第128020号圆心角(1)

1、 圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB，A AO OB B 过点过点O作弦作弦AB的垂线的垂线, 垂足垂足为为M,OABM 顶点在圆心的角顶点在圆心的角,叫叫圆心角圆心角，如如 , A AO OB B所对的弦为所对的弦为AB；图图1 OM是唯一的。是唯一的。 则垂线段则垂线段OM的长度的长度,即圆即圆心到弦的距离，叫心到弦的距离，叫弦心距弦心距 , 图图1中，中，OM为为AB弦的弦心距。弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。2、下列图中弦心距做对了的是（ ） 由上分析，任意给圆心角，对应出现由上分析，任意给圆心角，对应出现四个量：四个量：圆心角圆心角弧弧弦弦 弦心距弦

2、心距 圆心角圆心角弧弧之间的关系之间的关系弦弦 弦心距弦心距课题猜猜 想：想：?,BOAAOB.2 情况又如何若 图 2 也就是在也就是在 图图2 中研究不同的圆中研究不同的圆心角心角 、 ，以及它们，以及它们所对的弧所对的弧 , 弦弦 , 弦的弦心距弦的弦心距 OM、 之间的关之间的关系。系。B BO OA AB BA AA AB B、AOBAOBMMO OB BA AA AB B、.MOOM,BAABBAAB,BOAAOB1. ，则若?圆的旋转不变性：圆的旋转不变性： 圆绕圆心旋转任意角圆绕圆心旋转任意角，都能，都能够与原来的圆重合。够与原来的圆重合。 注：注： =180O 旋转，旋转，说

3、明圆是以圆心为对称中说明圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。心的中心对称图形。图图 31 . 射线射线OB与射线与射线OB重合吗重合吗?为什么为什么?2 . 点点A与与A ，点，点B与与B 重合吗？重合吗？ 为什么？为什么？4 . OM 与与OM 呢？为什么？呢？为什么？ 于是，若于是，若AOB = AOB ，则则 AB=AB , AB= AB , OM=OM .3 . AB与与A B ,弦弦AB与弦与弦A B重合吗？为什么？重合吗？为什么？将将AOB连同连同AB绕圆心绕圆心O旋转，旋转，使射线使射线OA与射线与射线OA 重合重合 , 则：则：图图 4 如图，如图， O 和和 O 是等圆，是等

4、圆，如果如果 AOB= AOB 那么那么 AB=AB 、AB= AB 、OM=OM,为什么？为什么？?圆心角定理圆心角定理 : : 在同圆或等圆中，相等的圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。距相等。已知：如图已知：如图5, AOB = AOB , OM、OM 分别是弦分别是弦 AB、弦、弦 AB 的弦心距的弦心距.求证：求证： AB=AB , AB= AB , OM=OM 证明：证明：将将AOB连同连同AB绕圆心绕圆心O旋转，旋转， 使射线使射线OA与射线与射线OA 重合重合 .又根据弦心距的唯一性，得

5、又根据弦心距的唯一性，得OM=OM图图 5 BAAB,BAABBB,AABOOB,AOOABOOB 重合 与 合 重 与重合 与BOAAOB 另外，对于等圆的情况另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。命题成立。条件条件结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果圆心角相等如果圆心角相等那么那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦相等圆心角所对的弦的弦心距相等圆心角所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦相等如果弦相等那么那么弦所对的圆心角相等弦

6、所对的圆心角相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦所对的弧（指劣弧）相等弦的弦心距相等弦的弦心距相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弦心距相等如果弦心距相等那么那么弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的圆心角相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弧相等弦心距所对应的弦相等弦心距所对应的弦相等在同圆或等圆中在同圆或等圆中如果弧相等如果弧相等那么那么弧所对的圆心角相等弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等弧所对的弦的弦心距相等推论：推论：(圆心角定理的逆定理圆心角定理的逆定理) 在同圆或等圆中，如果两个圆心在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦角、两条弧、

7、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。对应的其余的各组量都分别相等。例例1 如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在圆外，点在圆外，以以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。求证：求证：AB=CD分析：分析： 联想到联想到“角平分线的性质角平分线的性质”，作弦心距，作弦心距OM、ON， 证明证明: 作作 , 垂足分别为垂足分别为M 、 N 。C CD DO ON N , , A AB BO OMMCDCDONONABABOMOMNPONPOMPOMPOOM=ONAB=CD.PABECMNDF要证要证AB=CD ，只需证，只需证OM=ONO.PBEDFOAC.如图，如图，P点在圆上，点在圆上，PB=PD吗？吗？ P点在圆内，点在圆内，AB=CD吗？吗？思考：思考：PBEMNDFOMN猜猜 想：想：?,BOAAOB.2 情况又如何若 图 2 也就是在也就是在 图图2 中研究不同的圆中研究不同的圆心角心角 、 ，以及它们，以