两角差的余弦公式

1、1:11:091:11:09请同学们思考请同学们思考:某城市的电视发某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上射塔建在市郊的一座小山上.如如图所示图所示,小山高小山高BC约为约为30米米,在在地平面上有一点地平面上有一点A,测得测得A、C两两点间距离约为点间距离约为67米米,从从A观测电观测电视发射塔的视角视发射塔的视角(CAD)约为约为45.求这座电视发射塔的高度求这座电视发射塔的高度.ABCD306745课题引入：课题引入：X1:11:09一、一、 新课引入新课引入问题问题1:cos15？ sin75= ？问题问题2:cos15cos（45 30） cos45 cos30 ?sin75sin（

2、 45 +30） sin45+ sin30？ cos(-) =? ?1:11:09cos()思考思考1 1：设设，为两个任意角为两个任意角, , 你能判断你能判断cos( cos( )coscoscoscos恒成立吗恒成立吗? ?例例:cos(30:cos(303030) )cos30cos30cos30cos30因此，对角， cos()coscos一般不成立.1:11:09探究探究1 coscos（-）公式的结构形式应该与哪些量有关系公式的结构形式应该与哪些量有关系 ？发现发现： coscos（-）公式的结构形式）公式的结构形式 应该与应该与sin ,cos ,sin ,cossin ,co

3、s ,sin ,cos均有关系均有关系 sin)2cos()cos(,2令令则则令令,则则cos)cos()cos(令令令令,2,则则则则sin)2cos()cos(cos)cos()cos(1:11:10sin60sin120cos60cos120cos( (120 60) )sin30sin60cos30cos60cos( (60 30) )323232321212123212思考思考2 2：我们知道我们知道cos(cos()的值与的值与，的三角函数值有一定关系，观察下表中的数的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？据，你有什么发现？121:11:10从表中从表中,可以发现

4、可以发现:cos(60 30)=cos60cos30+sin 60sin30cos(120 60) =cos120cos60+sin 120sin60现在，我们猜想，对任意角现在，我们猜想，对任意角， 有：有：cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin1:11:10 x xy yP PP P1 1M MB BO OA AC Csincoscoscos+1 11 1探究探究2 借助三角函数线来推导借助三角函数线来推导coscos（-）公式）公式coscos(cos()coscoscoscossinsinsinsin又又 OMOBBMOM cos(-) OBcoscosBM

5、sinsinsinsin1:11:101、已知、已知OP为角为角 的终边，求终边与单位圆交点的终边，求终边与单位圆交点P的坐标的坐标POXY P（cos ，sin ）探究探究3 cos（-）公式我们能否用向量的知识来推导？）公式我们能否用向量的知识来推导？c co os sb ba ab ba a温温故故知知新新2、两个向量的数量积：、两个向量的数量积：11, yxa 22, yxb 2 21 12 21 1y yy yx xx xb ba a1:11:10探究探究3 cos（-）公式我们能否用向量的知识来推导？）公式我们能否用向量的知识来推导？提示：提示：1、结合图形，明确应该选择、结合图形

6、，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？概念的计算公式得到探索结果？BAyxo-111-1cossinOA , ,cossinOB , ,)cos(OBOAOBOA)cos(OBOAsinsincoscos cos(-)=coscos+sinsincos(-)=coscos+sinsin cos(-)=coscos+sinsin cos(-)=coscos+sinsin1:11:10探究探究3 两角差的余弦公式有哪些结构特征？两角差的余弦公式有哪些结构特征？()C coscoscos

7、sinsin注意：注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角公式的结构特点：等号的左边是复角-的的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的积的和和。2. .公式中的公式中的,是是任意任意角。角。上述公式称为上述公式称为差角的余弦公式差角的余弦公式，记作，记作简记简记“C C S S，符号相反，符号相反”1:11:10探究（二）：探究（二）：两角差的余弦公式的变通两角差的余弦公式的变通 思考思考1 1：若已知若已知和和的三角函数的三角函数值，如何求值，如何求coscos的值？的值？ coscoscos(cos() cos(cos() cos

8、) cossin(sin()sin)sin. . 思考思考2 2：利用利用()可得可得coscos等于什么？等于什么？coscoscos(cos() cos(cos()cos)cossin(sin()sin)sin. .1:11:10思考思考3 3：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba思考思考4 4：若若coscoscoscosa，sinsinsinsinb b，则，则cos(cos()等于什么？等于什么？22)cos(22ba 1:11:10公式应用公式应用引例引例: :求求cos15的值的值.分析

9、：将分析：将150可以看成可以看成450-300而而450和和300均为特殊角，均为特殊角， 借助它们即可求出借助它们即可求出150的余弦的余弦.cos150 =cos（450- 300） =cos450cos300 + sin450sin300 = + =你会求你会求sin75的值了吗？的值了吗？1:11:10应用应用解:由sin , ( ,),得542 分析分析: :由由C C-和本题的条件，要计算和本题的条件，要计算cos(-),cos(-),还应求什么？还应求什么？ 53541sin1cos22又由cos= ，是第三象限的角，得135-13121351cos1sin22所以所以cos(-) coscos+sinsin653313125413553 已知已知sin ,( , ),cos= - , 是是第三象限角，求第三象限角，求cos(-)的值。的值。542 135例例2，小结：要求小结：要求cos(-)应先求出应先求出,的正余弦，的正余弦，1:11:10理论迁移理论迁移例例3 3 已知已知 且且 , , 求求 的值的值. . 1cos() cossi n() si n,3abbabb+=)cos(4223,1:11:1