成功学校初三数学竞赛试题(决赛)

1、2007年4月13日（时间：120分钟 满分：120分）、选择题（每小题 5分，共30分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油 .舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里.这时，设咖啡杯里的奶油量为a,奶油杯里的咖啡量为b,那么a和b的大小为（2.3.4.5.6.B. a <bC. a = b若 a = V20072 + 20072 M 20082 + 20082 ,则关于A.是正整数，而且是偶数C.不是正整数，而是无理数B,是正整数, D.无法确定方程（x2 +x 1）x书=1的所有整数解的个数是（如图，直线11：（T, 2）在（A.第一部分D.与勺子大小有关a的说法正

2、确的是（而且是奇数B, 4个y = x +1与直线12：）B.第二部分方程| x -3 | +3x尸1的解的个数是（B, 2个第4题C. 3个1D, 2个y = -x -把平面直角坐标系分成四个部分，点2C.第三部分D.第四部分C. 3个D, 4个如图,=8,点P为弦PB = 2,则AB上的一点。PC的长是（连接于C.若APOP。过点二、填空题（每小题7.已知已知a、b是8. 2V2C. 5D.无法确定5分，共30分）2二次方程x222x1=0的两个根，则代数式 3a +2b -3a-2b的值等于8.1- 2 1b 已知ba=, 2a +a=，则一 a的值为 84 a9.如图，在平面直角坐标系

3、内放置一个直角梯形AOCD,已知 AD = 3, AO = 8, OC = 5,若点P在梯形内且 SA PAD = SaPOC, S PAO = Sa PCD , 那么点P的坐标是10 .如图，正方形 ABCD和正方形 CGEF的边长分别是 2和3,且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结 MF ,则MF的长为 .8第9题第10题11 .军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc,七进位制表示为cba那么苹果的总数用十进位制表示为.一2._、一 一 一一12 .右二次函数y =ax +bx+c(a #0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0, 1)和(1, 0).则

4、S =a+b+c的值的变化范围是、解答题(每小题 15分，共60分)13 .已知A港在B港的上游，小船于凌晨 3: 00从A港出发开往B港，到达后立即返回,来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为 米/小时，在当晚23: 00时，有人看见小船在距离 个港口之间的距离.16千米/小时，水流速度为A港80千米处行驶.求 A、14 .如图，Rt ABC的内切圆。O和斜边BC的切点为T,求证：BT TC=Shabc.2X2,15.已知：关于x的万程x -(m+2 )x+m-2 = 0有两个符号不同的实数根 x1,一、 一 2 一 一， ,2 一 一. 且x1 >x2 >0；关于x的万

5、程 mx +(n - 2)x + m -3 = 0有两个有理数根且两根之积等于2.求整数n的值.2-216.已知二次函数 y =x +2mxn .(1)若此二次函数的图象经过点(1, 1),且记m, n+4两数中较大者为 P,试求P 的最小值.参考答案一、选择题2）若m， n 变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标1. C 2. B 3. B 4. B 5. B 6. A二、填空题3J7 c、2c7. 58. 9.（,3）10.11. 220 12. 0v Sv 2282三、解答题13 .设两

6、港口之间距离为 S,则S >80 .233=20 （小时）.则小船行驶AB间一周的时间不小于里+9=102 （小时）.16 4 16 -43 小船为行驶一周后，由再出行80千米或还差80千米.行驶一周，又或还差80千米行驶 2周. （5分）（1）第一种情况：SS80 一 一，八一十=20 1 S =120 （千米）. （8分）20 1220（2）情况二S S -80 一 -一 八 +=20,，S =200 （千米） （11 分）2012（3）情况三2S 2S-80 +=20，二 S =100 （千米）. （14 分）2012综上所述，A、B两港口之间的距离可能是 100千米或120千米或

7、200千米.（15分）14 .证明：如图，设 AB切。O于E, AC切。于F,连结 OE、OF、OT .。0为4ABC的内切圆，切点分别为 T、E、F, .BT=BE、AE = AF、CF = CTBT= 1( BC+ BA-AC) , CT= 1( CA+CB-AB), 22-1- BT CT BC (BA-AC) BC -(BA -CA)4B= 1BC2 -(BA -AC)2 =1BC2 -(AB2 AC2 -2AB AC) 44BC2 =AB2 +AC2, 1BT CT =1AB AC =S&BC .15.由方程知：x1 x2 <0 , x1 > x2 >0 x

8、1 >0, x2 <0 (3 分)1''= (m-22+8>0 ，x1+x2 = m + 2 a 0 x1 x2 = m-2<02<m<2 (6 分)由方程知：m -32=2 m -2m -3 =0. . m = 3 （舍去），m = -1 （8 分） m代入得：x2 -（n -2）x 2 =0方程的两根为有理数，（n-2 ） 8=k2,其中k为正整数，2. 2-n-2 - k =8即（n2+k J（n-2-k ）=8. （11 分）因为n, k均为整数，所以n 2+k与n 2-k的奇偶性相同，且 n2+k>n2k,n -2 k -4-

9、 n-2 k -2i或n -2 -k =2 n-2 -k - -41- n =5或 n = -1 （15 分）216 （1）由过点（1, 1）得到：m =.2要比较m, n +4的的大小，即：n21 21m -（n 4）-（n 4） （n -2n -8） = 2（n -4）（n 2）22- 2 （n < 一2 或 n 至 4）P = « 2 （5 分）n +4 （-2 < n < 4）如图所示，当n = -2时，Pmin = 2. （8分）（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A （x1，0）, B（X2, 0）,2、C （0, n ）.又x1x2=n2,若n= 0,则与三个交