世界上精度最高的椭圆周长初等公式

1、世界上精度最高的椭圆周长初等公式成都七中高中远程教学周钰承根据微积分基本原理，可以写出椭圆周长的定积分公式，但由于被积函数的原函数不是初等函数，所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式：C (a b) 112?41?32?4?625!88!公式（2）中,这个公式表明,椭圆周长的主要部分为(ab)，我们可以把（1 ）中括号里从第二项起称为椭圆率多项式：2f()厂21?362?4?625!88!通常，我们要计算椭圆周长，必须先给出一个精确度。假如要求我们误差率低于 d，我们设需要计算到椭圆率多项式第 则椭圆率多项式（2)中,n项，不妨设n 2， 第n+1项及其

2、以后无穷多项之和必须满足下列不等式：(2n1)!(2n2)!2n 2(2n1)!(2n 4)!2n2(2n 3)!(2n6)!2n因为（注意n(2n 1)!2）：22n(2n 2)!(2n1)!(2n2)!122n25612n 222n2(2n 1)!(2n 4)!(2n 1)!2n2n1256(2n22)!2n1256(2n 3)!(2n 6)!(2n 1)!(2n 2)!2n2n 622n 6256 121所以只须：2562n 22n 2256(12)dn2ln2)dn取满足不等式（4）的最小整数。为此，我们需要一个带有函数的学生计算器，根 据精确度要求，首先计算出我们应该计算到第几项。计

3、算所得的椭圆周长值在给定误差率d的情况下是精确的。注意：计算到椭圆率多项式f （）第n项，就是标准公式（2）括号中注意二级等比公式中，第二个分式的分母中为4，不是40次方，而是4次方，它的算到2n次方项；若n为负数或者小于 2,就算到椭圆率多项式（3）第2项，即公式（2） 中括号里的4次方项。例如：n>-1.86745.则标准公式（2）中，中括号里应该算到 4次方项。 因为误差公式证明中 n大于或等于2是前提条件。需要知道的是，多数情况下求椭圆周长，只须计算到f（）前两三项，因而往往可以笔算。2但是，当0.95 , d 0.0001 时，算得：n ln 256(11 57.42, 2ln

4、即用到椭圆率多项式第58项即116次方项，才能保证误差率小于万分之一。为此，我们可以构建一个新的函数模型，用以解决-很小即 很大时的计算问题。a我们把椭圆率多项式f （）中的系数简化得:f（）1 T观察（5），由于01 6 25 8 49 10 441 12444748410（4）1，所以2n随着n增大而减小；各项系数逐渐变小，但与等比数列相比，“小得越来越慢”。根据（5）式的这些特点，我们构造一个多项式函数 g（），使它与f（）前三项相同，同时为了方便运算，我们从第二项起各项系数为等比数列:8 1 10 1 12孑4变形为无穷等比数列求和（其系数从4项开始为等比数列）：g()14141 24

5、1承144(11 2 丄4424?1(11)(2)8(当 n1 (2 )2时，n0)64 16 244)J214(16 264 1616 2 3 464 16 216 23 4用g（） 16冒近似代替f（），代入标准公式（“得:C (a b) 1 16 23 2464 16从而得到一个椭圆周长的近似公式:C1 (a b) 6464 3 4公式（6）中,。这是我们在下一课时计算椭圆周长要用到的近似公式。a b为了突出这个公式，我们称（6）为椭圆周长一级等比公式。近似公式如果没有误差估计是没有实际意义的。这个初等公式的精度如何呢？为此,我们介绍一下椭圆周长C满足下列不等式:(ab)64Wi(ab)

6、(aC2(ab)3 49 8(144 32240)C16 2214(：144 100240)C643 49 8 (14432240)6416 2214(144100240)643 49 8 (14429240)6416 2214(144103240)643 49 8 (14432 21340)6416 2214(14410024)b)是椭圆周长误差率定理：椭圆周长真值(a b) 64 3 264 16 29 8(144 29 240)214(144 103 2是椭圆周长的一个下界公式；是椭圆周长的一个上界公式。二级等比公式。10和它以前的所10的系数为首项,限于篇幅，此处不给出详细证明过程，只

7、对证明思路作简要介绍。证明思路：上界公式与下界公式的级数展开式与椭圆标准公式相比,有系数完全相同，称第一部分。而从12到38的系数，称第二部分。103 : 144）为等比数列相同公比为（100： 144 ）的等比数列作为下界公式的第二部分，公比为（作为上界公式的第二部分，可用完全归纳法证明：下界公式每项系数小于标准公式中 次数的系数（仅有一项例外，但可用前一项系数补足），上界公式每项系数大于标准公式中40项主要作用是相同次数的系数。从 40项开始称为第三部分。上界公式与下界公式中的保持与二级等比公式形式上的统一性，所以它们并不是最佳选配的系数和次数。可用数学归纳法证明上界公式和下界公式第三部分

8、的正确性。出现是从 100 2到103 2渐变过程中产生的。二级等比公式中系数和次数是最佳选配的,不可更易。上界公式与下界公式均超过了目前所有的椭圆周长初等公式（包括中国椭圆周长公式） 的精度；用上界公式与下界公式及两边夹定理，可以求出椭圆周长的精确值，这是上界公式累加一接近于1时。与下界公式的主要优点，它能够让我们判断，我们用程序计算标准椭圆周长公式时， 百万项后精确度如何，特别是当ab一级等比C1真值下界W1两边夹得真值C真值上界W2二级等比C210.003.993.99972239594.000 （舍入值）4.0000 0731924.000025842210.054.0174.0194

9、0529694.0194 （不足值）4.0194 7309434.019421366610.104.0631 5100734.06396981664.0640 （过剩值）4.06398 509574.063974164710.154.1257 7971624.12609916884.12610 （不足）4.126102 72354.126100218510.204.2018 8017424.20200859314.202009 （舍入）4.2020094 5784.202008847410.254.28915 862394.28921079814.289211 （舍入）4.2892110 13

10、54.289210860710.304.38588 891394.38591004464.3859100 （不）4.38591009 834.385910060110.354.490731 13294.49073956614.4907396 （过）4.49073957 934.490739569910.404.602619 23714.60262251744.60262252 （舍）4.602622520 54.602622518310.454.720688 01434.72068924374.720689244 舍4.72068924444.720689243910.504.8442236

11、7214.84422411024.8442241102 舍4.84422411034.844224110210.554.9726292 5434.97262940044.9726294004 舍4.97262940054.972629400410.605.1053997 285.10539977275.10539977275.10539977275.105399772710.655.24210358 745.24210359965.24210359965.24210359965.242103599610.705.38236897 865.38236898155.38236898155.3823

12、6898155.382368981510.755.525873039 65.4025.52587304025.52587304025.525873040210.805.67233357775.67233357785.67233357785.67233357785.672333577810.855.82150248025.82150248035.82150248035.82150248035.821502480310.905.97316043255.97316043255.97316043255.97316043255.973160432510.956.12711263666.127112636

13、66.12711263666.12711263666.127112636611.006.28318530726.28318530726.28318530726.28318530726.2831853072ab一级等比C1真值下界W1两边夹得真值真值上界W2二级等比C2但不二级等比公式是比上界公式和下界公式精度还高得多的椭圆周长初等公式。笔者预言， 这将是地球上精度最高的初等公式，永远不会再出现比这个公式更简洁、更美丽、更实用、 精度更高的椭圆周长初等公式。我们可以怀疑用程序累加项名达公式五百万项的结果， 可怀疑这个仅用学生计算器就可计算椭圆周长的二级等比公式。4.2020085 x 4.2020095 ；4.126100 x 4.12611；4.06390 x 4.06400.因而比此文的上界公式与下界备注：