数学选修2-2数系的扩充和复数的引入ppt课件

1、第三章 阶段复习课 一、数系的扩展和复数的概念一、数系的扩展和复数的概念1.1.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数叫做复数，通常记为的数叫做复数，通常记为z=a+bi(z=a+bi(复数的代复数的代数方式数方式) )，其中，其中i i叫虚数单位叫虚数单位(i2=-1)(i2=-1)，a a叫实部，叫实部，b b叫虚部，数叫虚部，数集集C=a+bi|a,bRC=a+bi|a,bR叫做复数集叫做复数集. .2.2.复数的分类复数的分类(1) (1) (2)(2)集合表示集合表示: :(b0)zabi(a0)b0(a0)实数 复数非纯虚数虚数 纯虚数3.3.复数

2、相等的充要条件复数相等的充要条件a+bia+bi与与c+dic+di相等的充要条件是相等的充要条件是a=ca=c且且b=d(a,b,c,dR).b=d(a,b,c,dR).4.4.复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x.x轴叫做实轴，轴叫做实轴，y y轴叫做虚轴轴叫做虚轴. .实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. .5.5.复数的几何意义复数的几何意义(1)(1)复数复数z=a+bi z=a+bi 复平面

3、内的点复平面内的点Z(a,b)(a,bR);Z(a,b)(a,bR);(2)(2)复数复数z=a+bi z=a+bi 平面向量平面向量 (a,bR). (a,bR).6.6.复数的模复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z=a+biz=a+bi的模，记作的模，记作|z|z|或或|a+bi|a+bi|，即即|z|=|a+bi|=r= (r0,rR|z|=|a+bi|=r= (r0,rR，a,bR). a,bR). 一一对应 一一对应OZ OZ 22ab【辨析】【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量复数、复平面内的点、复平面内的向量 恣意一个复数都可以由它的实部和虚部独一确定，当把实

4、恣意一个复数都可以由它的实部和虚部独一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是一致的复平面内的点、复平面内的向量是一致的. . 二、复数代数方式的四那么运算二、复数代数方式的四那么运算1.1.复数的运算复数的运算(1)(1)复数的加、减、乘、除运算法那么复数的加、减、乘、除运算法那么. .设设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),z1=a+bi,z2=c+di(a,

5、b,c,dR),那么那么加法加法z z1 1+ z+ z2 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法减法z z1 1- z- z2 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法乘法z z1 1 z z2 2=(a+bi)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法除法1222abicdiacbd(bcad)izabi(cdi0)zcdicdicdicd(2)(2)对复数运算法那么的认识对

6、复数运算法那么的认识. .复数代数方式的加减运算，其运算法那么是对它们的实部与复数代数方式的加减运算，其运算法那么是对它们的实部与虚部分别进展加减运算，在运算过程中应留意分清每一个复数虚部分别进展加减运算，在运算过程中应留意分清每一个复数的实部与虚部的实部与虚部. .复数加法法那么的合理性复数加法法那么的合理性: :()()当当b=0,d=0b=0,d=0时，与实数加法法那么一致时，与实数加法法那么一致. .()()加法交换律和结合律在复数集中仍成立加法交换律和结合律在复数集中仍成立. .()()符合向量加法的平行四边形法那么符合向量加法的平行四边形法那么. .(3)(3)复数满足的运算律复数

7、满足的运算律: :复数的加法满足交换律、结合律，即对恣意复数的加法满足交换律、结合律，即对恣意z1z1，z2z2，z3Cz3C，有，有z1+z2=z2+z1z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对恣意恣意z1z1，z2z2，z3Cz3C，有，有z1z2=z2z1,z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. z1(z2+z3)=z

8、1z2+z1z3. (4)(4)复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义. .复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进展复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进展( (满足平行四边形、三角形法那么满足平行四边形、三角形法那么).).复数的减法运算也可以按向量的减法来进展复数的减法运算也可以按向量的减法来进展. .2 2几个重要的结论几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z =|z|2=| |2.(2)z =|z|2=| |2.(3)(3)假设假设

9、z z为虚数，那么为虚数，那么|z|2z2.|z|2z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN* *. .zz3.3.共轭复数的性质共轭复数的性质复数复数z=a+biz=a+bi的共轭复数的共轭复数 =a-bi. =a-bi.(1)z R.(1)z R.(2) =z.(2) =z.(3)(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，假设任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，假设z= z= 那么那么z z是实数是实数. .(4)(4)共轭复数对应的点关于实轴对称共轭复数对应的点关于实轴对称.

10、 .4.4.巧用向量解复数问题巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算复数的加减运算可转化为向量的加减运算. . zz，zz 请他根据下面的体系图快速回想本章内容，从备选答案中请他根据下面的体系图快速回想本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出明晰的知识网络选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出明晰的知识网络吧吧. .一、复数的概念与分类一、复数的概念与分类 形如形如a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)的数，称为复数，一切复数构成的集合的数，称为复数，一切复数构成的集合称复数集，通常用称复数集，通常用C C来表示来表示. . 设设z=a+bi(a,bR

11、)z=a+bi(a,bR)，那么，那么(1)z(1)z是虚数是虚数b0b0；(2)z(2)z是纯虚数是纯虚数 ；(3)z(3)z是实数是实数b=0.b=0.a0b0【例【例1 1】(2019(2019无锡高二检测无锡高二检测) )知复数知复数z=m(m+1)+mi,iz=m(m+1)+mi,i为虚数单为虚数单位，位，mR.mR.(1)(1)当复数当复数z z为纯虚数时，求为纯虚数时，求m m的值；的值；(2)(2)当复数当复数z z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求求m m的值；的值；(3)(3)假设假设(1+i)z=1+3i(1+i

12、)z=1+3i，求，求|z|.|z|.【解析】【解析】(1)(1)由题意得由题意得 m=-1m=-1，当当m=-1m=-1时，时， z z是纯虚数是纯虚数. .(2)(2)由题意得由题意得m2+m=-mm2+m=-m，解得，解得m=0m=0或或m=-2.m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|, |z|= |z|=|(1+i)z|=|1+3i|, |z|= |z|=m m10m0210,5.二、复数的四那么运算二、复数的四那么运算 复数加减乘除运算的本质是实数的加减乘除复数加减乘除运算的本质是实数的加减乘除, ,加减法是对应加减法是对

13、应实部、虚部相加减实部、虚部相加减, ,而乘法类比多项式乘法而乘法类比多项式乘法, ,除法类比根式的分除法类比根式的分母有理化母有理化, ,要留意要留意i2=-1i2=-1，i4n+1=ii4n+1=i，i4n+2=-1i4n+2=-1，i4n+3=-ii4n+3=-i，i4n=1i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i, =i.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i, =-i, =i.1 i1 i1 i1 i【例【例2 2】计算】计算:(1):(1)(2)(2)【解析】【解析】(1)(1)原式原式= =(2)(2)原式原式21612i1 i();1 i22 01285

14、02i( 22i)() .1 i51i.2224 50342522i2 1 i1 i42525214i()1256i257i.2i 【例【例3 3】知复数】知复数z z z zai(aR)ai(aR)，当当| | | | 时，求时，求a a的取值范围的取值范围1 3i 1i1 3ii ，z2【解析】【解析】z zaiai1 1i iaiai1 1(a(a1)i,1)i,a2a22a2a2020，11 a1 a1故故a a的取值范围是的取值范围是1 1 1 1 1 3i 1 i1 3i2 4i1 3izii 1a 1 i1a 1 i1 i2aai.z1 i22 222aa2z2，33，3，3i

15、1 i1 i1 i.i1三、复数的几何意义及数形结合思想的运用三、复数的几何意义及数形结合思想的运用 复数复数z=a+bi(a,bR)z=a+bi(a,bR)和复平面上的点和复平面上的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应，和一一对应，和向量向量 一一对应，复数一一对应，复数z z对应的点所在象限由对应的点所在象限由z z的实部和虚部的的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是处理此类问题的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是处理此类问题的关键关键. .复数的几何意义为数形结合处理复数问题提供了条件，灵复数的几何意义为数形结合处理复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可到达事半功

16、倍的效果活运用数形结合思想可到达事半功倍的效果. .运用数形结合的思想运用数形结合的思想, ,发掘标题中知识的多功能要素发掘标题中知识的多功能要素, ,使问题出使问题出奇制胜地得到处理奇制胜地得到处理. .OZ 【例【例4 4】知复数】知复数z z满足满足z-3-4iz-3-4i=2=2，那么，那么z z的最大值的最大值为为_._.【解析】【解析】z-3-4iz-3-4i=2=2表示复平面内动点表示复平面内动点Z Z的轨迹是以点的轨迹是以点(3(3，4)4)为圆心，以为圆心，以2 2为半径的圆，所以为半径的圆，所以z zmax=5+2=7.max=5+2=7.答案：答案：7 7【例【例5 5】

17、知】知z z是复数，是复数，z+2iz+2i， 均为实数均为实数 (i (i为虚数单位为虚数单位) )，且，且复数复数(z+ai)2(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，务虚数在复平面上对应的点在第一象限，务虚数a a的取值的取值范围范围. .【解析】设【解析】设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)，那么，那么z+2i=x+(y+2)i,z+2i=x+(y+2)i,由题意知由题意知 z=4-2i. z=4-2i.z2izxyi111xyi2i2xy2yx i.2i2i555y2012yx0,5，x4,y2 ，(z+ai)2=(z+ai)2=4+(a-2)i4+(a-2)i2

18、2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由知得由知得 2a62a6，实数实数a a的取值范围是的取值范围是(2,6).(2,6).2124aa08 a20，四、复数的模与共轭复数四、复数的模与共轭复数 假设假设z=a+bi(a,bR),z=a+bi(a,bR),那么那么 =a-bi =a-bi称为称为z z的共轭复数，复数的模的共轭复数，复数的模与复数的代数方式严密相关，复数模的计算也可以转化为复数与复数的代数方式严密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：的乘积，即：z =|z|2.z =|z|2.zz【例【例6 6】使复数为实数的充分而不用要

19、条件是】使复数为实数的充分而不用要条件是( )( )(A)z= (B)|z|=z(A)z= (B)|z|=z(C)z2(C)z2为实数为实数 (D)z+ (D)z+ 为实数为实数【解析】选【解析】选B.z= B.z= zRzR；|z|=z|z|=zzRzR，反之不行，如，反之不行，如z=-2z=-2；z2z2为实数不能推出为实数不能推出zRzR，如，如z=iz=i；对于恣意；对于恣意z z，z+ z+ 都是实数都是实数. .zzzz【例【例7 7】知】知 z2=(x2+a)i z2=(x2+a)i，对于恣意，对于恣意xRxR，均有均有|z1|z1|z2|z2|成立，试务虚数成立，试务虚数a a

20、的取值范围的取值范围【解析】【解析】|z1|z1|z2|z2|，x4+x2+1x4+x2+1(x2+a)2(x2+a)2，(1-2a)x2+(1-a2)(1-2a)x2+(1-a2)0 0对对xRxR恒成立恒成立当当1-2a=01-2a=0，即，即a= a= 时，不等式成立；时，不等式成立；当当1-2a01-2a0时，时， -1-1a a综上，综上，a(-1, a(-1, 221zxx1 i，12212a0,4 12a1 a01212，五、复数中的轨迹问题五、复数中的轨迹问题 经过引入参变量架起知通向未知的桥梁经过引入参变量架起知通向未知的桥梁, ,这样这样, ,把问题转化把问题转化为对参变量

21、的讨论为对参变量的讨论. .这种方法运用的巧妙这种方法运用的巧妙, ,可以到达化难为易、可以到达化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为知的效果化繁为简、化生为熟、化未知为知的效果. .【例【例8 8】知复数】知复数z11,z11,且且 是纯虚数，复数是纯虚数，复数求复数求复数z z在复平面内对应的点的轨迹在复平面内对应的点的轨迹. .【解析】设【解析】设 =bi(bR,b0), =bi(bR,b0),那么那么z1= -1z1= -1，z= =(1-bi)2=1-b2-2bi.z= =(1-bi)2=1-b2-2bi.设设z=x+yi(x,yR),z=x+yi(x,yR),得得 消去消去b b得

22、，得，y2=-4(x-1)(x1),y2=-4(x-1)(x1),即复数即复数z z对应的点的轨迹为抛物线对应的点的轨迹为抛物线( (除去顶点除去顶点).).11z1z1214z1z，11z1z121bi2141z2x1b ,y2b ，【例【例9 9】知】知z=t+3+3 iz=t+3+3 i，其中，其中tCtC，且，且 为纯虚数为纯虚数(1)(1)求求t t的对应点的轨迹；的对应点的轨迹；(2)(2)求求|z|z|的最大值和最小值的最大值和最小值3t3t3【解析】【解析】(1)(1)设设t=x+yi(x,yR)t=x+yi(x,yR)，那么那么 为纯虚数，为纯虚数， 即即tt的对应点的轨迹是

23、以原点为圆心，的对应点的轨迹是以原点为圆心，3 3为半径的圆，为半径的圆，并除去并除去(-3,0)(3,0)(-3,0)(3,0)两点两点. . 222222xy96yi x3yix3yit3x3yit3x3yix3yx3y ，t3t322xy90,y0,22xy9,y0,(2)(2)由由t t的轨迹可知，的轨迹可知，|t|=3|t|=3，|z-(3+3 i)|=3|z-(3+3 i)|=3，圆心对应，圆心对应3+3 i3+3 i，半径为，半径为3 3，|z|z|的最大值为的最大值为|3+3 i|+3=9|3+3 i|+3=9，|z|z|的最小值为的最小值为|3+3 i|-3=3|3+3 i|

24、-3=333331.(20191.(2019浙江高考浙江高考) )知知i i是虚数单位是虚数单位, ,那么那么 =( ) =( )(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i(A)1-2i (B)2-i (C)2+i (D)1+2i【解析】选【解析】选D.D.3i1 i3i 1i3i24i12i.1 i22 2.2.知知|z|z|3 3，且，且z z3i3i是纯虚数，那么是纯虚数，那么z z( )( )(A)(A)3i (B)3i (C)3i (B)3i (C)3i (D)4i3i (D)4i【解析】选【解析】选B.B.令令z za abi(abi(a，bR)bR)，那么，那么a2a2b2b29,9,又又z z3i3ia a(3(3b)ib)i是纯虚数，是纯虚数，由得由得a a0 0，b b3 3，zz3i3i，故应选，故应选B.B.a0 b30 ，3.3.复数复数z zx xyi(xyi(x，yR)yR)满足满足|z|z4i|4i|z|z2|2|，那么，那么2x2x4y4y的最小值为的最小值为( )( )(A)2 (B)4 (C)4 (D)8(A)2 (B)4 (C)4 (D)8【解析】选【解析】选C.|zC.|z4i|4i|z|z2|