos A; cos A =2bc下面关系式需熟记：在&ABC中例 1 在 AABC 中，sin A:sin B:sinC =2:3:4，则/ABC =?例2已知AABC中的最大角A是最小角C的二倍，且a、b、c成等差数列，则a:b:c=例3已知a、b、c是AABC中NA/B/C的对边，a、b、c成等差数列，NB = 30*, AABC的 面积为3,那么b=。2_ r-例 4在 RtAABC 中，C = - a+b =6c,求 AB的值。22十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或