【高数】概念有了它你不会挂JYH制作

1、高等数学概念复习JYH制作高等数学有关概念、公式一，对函数概念的理解。（一），函数函数是数学中非常重要的一个概念，理解这个概念应特别注意把握以下几点：1、函数的两个基本要素是定义域和对应法则，只要这两个要素相同就是相同的函数，而与自变量、因变量分别用什 么字母表示无关。2、 函数对应法则一般用“ f”表示，其中字母“ f”也可以换用其他字母表示，女0g , F, 0 ,，等，但用不同字 母表示的通常是不同的函数。3、函数表达式“ y=f（X）”中的核心是“ f（）”，它表示了函数式的基本结构，一旦函数确定，它就是不容更改的，字母“ X”和“ y”在一定条件下则是可变换的。“ X ”的这种变化可

2、以说是奇妙无穷，涵义深远，而高等数学研究的就是变量的变化规律，所以本文主要就是围绕 着“ X ”的这些变化展开的。”的意义可以理解为：对于一个由对应法则 “f（）”确定的函数，如果给定其自变量为;每给定一个不同的“ X”值，就有一个不同的函数值“ y ”与其对应，“f（） ”比喻成一台“机器”，输入不同的原料“X”，就可得到相应的产品a ?x ,X”可( ”y ,4、函数的记号“ y=f（X）就可得到因变量的值，亦即函数值“ y”以遍取自变量范围内的任意值。 也有人把 机器不变，原料和产品则可能千变万化。“ X”的取值不仅可以是数字，也可以是代表具体数值的字母，甚至可以是一个”中，自变量X”所

3、代表的变量换成为另外一个符合条件的函数式，就会得到一个复合函数。这样就把复合 认识到这点对于后面学习掌握复合函数求导法和凑微分法求积分是非常有帮助的。（二），复合函数 在函数表达式“ y=f（X）符合条件的表达式。一旦“ 函数统一到了函数概念当中。这点可以通过求函数值的练习时让自变量分别取常数、字母和代数式来潜移默化地让学生认识和理解。把几个函数 基本初等函数复合成复合函数、把复合函数分解为简单的基本初等函数的练习也有助于学生深入理解函数和复合函数的 概念及二者间的关系。（三），导函数和变限积分函数这两个概念与前述的函数概念也没有本质区别，其中导函数只是与自变量对应的因变量变成某个函数的导数值

4、而已。而变限积分函数则是自变量变为定积分的上下限，而函数值是一些定积分值，即极限值。因此它们也都可以统一到函数 的概念之中。有了这些理解，二阶和高阶导数的定义、计算以及其他相关问题也就可以迎刃而解。比如二阶导数，从求导的角度 看，实际上就是被求导的函数变成某一个函数的导函数而已，这与复合函数是自变量变成另外一个函数式如出一辙。（四）反函数及其图像反函数是由于自变量与因变量的相对性而引入的，体现了变量“X ”的另一种特殊变化。本来函数 y=f（X）的反函数应该是X=f -1（y），但因为通常大家都习惯于用“ X”表示自变量，用“ y表”示因变量，而函数是否相同与自变量、因变量 分别用什么字母表示

5、无关，所以才写为y=f -1（X），也只有在这样交换后反函数的图像才与原函数的图像关于直线“y=x”对称，否则二者应该是重合的。二、对数学公式的理解和掌握公式是数学课程知识体系重要组成部分，是解决数学问题的重要手段，但是很多学生在学习数学公式的时候往往流 于死记硬背，不能深刻掌握和灵活运用，我们老师就要引导学生掌握公式的内在实质，以便在解决实际问题时可以举一 反三。何谓“公式”？所谓“公”者，可以广泛甚至普遍运用也。那么怎样来体现这个“公”字呢？用字母代表数这一重 要数学思想的目的之一就是为了体现数学概念和公式的普适性，公式中的字母具有广泛的代表性。因此对公式最根本的 是要记住其结构，理解其意

6、义，不能把重点放在字母上，尤其不能死板理解这些字母，而要把它们看成和上述函数式中 的“X”一样是“活”的，是可以变化的。从下面几个例子就可以看出常用公式中的字母“X”可以用来包容或代替很多不确定、不规则的东西，具有极强的同化能力：xx(一)，两个重要极限公式:limSn.1XT xlimG+ly X丿这两个公式都可以这样理解：每个式中的3个“ X”同步变换为满足条件的相同代数式后公式仍然成立。即可以把个“x”都变换为符合要求的式子“ f (x) ”：lim snl凶=1f(x)T f(x)lim (1+) =e f(xT f(x)但是，公式中的其他部分不能变：必须趋向于“ 0”，分母、分子必须

7、分别是这变量和其正弦，；后式中除了自变量趋于无穷大外，括号内的两个常数“ 和加号“ +”等表征公式结构的要素也不能改变，若在解题时遇到不一致的情况就要先把那些导致不一致的项想办法通过恒等变形化到分母中那个“ X”里面，把这些位置化为与公式完全一致。如：等式右边极限值为“1 ”或“e” 一般无需强调，但前式要注意变量“ x ”或“f/ ”(X)1”lim (1 +x)X= lim XT=e这就是也可以用做公式的 |im(VHx)e，而且这里面的3个“X”也同样可以变换为符合条件的相同代数式。自变量的趋向变化在实际解题时通常可不改写，但必须要考察式子变形后其是否满足公式条件的要求。(二)，等价无限

8、小代换公式: 同样道理，对于等价无穷小：1当 X70时：ex 1x ; In (1+x) x ; 1 cosx x22等等。包括条件在内，每个式子涉及的a ?x也可以分别用3个相同的式子同步代换，即: 当 f(x)当 g(x)7 0 时：ef(x) 1f(x)7 0时：In1+g(x)g(x)当 0 (x)7 0 时：1 cos (x) 1 护 2 ( X)2(三)，求导和微分公式严格来说导数公式中应该标出对哪个变量求导，正如等价无穷小必须先指明在哪个变量有怎样的变化趋势时两个式子才是等价无穷小。但是通常都是默认为对“x”求导，所以教材和大多数老师为了印刷和书写简单都忽略了，这对学生完整理解和

9、掌握这些公式是不利的。例如：(sinx)/ =cosx严格说应该写为：d sin X =cosx dx或(sinx) J =cosx取后个式子中的下角标“ X ”就是说明对变量“X”求导。类似地，(ax) / = alna应该写为daxX,=a lna或(a X) x/ = a X|nadx(tanx) /= sec2x 应该写为d tanx=sec2x 或(tanx) X / =sec2xdx式中实际上也包含着 3个而不是2个“X”，如果把这3个“ X”同时换成相同的其他式子，公式仍然成立, 当然公式的其他地方都不能变。如：d=c0s2x 或(sin2x) 2x =cos2xd(2x)da3

10、x +da3x+1 .亠, 3x+1、/3x+1.=a lna 或(a 畑/ = a lnad(3x +1)d tan(ln X)=sec2(lnx) 或tan(lnx)mx =sec2(lnx)d(ln X)f(X)”代替。有了这层理解上述“ 2X”，“ 3X+1 ”，“I nx ”也可以是符合条件的其他函数式，当然也可以一律用“ 对于灵活套用公式，解决复合函数求导的问题就简单多了。(四)，积分公式针对不定积分是求导的逆运算，我们可以借助上述思想由求导公式把不定积分公式一一推导出来，例如:u-1由(xu) /= uxu-1，可以得出：/ uxu-1 dx= X u+C但我们为了应用方便通常需

11、要把左边的积分函数化为基本初等函数或其他简单代数式，所以可以进行以下变化：把指数“ u-1 ”用“ u”来代换，相应地“ u”就要变成“ u+1” ,把系数“ u+1 ”提出移到公式右边就变成基本初等函数的积 分公式：广 u1u+1_/ X dx= X + Cu+1类似地，其他公式也可以通过这种交换和代换得到。同时，这些积分公式中的 3个“X”也应该理解为是可以同步变化成其他式子而保持公式的成立，即:/ cosxdx=sinx+C 也可以写成 / cos $ (x)d $ (x)=sin $ (x)+C/ eXdx=eX+C 也可以写成：/ ef(x) df(x)=e f(x) +C1/ dx

12、= arcta nx也可以理解为/1 +x212dg(x) = arcta n g(x) + C1 + g (X)第3页共11页其他公式以及凑微分公式和分部积分公式也可以类似理解。三、在习题的应用(一)求极限1, 两个重要公式求极限为了套用公式，需要把所要求极限的函数式进行恒等变形使其结构形式与公式原型相同，例如应用公式一:sin 3x 3sin 3x sin 3x 3XT 3xlim = lim=3 lim = 3XTX T 3x也就是要根据题目中的正弦函数表达式中sin后面的式子“ f(x) ”，在保持恒等的前提下把分母也变成“f(x) ”，如上式中的“ 3X”。同时看“ f(x) ”的变

13、化趋势是否趋于 0,然后把多余的系数提取出来应用公式。对于公式二，则首先要保证要求极限的函数式中两个“1”和“ + ”号的位置与公式保持完全一致，若有不同就要通过恒等变形变为相同，同时把导致不同的因素化到括号里面那个“X”中，得到一个含“ X”的代数式“ f(x) ”，指数部分先写出一个与这个“ f(x) ”相同的式子，然后乘以一个合适的系数以保持恒等。如：高等数学概念复习JYH制作2 3x+丄严X_2在这里，显然当“”时也有-TS”成立，故第二步极限符号下面也可以保留“2x”，但心里应该明1Jo22、等价无穷小代换求极限应用时特别注意代换的条件是相应的代数式是某个变量趋于零时的无穷小。虽然有

14、的没有写出来，但必须意识到。如：白其实这里应该是“一共涉及3个变量或者函数式， 而不是2个。sin2 X .lim -xT1 -cos(3x)2c2sin X 2 X= lim=-lim pT 1 a 29 T X-(3x)22 2-(x T0时，3xT0, sin XT0)91 2X 一 X / r213-lim =-X cosx T X cosx 2这里特别要注意，进行无穷小代换的时候，如果分子分母有多项式的话，必须作为一个整体进行代换，不能逐项代换，如最后一个式子的分子不能直接等价代换为“X - X”。(二)导数与微分1, 高阶导数把函数f(x) 一次求导得到的导函数g(x)再进行一次求

15、导得到函数导数。因此题目：已知 f(n-1) (x)=x 3+ekX，求 f(n+1)(x)其实就是求函数的二阶导数，即：/ f(n) (x)= f (n-1) (x)=(x3+ekX)=3x 2+kekX f(n+1) (x)= f (n) (x)=(3x2+kekX)=6x+k 2ekx类似，其他高阶函数就是多次求导即可。2, 复合函数求导如果求复合函数对中间变量的导数，就可以直接套用公式，如：limtanx-sinxx_sin x(1-cosx) limXT0(X)，则0(X)是g(x)的一阶导数，是f(x)的二阶(n)ln (5x) 5x5xd In(5x)d(5x)5x(对“ 厂 ”

16、5x求导)kedx2 2 = sec(x2、 2)tan(x )即2d sec(x )=dx2sec(x2)ta n(x2)(对“ x2”求导)但是我们更多的是要求函数对自变量“X”的导数,如求(sin2xx，即dsnQ)此时我们不妨做如下变化:dxd sin(2x) _ d sin(2x)dxd(2x)d(2x) =cos2x 2=2cos2x dx对x的导数:第4页共11页2x (2x) x=2cos2x亦即：(sin2x) x=(sin2x)一般地就有，对于有 y=f(u)和u=0 (x)构成的复合函数y=f 0 (x)高等数学概念复习JYH制作df df dU=*dx du dx的可“

17、凑”a.如果数列xn有两个子x2k-1收敛于 1，xnk或 f$ (x)=f u(u) $ x(x)因此，所谓复合函数求导就是为了套用基本求导公式，把中间变量代数式视为一个整体作为自变量求导，再乘以这 个中间变量对x的导数。对于多重复合的函数， 依次运用这个思路， 逐层从外向内“扒皮”就可以得到最终结果。这种思路可以叫做“化零为整”，本文第一大部分分析复合函数可以看做是一个函数的自变量被另外一个函数式代 换得到的可以叫做“化整为零”，二者是虽然方向相反，但本质上是相同的思维方式， 都是整体思想的一种应用。3, 隐函数求导与取对数求导法隐函数求导的一个关键就是要意识到式中的“ y”是一个函数式“

18、 y(x) ”，因此两边求导时，凡是含有“y”的式子都要当成中间变量为“ y”的复合函数，应用复合函数求导法，先把式子对“y”求导再乘以“ y”对“x”的导数“ yx而取对数求导法取对数之后式子就变成了隐函数，最终也要归结为复合函数求导，都要应用上述思路。(三) 积分1、第一换元积分法即凑微分法，其实就是复合函数求导法的逆运算，基本思路也是为了应用基本积分公式，依据公式中字母“ 变性，把被积表达式通过恒等变形转化成与公式结构一致的形式，例如：1 1 1fcos2xdx = fcos2xd(2x) = 一 fcos2xd(2x) = sin 2x +C2 2， 2就是为了应用公式/ cosxdx

19、=sinx+C 或者说/ cos $ (x)d $ (x)=sin $ (x)+C，根据被积函数的形式，把积分变量 成一个与被积函数中自变量部分的相同的“微分”式。应用这种思路解题，不需要进行翻来覆去的换元且思路清晰，不仅渗透着丰富的数学思想，也便于学生掌握。2、变限积分函数问题变限积分函数不仅是推导牛顿一莱布尼茨公式的重要过度，也蕴含着丰富的数学思想，同时也经常可以与求极限、 常微分方程等知识点一起出综合题，主要围绕下述基本定理的应用：d X(x)= f f(t)d f (x) (a W xW b)dxa在这里也要注意式中的“ X”可以是其他函数式，也存在复合函数的问题，也要考虑转化或看做一

20、个整体的问题, 思路方法跟前面是一样的，在此不再赘述。第一章函数与极限1、 函数的有界性在定义域内有f(x) K1贝y函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x) K2,则有上界, K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限 定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn 定有界。如果数列xn无界，那么数列xn 定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn 定收敛，例如数列1,-1 , 1, -1 , (- 1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收

21、敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1, -1 , 1, -1 , (- 1)n+1中子数列收敛于-1 , xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。f(x)在点x0有没有定义无3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)0)，反之也成立。函数f(x)当X7xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 则 limf(x)f(xO-O)=f(xO+O)，若不相等不存在。一般的说，如果lim(x 7m)f(x)=c，则直线 y=c是

22、函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x 7xO)f(x)= 汽 则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则 定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x) F2(x)，而limF1(x)=a , limF2(x)=b，那么ab.5、极限存在准则两个重要极限lim(x 7O)(sinx/x)=1; lim(x满足下歹y条件：ynWxnWzn 且 limyn=a , limzn=a，那么 limxn=a7S )(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn，对于函

23、数该准则也成立。单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数y=f(x)在点xO的某一邻域内有定义,xO处的函数值f(xO)，即lim(x 7xO)f(x)=f(xO)，那么就称函数如果函数f(x)当X7xO时的极限存在，且等于它在点 f(x)在点xO处连续。不连续情形：1、在点x=xO没有定义；2、虽在x=xO有定义但lim(x 7xO)f(x)不存在；3、虽在x=xO有定义且 lim(x 7xO)f(x)存在，但lim(x 7xO)f(x)丰f(xO)时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者

24、称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数 x=f(y)在对应的区间ly=y|y=f(x) ,x Ix上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理(最大值最小值 定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函 数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。me f(x) w M.定理(零点定理)设函数f(x

25、)在闭区的一个零点，即至少定理(有界性 定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即间a, b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a) x f(b)0)，那么在开区间(a, b)内至少有函数f(x) 有一点 E (a E 函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续工 在该点可导。 即函数在某点连续是函 数在该点可导的必要条件而不是充分条件。3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。4、函数f(x)在点x0处可微=函数在该点处可导；函数 f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。第三章中值定理与导数的应用1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间a

26、 , b上连续，在开区间(a , b)内可导，且在区间端点的函数值相等， 即f(a)=f(b)，那么在开区间(a , b)内至少有一点E (a E b),使的函数f (x)在该点的导数等于零：f ( E ) = 0.(E)( b-a)成立即 f (E) = f (b) -f(a) / (b-a )。2、定理(拉格朗日中值 定理)如果函数f(x)在闭区间a , b上连续，在开区间(a , b)内可导，那么在开区间(a , b) 内至少有一点E (a E 0,那么函数f(x)在a , b上单调增加；(2)如果在(a , b)内f (x)0 ,那么函数f(x)在a , b上单调减少。f(x)=O的根

27、及 f (X)f(x)在每个部分区x0的一个去心邻域,如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程不存在的点来划分函数f(x)间上单调。的定义区间，就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数6、函数的极值如果函数对于这去心邻域内的任何点f(x)在区间(a , b)内有定义，x0是(a , b)内的一个点，如果存在着点x, f(x)f(x0) 均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极 值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一

28、定是极值点。定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0 一个邻域内可导，且f (x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f (X)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f (X)恒为正，那么函数 f(x)在x0处 取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。定理(

29、函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且 f(x0)=0 , f(x0)M0那么：(1)当f(x0)0 时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有Ix上连续，如果对任意两点 x1, x2恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。在开区间(a , b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a , b)内f (x)0 ,定理设函数f(x)在闭区间a , b上连续，则f(x)在闭区间a , b上的图形是

30、凹的；(2)若在(a , b)内f (x)可积。定理设f(x)在区间a , b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a , b上可积。3、定积分的若干重要性质性质如果在区间 则 / abf(x)dx W/ abg(x)dx.推论 | / abf(x)dx| 和最小值，则 m(b-a) W/ abf(x)dx 0 则 / abf(x)dx 0.推论如果在区间 a , b上 f(x) g(x) w/ ab|f(x)|dx. 性质设M及m分别是函数f(x)在区间a , b上的最大值，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的性质(定积分中值 定理)如果函数f(x)在区间

31、a , b上连续，则在积分区间a , b上至少存在一个点E，使下式成立：/ abf(x)dx=f(E )(b-a)。4、关于广义积分设函数 f(x)在区间a , b上除点c(ac可偏导。但多元函数各偏导数存在只5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x , y)的偏导数存在且在点(x , y)连续，则函数在该点可微分。6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x , y)在点(x0 , y0)具有偏导数，且在点(x0 , y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。定理(充分条件)设函数z=f(x , y)在点(x0 , y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0 , y0)=0 ,fy