二维射影变换的不变元

1、高等几何课程论文二维射影变换的不变元姓名：学号：学院：专业：2016年5月27日二维射影变换的不变元摘 要本文主要是研究二维射影变换中的不变元的求法以及性质.基于平面射影几何中二维射影变换不变元素的存在性，利用线性代数的方法，讨论研究了射影平面中不变元素的求法.此外，根据系数矩阵特征值的不同情况，分类讨论特征值的重数与不变元的关系以及不变点和不变直线之间的关系.关键词 射影变换 不变元 不变点 不变直线 特征值一、不变元1.1定义经射影变换后认为它自身的元素，称为射影变换的不变元（亦称固定元素）.经射影变换后保持不变的点，称为不变点（或固定点）；经射影变换后保持不变的直线，称为不变直线. 1.

2、2分类二、不变元求法下面讨论不变点和不变直线的求法.2.1不变点设点是射影变换, （1）的不变点，则与其对应点重合，有（为比例因子），即代入（1）式，并令得 （2）由于是点的齐次坐标，不能同时为0，故齐次线性方程组 （2）关于有非零解的充要条件是 （3）将方程组（3）的特征根带入方程组（2），解方程组，即可得到相应的不变点.2.2不变直线再求由射影变换（1）式的不变直线。由（1）诱导的直线变换为. 设是不变直线，则有（为比例因子），即 代入，并另，得 （4）由于是直线的齐次坐标，不能同时为零.故齐次线性方程组（4）关于有非零解的充要条件是 （5）注意到上式可由式（3）行列交换而得，故它们具有相

3、同的特征根，将每一个特征根代入式（4），求其非零解即得相应的不变直线.三、二维射影变换不变元与特征根的关系特征行列式（3）是一个关于的三次方程，它的三个特征根有如下三种情况：(1) 3个互异单根；(2) 1个单重根和1个二重根；(3) 1个三重根.不变元的个数与根的情况直接相关. 判断与某一特征根所对应的是不变点（不变直线）还是不变点列（不变线束）,只要将特征根代入特征方程（2）的系数矩阵来决定. （6）（1） 当系数矩阵的秩为2,则可得一个不变点(不变直线).（2） 当系数矩阵的秩等于1,则可得一个不变点列（线束）.3.1系数矩阵特征方程有3个互异单根.当特征行列式（3）有三个互异单根时,对

4、于每个特征根,由方程组（2）可求出与之对应的一个不变点,则有三个不同的不变点,设为p1, p2, p3;对偶地,由不变直线方程组（4）可求得三条不变直线,设为l1, l2, l3.这三个不变点与三条不变直线之间有如下关系：由p1, p2为不变点,得直线p1 p2 必是一条不变直线（过两点的直线惟一确定）,故经过射影变换后直线p1 p2的对应仍是直线p1 p2 . 同理： p3 p2 、 p3 p1也是不变直线.因此,把特征根代入不变直线方程（4）中求出的三条直线l1, l2, l3就是直线p1 p2、 p3 p2、 p3 p1.例3.1 求射影变换的不变元.解：由特征方程得.将代入得到不变点坐

5、标分别为（0，0，1），（1，6，5），（1，1，0）.将分别代入得到不变直线坐标分别为1，-1，1，1，-1，0，6，-1，0，即这3条直线恰好是三个不变点两两的连线，因为两个不变点连线所在直线必是不变直线.3.2特征根为一个单根及一个二重根的情况当特征行列式（3）有一个单根和一个二重根时,对应于单根的必是一个不变点(不变直线),但对于二重根却有两种情况：可能得到一个不变点（二重直线），也可能得到一个不变点列（不变线束）,这主要是由由系数矩阵（6）的秩来决定.3.2.1系数矩阵的秩为2如果对应于单根的不变点为p1,对应于二重根（系数矩阵（6）的秩为2）的另一不变点为p2,这时点p1, p2的

6、连线必是两条不变直线l1, l2中的一条,而另一条不变直线必过这两个不变点中的某一点.对偶地,两条不变直线l1, l2的交点一定是p1, p2中的某一点,而且另一点也必定在此两条直线中的某一条上.因此只要把特征根代入求不变点和不变直线的方程组（2）,（4）中,就可以得到不变点和不变直线.例3.2.1 求射影变换 的不变元素解：由特征行列式得特征根（2是二重根）µ1=3对应一个不变点p1,把µ2=µ3=2代入系数矩阵（6）得秩等于2,也得一个二重点p2.对偶地,对应于这两个根有两条不变直线.把µ1=3和µ2=µ3=2代入不变点方程组得到

7、不变点分别为.把µ1=3,µ2=µ3=2代入不变直线方程组得到不变直线.由此，我们可以得到,p1, p2连线就是l2,而直线l2经过p2,即l1, l2相交于p2,而p1在直线l2上.3.2.2系数矩阵的秩为1如果单根对应得一不变点p1（不变直线l1）,二重根（系数矩阵的秩为1）对应于一不变点列l（不变线束O）.这时不变直线l1就是不变点列的底,而不变点就是不变线束的束心O ,因为不变点列上的点都是不变点,它们的底直线l在射影变换中不会改变,从而成为不变直线.对偶地,不变线束束心O在射影变换中不变,成为不变点.由此可知,在这种情况下,只要把特征行列式（3）的根代入

8、方程组（2）,就可以求出不变点与不变点列,则不变线束束心与不变直线也就得到了.例3.2.2 求射影变换的不变元.解：由特征方程得特征根（二重根）.将代入得到，即不变点为单位点.将代入上式求得直线上的点都是不变点.将代入求得，即不变直线为.将代入上式得到.从而线坐标适合该方程的直线都是不变直线，即以上述不变点为束心得线束中的直线都是不变直线.3.3特征根为三重根的情况当特征多项式（3）的根是三重根时,这个三重根也对应有有两种可能：(1)可能得到一个不变点（不变直线）；(2)也可能得到一个不变点列（不变线束）.此时仍可用系数矩阵（6）的秩来判定.3.3.1系数矩阵的秩为2 如果把特征根代入系数矩阵

9、（6）的秩等于2,这时二维射影变换（1）只有一个不变点及一条不变直线,不变点与不变直线之间具有结合关系.此时可通过求不变点（不变直线）方程组得到不变点（不变直线）的坐标.例3.3.1 求射影变换的不变元素解：由特征多项式得到特征根（即1为3重根）把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ1=1代入不变点方程组得到不变点（1，0，0）.将µ1=1代入不变直线方程组得到不变直线坐标0，0，1显然,点（1,0,0）在直线0,0,1上.3.3.2系数矩阵的秩为1如果把特征根代入系数矩阵（6）,得秩等于1,则特征根对应于一个不变点列（不变线束）.这时不变线束的束心就在不变点列上.因此可通过不变点（不变直线）方程组得到不变点列（不变线束）.例 3.3.2 求射影变换的不变元素解：由特征多项式得到特征根（即1是3重根）.把µ1=1代入系数矩阵（5）得秩等1,把µ