学案7空间向量在立体几何中的应用

1、空间空间向量向量在立在立体几体几何中何中的应的应用用1.理解直线的方向向量和平面的法向量理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系平面与平面的垂直关系、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理的一些定理.4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用法在研究立体几何问题中的应用. 从近两年

2、的高考看，利用空间向量证明平行与垂从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预预计计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力和运算能力. 1. 1.平面的法向量平面的法向量 直

3、线直线l，取直线，取直线l的的 ，则，则 叫叫做平面做平面的法向量的法向量. 2.直线直线l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向的法向量量v=(a2,b2,c2),则则l . 方向向量方向向量a 向量向量a uv=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 3.设直线设直线l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法的法向量向量v=(a2,b2,c2),则则l . 若平面若平面的法向量的法向量u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向量的法向量v=(a2,b2,c2)，则，则 . 4. 4.空间的角空间的角 (1)若异面直线若异面直线l1和和l2的

4、方向向量分别为的方向向量分别为u1和和u2，l1与与l2所成的角为所成的角为，则，则cos= . uv (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 uv=0 uv a1a2+b1b2+c1c2=0 |cos| (2)已知直线已知直线l的方向向量为的方向向量为v,平面平面的法向量为的法向量为u,l与与的的夹角为夹角为，则，则sin= . (3)已知二面角已知二面角l的两个面的两个面和和的法向量分别为的法向量分别为v,u,则则与该二面角与该二面角 . 5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内一个点到它在一个平面内 的距离，叫做的距离，叫做点到这个平面

5、的距离点到这个平面的距离. (2)已知直线已知直线l平行平面平行平面，则，则l上任一点到上任一点到的距离的距离都都 ，且叫做，且叫做l到到的距离的距离. |cos| 相等或互补相等或互补 正射影正射影 相等相等 (3)和两个平行平面同时和两个平行平面同时 的直线，叫做两的直线，叫做两个平面的公垂线个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的个平面的 .两平行平面的任两条公垂线段的长两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的都相等，公垂线段的 叫做两平行平面的距离，叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离也是一个平面内任一

6、点到另一个平面的距离. (4)若平面若平面的一个的一个 为为m，P是是外一外一点，点，A是是内任一点，则点内任一点，则点P到到的距离的距离d= .垂直垂直 公垂线段公垂线段 长度长度 法向量法向量 | |m m| | | |PAmPAm| |如图在多面体如图在多面体ABCDEF中，四边形中，四边形ABCD是正方形，是正方形，EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90，BF=FC,H为为BC的中点的中点.(1)求证：求证：FH平面平面EDB;(2)求证：求证：AC平面平面EDB.【证明【证明】四边形四边形ABCD为正方形为正方形,ABBC.又又EFAB,EFBC.又又EFFB,EF平面平面B

7、FC.EFFH,ABFH.又又BF=FC,H为为BC的中点的中点,FHBC.FH平面平面ABC.以以H为坐标原点，为坐标原点，HB为为x轴正方向，轴正方向，HF为为z轴正方向，轴正方向，建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系.设设BH=1,则则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明. (1)设设AC与与BD的交点为的交点为G，连接，连接EG,GH,则则G(0,-1,0),GE=(0,0,1).又又HF=(0,0,1),HFGE.又又G

8、E平面平面EDB,HF平面平面EDB,FH平面平面EBD. (2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC GE=0,ACGE.又又ACBD,EGBD=G,AC平面平面EDB. 利用直线的方向向量和平面的法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的平行和垂直.如图，如图，ABEDFCABEDFC为多面体，平面为多面体，平面ABEDABED与平面与平面ACFDACFD垂直，点垂直，点O O在线段在线段ADAD上，上，OA=1OA=1，OD=2OD=2，OABOAB，OACOAC，ODEODE

9、，ODFODF都是正三角形都是正三角形. . （1 1）证明：直线）证明：直线BCEFBCEF；（2 2）求棱锥）求棱锥F FOBEDOBED的体积的体积. . 【解析】【解析】 根据条件建立空间直角坐标系，利用向量坐标根据条件建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明、求解运算证明、求解.如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥PABC中，中，PA平面平面ABC,ABAC,PA=AC= AB，N为为AB上上一点，一点，AB=4AN,M,S分别为分别为PB,BC的中点的中点.(1)证明：证明：CMSN;(2)求求SN与平面与平面CMN所成角的大小所成角的大小.21 【解析】【解析】(1)证明证明:设设P

10、A=1,以以A为原点为原点,AB,AC,AP所所在直线分别为在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所轴正向建立空间直角坐标系如图所示示,则则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M（1,0, ）,N（ ,0,0）,S（1, ,0）.所以所以CM=（1,-1, ）,SN=（- ,- ,0）.因为因为CMSN=- + +0=0,所以所以CMSN.2121212121212121(2)NC=（- ,1,0）,设设a=(x,y,z)为平面为平面CMN的一个法向量，的一个法向量， a5CM=0 a NC=0, x-y+ z=0 - x+y=0，因为因为|cos|=所以所以SN

11、与平面与平面CMN所成角为所成角为45.2222321121则则即即 2121令令x=2,得得a=(2,1,-2). （1）本题考查异面直线垂直、线面角的求）本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角坐标系的建立等知识，重点考查了在空法、空间直角坐标系的建立等知识，重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法，同时考查空间想象间直角坐标系中点的坐标的求法，同时考查空间想象能力和推理运算能力，难度适中能力和推理运算能力，难度适中. （2）利用向量法求线面角的方法）利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方

12、向向量的夹角（或其补角）；二量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角所成的角.【解析】【解析】如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E,F分别在线段分别在线段AB,AD上，上，AE=EB=AF= FD=4.沿直线沿直线EF将将AEF翻折成翻折成AEF，使平面使平面AEF平面平面BEF.(1)求二面角求二面角AFDC的余弦值；的余弦值；(2)点点M,N分别在线段分别在线段FD,BC上，若沿直线上

13、，若沿直线MN将将四边形四边形MNCD向上翻折，使向上翻折，使C与与A重合，求线段重合，求线段FM的长的长.32 【分析【分析】（1）建立空间直角坐标系后，求两个面）建立空间直角坐标系后，求两个面的法向量所成的角的法向量所成的角.（2）用待定系数法求解）用待定系数法求解. 【解析【解析】（1）取线段）取线段EF的中点的中点H，连接，连接AH.AE=AF及及H是是EF的中点，的中点，AHEF.又又平面平面AEF平面平面BEF,AH 平面平面AEF,AH平面平面BEF.如图如图,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Axyz,则则A(2,2,2 ),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0

14、,0).故故FA=(-2,2,2 ),FD=(6,0,0).设设n=(x,y,z)为平面为平面AFD的一个法向量的一个法向量,nFA=0,nFD=0, -2x+2y+22z=0 6x=0.取取z= ,则则n=(0,-2, ).又平面又平面BEF的一个法向量的一个法向量m=(0,0,1),故故cos=二面角二面角AFDC的余弦值为的余弦值为 .33|m|n|nm322222(2)设设FM=x，则，则M(4+x,0,0).翻折后翻折后C与与A重合，重合，CM=AM，故故(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2 )2,得得x= ,经检验，此时点经检验，此时点N在直线在直线BC上上.FM=

15、 .4212421 利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法： 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为设二面角的两个面的法向量分别为n1和和n2，则二面角的，则二面角的大小等于大小等于（或（或-). 注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图注意：利用空间向量方法求二面角时，注意

16、结合图形判断二面角是锐角还是钝角形判断二面角是锐角还是钝角.【解析【解析】 如图，如图，BCD与与MCD都是边长为都是边长为2的正三角形，的正三角形，平面平面MCD平面平面BCD,AB平面平面BCD,AB=2 .（1）求点）求点A到平面到平面MBC的距离；的距离；（2）求平面）求平面ACM与平面与平面BCD所成二面角的正弦值所成二面角的正弦值. 【分析】【分析】建立坐标系后，代入点到平面的距离公式，建立坐标系后，代入点到平面的距离公式，可求点可求点A到平面到平面MBC的距离的距离.3 3 【解析【解析】取取CD中点中点O，连接，连接OB,OM,则则OBCD,OMCD.又平面又平面MCD平面平面

17、BCD,所以所以MO平面平面BCD.取取O为原点，直线为原点，直线OC,BO,OM为为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立空间直轴，建立空间直角坐标系如图角坐标系如图.OB=OM= ,则各点坐标分别为则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0, ),B(0,- ,0),A(0,- ,2 ).(1)设设n=(x,y,z)是平面是平面MBC的法向量，则的法向量，则BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).由由nBC得得x+ y=0;由由nBM得得 y+ z=0.取取n=( ,-1,1),BA=(0,0,2 )，则，则d=3 333 33 333 33 33 35152532nnBA(2)CM=(-1,0, ),CA=(-1,- ,2 ).设平面设平面ACM的法向量为的法向量为n1=(x1,y1,z1),由由n1CM,n1CA- x1+3z1=0 -x1-3y1+2 z1=0,解得解得x1=3z1,y1=z1,取取n1=( ,1,1).又平面又平面BCD的法向量为的法向量为n2=(0,0,1),所以所以cos=设所求二面角为设所求二面角为，则，则sin= .故所求