九年级数学辅导与测试 命题与证明 新课标 人教版

1、九年级数学辅导与测试 命题与证明 1. 命题的概念 判断一件事情的句子叫做命题。 正确利用命题的定义，来判断一语句是否为命题，关键看它是否为判断句。 如：（1）两点确定一条直线。（2）过两点画一条直线。（3）过两点能画一条直线吗？ （1）是判断句，所以是命题，而（2）是描述句；（3）是疑问句，所以（2）、（3）都不是命题。 2. 命题的结构。 命题是由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）组成的。 已知事项，常写为：“如果”，由已知事项推出的事项，常写为：“那么。”所以，对于一般命题而言，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论。有的命题语言很简练，可以将其改写成：“如果那么”的形式。

2、3. 命题的真假性。 命题有真有假，正确的命题叫真命题；错误的命题叫做假命题，判定一个命题是真命题时，必须保证题设成立时，结论一定成立。判断一个命题是假命题时，只需举出一个“反例”，说明不能保证结论一定成立即可。 4. 公理。 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理，如“两点之间，线段最短”，“两直线平行，同位角相等”。 注意：（1）公理是通过长期实践反复试验证过的，不需再进行推理论证而都承认的命题。（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据。 5. 定理。 用推导的方法判为正确的命题叫做定理。如“两直线平行，内错角相等”等。 定理是真命题，但真命题不一定都是定理，一般选择一些

3、最常用最基本的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题，这些选作定理的真命题，在教材中用黑体字排印的。 6. 证明： 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 在几何题的研究上，必须经过证明，才能做出真实可靠的判断，如“对顶角相等”这个命题，如果只采用测量的方法，只能测量有限个对顶角是相等的，但采用推理方法证明了对顶角相等，那么就可以确信一切对顶角相等。 7. 证明的一般步骤： （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。【典型例题】 例1. 下列语句是不是命题？ （1）画AOB的平分线； （2）两条

4、直线相交，有几个交点？ （3）直角大于锐角； （4）如果； （5）小林可能被北京大学录取了； （6）几何多有乐趣啊！ 分析：命题不仅是一个完整的句子，而且要有判断的特征。 （1）是画图语句。（2）是疑问语句。（5）是猜测，既没有肯定又没有否定。（6）是感叹句，它们都不是命题。 （4）是不正确的命题，但它是命题。 解：（1）、（2）、（5）、（6）都不是命题； （3）、（4）都是命题。  例2. 把下列命题改写成“如果那么”的形式，指出其题设和结论，并判断其真假。 （1）垂直于同一条直线的两条直线平行； （2）同角的余角相等； （3）异号的两数相加得负数。 分析：（1）命题对符合某种条

5、件的两条直线作出了是平行线的判断。 （2）命题是对符合某种条件的两个角作出了相等的判断。 （3）命题是对符合某种条件的两个数相加的结果作出了是负数的判断。 解：（1）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 题设：两条直线垂直于同一条直线； 结论：这两条直线平行。是真命题。 （2）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。 题设：两个角是同一个角的余角； 结论：这两个角相等。是真命题。 （3）如果两个数异号，那么这两个数的和是负数。 题设：两个数异号，结论：这两个数的和是负数。是假命题。 点拨：如何把命题改写成“如果那么”的形式，首先要找出命题的题设和结论。“如果”后写题设，是已

6、知事项，“那么”后面写结论，也就是由题设推出的事项。 例3. 判断下列命题是真命题还是假命题，要说出判断的理由。 （1）二元一次方程组一定有解。 （2）AOB90°时，OAOB。 （3）一个数的相反数一定比它本身小。 （4）互为补角的两个角的平分线一定互相垂直。 解：（1）是假命题，如方程组就无解。 （2）是真命题，由垂直的定义可知，如果两条直线相交成90°，那么这两条直线互相垂直。 （3）是假命题，如3的相反数3，则3（3）。 （4）是假命题，因为互为补角的两个角不一定相邻，因而不能确定它们的位置。 点拨：要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 例4. 已知，如图

7、1，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，DEBA，DFCA。求证：FDEA。图1 分析：由DEBA知ADEC 由DFAC知FDEDEC，问题得证。 证明：DEBA（已知） DECA（两直线平行，同位角相等） DFAC（已知） DECFDE（两直线平行，内错角相等） FDEA（等量代换） 例5. 如图2，平行四边形ABCD与平行四边形EAFC的顶点D、B、E、F在一条直线上，求证：DEBF。图2 分析：要证明DEBF，因为两线段都在平行四边形的对角线上，可以考虑通过平行四边形的对角线互相平分这一特征来证明。 证明：连结AC交BD于O 在平行四边形ABCD中，OBOD（平行四边形的对角线互相平

8、分） 在平行四边形AFCE中，OFOE（平行四边形的对角线互相平分） 则OBOFODOE（等式的性质） 即BFDE  例6. 如图3，已知AEBC，BC，求证：AE是DAC的平分线。图3 分析：要证AE是DAC的平分线，只要证明12，而已知AEBC，可以得到1B，2C，再由BC，利用等量代换可推证：12。 证明：AEBC（已知） 1B（两直线平行，同位角相等） 2C（两直线平行，内错角相等） 又BC（已知） 12（等量代换） AE是DAC的平分线（角平分线定理） 点拨：利用等量代换可推证：12。  例7. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行。 分

9、析：这是一个文字命题，要分清题设和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证。 已知：如图4，ABCD，EF交AB、CD分别于G、H，GK平分EGB，HL平分GHD。图4 求证：GKHL 证明：ABCD（已知） EGBGHD（两直线平行，同位角相等） GK平分EGB，HL平分GHD（已知） （角平分线定义）。 12（等量代换） GKHL（同位角相等，两直线平行） 点拨：对文字叙述的命题，在写出“已知”和“求证”时，要借助图形“翻译”成数学符号语言。证明中的推理要有根据，不能想当然。  例8. 如图5，已知：12180°，3B，判断AED与C的大小关系。并对结论进行证明。图5

10、 分析：题目已知条件中涉及的角比较分散，都不能构成“三线八角”的基本图形，但根据图形可知，1与4的邻补角，有14180°，而已知12180°，故可得24，进而知道EFAB，3ADE，又根据3B，故可得ADBB，这样DEBC了，那么AEDC。 解：AEDC，证明如下： 12180°（已知） 14180°（邻补角定义） 24（同角的补角相等） ABEF（内错角相等，两直线平行） 3ADE（两直线平行，内错角相等） 又3B（已知）。 ADEB（等量代换）。 DEBC（同位角相等，两直线平行） AEDC（两直线平行，同位角相等）  例9. 已知，如图6

11、，E是正方形ABCD的边BC的中点，F是CD上一点，AE平分BAF。图6 求证：AFBCCF 分析：系统的数学方法是解答证明题的关键。本题要证明一条线段是另外两条线段的和，可以考虑用“截长”或“补短”的方法。即可以（1）在AF上截取AMAB，再证MFCF；（2）将线段BC、CF合二为一，借助等腰三角形的判定定理来证明；（3）还可以取AF的中点，借助梯形的中位线定理证之。现介绍证法（1）： 证明：在AF上截取AMAB，连结EM、EF 在ABE和AME中 ABAM，12，AEAE ABEAME， BEEM，BAME 四边形ABCD是正方形 ABBC，B90°C EMFC90°

12、E是BC中点，BEECEM 在RtEFM和RtEFC中， CEMF90° EMEC，EFEF RtEFMRtEFC， MFCF AFAMMFBCCF  例10. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题。三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，已知如图7，ABC中，AD是角平分线。图7 求证： 剖析：要证，一般只要BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似。现在B、D、C在一直线上，ABD与ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。 此比例式中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延

13、长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE。这样，证明就可以转化成证AEAC。 证明：过C作CEDA交BA的延长线于E （答题时间：60分钟）一、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确答案的代号填在括号内） 1. 在ABC和A'B'C'中，ABA'B'；BCB'C'；ACA'C'；AA'；BB'；CC'。则不能判断ABCA'B'C'的是（ ） A. B. C. D. 2. 在ABC和A'B'C'中，ABA'B'，ACA'

14、C'，BB'，则C与C'的关系为（ ） A. 相等B. 互补 C. 相等或互补D. 不能确定 3. 下列三个命题中 三个角对应相等的两个三角形是全等三角形 用全等的正三角形，可以进行平面镶嵌 正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 错误的命题有（ ） A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个 4. 要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CDCB，再定出BF的垂线DE。使A、C、E在一条直线上（如图1），可以证明EDCABC，得到EDAB，因此测量ED的长即为AB的长，判断EDCABC的理由是（ ）图1 A. SSSB. SASC. A

15、SAD. HL 5. 如图2，AOBO，CODO，连接AD、BC交于点P，则AODBOC；APCBPD；点P在AOB的角平分线上，以上结论中（ ）图2 A. 只有正确 B. 只有正确 C. 只有正确 D. 都正确 6. 已知ABC中，ABAC，BAC90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：图3 AECF EPF是等腰直角三角形 EFAP，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）， 上述结论中始终正确的有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 能把平行四边形分成两个全等形的直线有（ ） A. 2条B

16、. 3条 C. 4条D. 无数条 二、判断题 8. 顶角相等的两个等腰三角形全等。（ ） 9. 关于某条直线对称的两个图形是全等形。（ ） 10. 周长相等的两个直角三角形全等。（ ） 11. 有一边和这边上的高对应相等的两个三角形全等。（ ） 12. 全等三角形的对应边上的中线相等。（ ） 13. 三角形的三条中位线把三角形分割成四部分，它们是全等形。（ ） 三、填空题 14. 把下列命题写成“如果，那么”的形式： 直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。 _ 15. 如图4，ACDC，ACDBCE，添加一个条件_，使ABCDEC。图4 16. 如图5，ABC中，ABAC，A

17、DBC于点D，E是AD延长线上一点，连BE、CE。图5 按要求写出正确的结论： （1）全等三角形一组：_； （2）相等的角一组：_； （3）相等的线段一组（除ABAC）：_。 17. O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，则图6中的全等三角形有_对。图6 18. BD是ABC的角平分线，C90°，ACCB，DEAB于E，若AB5cm，则ADE的周长为_。图7 19. 此题共有A、B、C三题。请你任选两题填写，多填写的题目不记分。填写时不再标注另外的字母。根据选题难度评分（1）（2）（3）图8 （A）如图8（1），ABAC，ADA

18、E。 写出一对全等三角形_；识别方法是_。 （B）如图8（2），CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分BAC。 写出一对全等三角形_；识别方法是_。 （C）如图8（3），BDA、HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E。 写出一对全等三角形_；识别方法是_。 四、解答题 20. 根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”：直径所对的圆周角是直角。 已知：_ 求证：_ 21. 已知、，用直尺和圆规作角：。（不写作法，保留作图痕迹）图9 22. 已知线段a、b，用直尺和圆规作ABC，使ABc，ACb，C。（不写作法，保留作图痕迹）图10 23. 分别作出下列三个三角形三边上的高，根据你画的图形判断三角形三边上的高线交点位置是怎样的？（不写作法，保留作图痕迹）图11参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确答案的代号填在括号内） 1. D2. C3. B4. C5. D 6. C7. D 二、判断题 8. ×9. 10. ×11. ×12. 13.  三、填空题 14.