巧求最值问题八种方法

1、巧求最值问题八种方法如何求“最值 问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。一、 利用配方求最值例 1 ：若 X,y 是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999 的最 小值是分析 ： 由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。原八式=1(x2 2xy y2)1(x2 6x 9)1 (y26y 9)1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有 (x-y) 2 0, (x-3)2 0, (y-3)2 0,所以 当 x

2、-y=0,x-3=0,y-3=0 时 ， 得 x=y=3 时 , 代数式的值最小，最小是1990 ;例2,设x为实数，求y=x2x_L 3的最小值。 x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因 此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于y=x2 2x i x - 2 i= （x i） 2 （依斗）2 i,要求 y 的最小 xJx值，必须有X-仁0,且眉士 0,解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x2x - 3的最小值是-1。 x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 二的最小值x 4y分析：已知两数积为定值，

3、求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，4 414=（3） （27）-r-=1x 4y x 2（xy所以：4角的最小值是1 2 x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a、b、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a、b、c中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。解：设c为最大者，由已知可知，c0,得：a+b=2-c, ab= 4,则 a、b 可以看作 x2（2 c） x 4 0 的两cc根，因为a、b是实数，所以(2 c) 24人0,即c 7c3 4c2 4c 16 0 , (c 2)( c 2)(c 4) 0，得 c 2 或

4、 c 4,因为 C 是 最大者，所以 C 的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使X2 4 (8-x) 2-16取最小值的实数X的值 为分析：用一般方法很难求出代数式的最值，由于 X24(8 XL16二心一 0厂(02)28厂(0 4) 2，于是可构造图形，转化为：在x轴上求一点c (x,0),使它到 两点A (0, 2)和B (8, 4)的距离*和CA+CB最小，利用对称可求出C点坐标，这样，通过构造图形使问1/题迎刃而解。S /_ 1 JL L11- zg解：x24. (8 x) L16卜，2 2 - 2 2=(x 0)(0 2) (x 8)(0 4).于是构造如图所示。作 A (0, 2

5、)关于x轴的对称点A(0,-2),令直线A B的解析式为y=kx+b,0k b8k b82解得k8所以y 3x 2,令y=0,得X 3即C点的坐标是(8,0),所以当x 8时，一4寸(8 x)2l6有最小值，3 3 五、利用判别式求最值2 _例6:求y=3X*的最小值 5x x 1解：去分母可以整理出关于x的一元二次方程，(y 6)x2 (2y i2)x (2y 10)0，因为 X 为实数，所以 0得:4 x 6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例7:已知a、b、c为整数，且 a+b=2006, c- a=2005 , ab,贝 V a+b+c 的最大值为 一-(2006 年全国初中数

6、学竞赛试题)分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设 法将 其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a,c=2005+a,将其代入原式得：a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a又 a+b=2006,a、 b 均为整数，ab,所以 a 1002, 所以当a=1002时，a+b+c的最大值是4011+1002=5013.七、利用数的整除性求最值例&已知a、 b 为正整数，关于X 的方程X2 2ax b 0的两个实数根X、X2,关于y的方程y2 2ay b 0两个实数根为y?Y2, 且满足X1 y X2 y22008,求 b 的最小值。(数学周报杯2008 年全国初中数学

7、竞试题)分析与解：因为方程x2 2ax b 0 与y2 2ay b 0 有实根，所以有:(2a) 2 4b 0,即a2 b,由根与系数的关系，得：x1 x22a, x/ 2b ;y1 y2 2a,y y2 2a (x X 2) ( xj ( X 2) ym ( xj( X 2)解得 ：y1人或 y1X2y2X2y2人把yy的值分别代入，也x2 y22008X1( Xj X2( X2) 2008，或X1( 即(x1)2008 (不成立)x22x；2008 ，(X2 Xj(X2 X1)2008x1 x2 2a 0,x 1x2 b 0所以 X1 0,于是有2a -4a 2 4b 2008 即 a 一

8、 a2 b 1 502 2 251a,b 都是正整数，所以a 14 a 505 a 2a 25122或 2或 22或 2a2 b 5022a2 b 1 a2 b 251 2 a2 b 4分别解彳a 502a 2 a 2512或502 b502251 b251经检验只有：a 502 a 251符合题意.2 , 2b 5021 b 2514所以b的最小值为： b 最小值 2512 4=62997八、利用函数的增减性求最值例9 :设右、乂 2是万程2x2 4mx 2m2 3m 2 0的两个实 根,当m为何值时，X： X22有最小值，并求这个最小值。解：因为方程2x2 4mx 2m 2 3m 2 0有实根，所以 =(4m)2 82m2 3m 2) 0，角军彳得 m 24m2(2m2 3m 2) =2(m由根与系数的关系得 于x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2x-i x22m, X”|X22m2 3