高中数学选修4-4坐标系（课堂PPT）

1、1xxz23思考:45思考:67思考:89根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。10 xO 2 y=sinxy=sin2x二二. .平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换思考：思考：（1 1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲

2、线y=sin2x?y=sin2x?11 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，保持纵坐标不变，将横坐标将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：112xxyy 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设设P( (x, ,y) )是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标保持纵坐标不变，将横坐标不变，将横坐标x缩为原来缩

3、为原来 ，得到点得到点12,p x y 12（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sinxyx13在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标），保持横坐标x不变，不变，将纵坐标伸长为原来的将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sinx?写出写出其坐标变换。其坐标变换。通常把通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。长变换。223xxyy 设

4、点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为,pxy14（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。O 2 y=sinxy=3sin2xyx15 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐，保持纵坐标不变，将横坐标标不变，将横坐标x缩为原来的缩为原来的 ，在此基础上，在此基础上，将纵坐标变为原来的将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸

5、缩变换。的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。3123xxyy 16定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，在变换在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应 称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不）在伸

6、缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,p x y 17例例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换伸缩变换后的图形。后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 213xxyy 解： 由伸缩变换230 xy代入1213xxyy得0 xy得23xxyy 221xy代入得22149xy 1222133xxxxyyyy 由 伸 缩 变 换得181.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线曲线4x2+9y2=36

7、变为曲线变为曲线0 xxyy 1解：设伸缩变换，221xy代入得2 2221xy224936xy又1312则1312xxyy 得221xy192.在同一直角坐标系下经过伸缩变换在同一直角坐标系下经过伸缩变换 后，后，曲线曲线C变为变为 ，求曲线，求曲线C的方程并画出的方程并画出图形。图形。3xxyy 2299xy22999xy得221xy即2299xy3xxyy2.解：将代入20课堂小结：课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。变换。2122题型一题型一 轨迹探求轨迹

8、探求例例1线段线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且动，且|AB|4，求，求AB中点中点P的轨迹方程的轨迹方程分析：分析：题目未给出坐标系题目未给出坐标系，因此因此，应先建立适当的坐标系应先建立适当的坐标系，显然显然以互相垂直的两直线分别为以互相垂直的两直线分别为x轴轴，y轴最合适轴最合适解析：解法一以两条互相垂直的直线分别为解析：解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴轴，y轴轴，建立直建立直角坐标系角坐标系，如图所示如图所示23解法二建立直角坐标系解法二建立直角坐标系，同解法一同解法一设设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，则则xy

9、16.又又P为为AB的中点的中点，所以所以x12x，y22y.代入代入，得得4x24y216.故点故点P的轨迹方程为的轨迹方程为x2y24.答案：答案：x2y2424点评：点评：1求曲线方程一般有下列五个步骤：求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系，并用并用(x，y)表示曲线上任表示曲线上任意一点意一点M的坐标的坐标，在建立坐标系时在建立坐标系时，应充分考虑平行、应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；使得解题更加简化；(2)写出适当条件写出适当条件P下的点下的点M的集合：的集合：M|P(M)；(3)用坐标表示条件用坐标

10、表示条件P(M)，写出方程写出方程f(x，y)0；(4)化简方程化简方程f(x，y)0(必须是等价变形必须是等价变形)；(5)证明以证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上中方程的解为坐标的点都在曲线上，补补上遗漏点或挖去多余点上遗漏点或挖去多余点25一般地一般地，方程的变形过程是等价的方程的变形过程是等价的，步骤步骤(5)可以省可以省略略2求曲线方程主要有以下几种方法：求曲线方程主要有以下几种方法：(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系量的等量关系，这些条件简单、明确这些条件简单、明确，易于表达易于表达，我们可以把这些关系直译

11、成含我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或或、)的等的等式式，我们称之为我们称之为“直译直译”(2)代入法代入法(或利用相关点法或利用相关点法)：有时动点所满足的几何：有时动点所满足的几何条件不易求出条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点之为相关点如果相关点满足的条件简单、明确如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动就得到原动点的轨迹点的轨迹26 (3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标

12、之间参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系的关系，如果借助中间参量如果借助中间参量(参数参数)，使使x、y之间建立起之间建立起联系联系，然后再从所求式子中消去参数然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动这样便可得动点的轨迹方程点的轨迹方程(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程可先设方程再确定其中的基本量再确定其中的基本量3在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意：意：(1)选择适当的坐标系选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当坐标系如果选择恰当，可使解，可使解题过程简化，减少计算量题过程简化，减少计算量27 (2)要注意给出曲线图形的范围要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的要在限定范围的基础上求曲线方程如果只求出曲线的方程基础上求曲线方程如果只求出曲线的方程，而而没有根据题目要求确定出没有根据题目要求确定出x、y的取值