西农大信号与系统第二章

1、信号与系统信号与系统 信息工程学院 二零一四年秋教师教师方勇简介方勇简介v 信息工程学院教授，博士生导师v 专业方向：数字通信与信号处理v 主讲课程：信号与系统等v 办公室：信息工程学院105v QQ：914164095v 电话：87092619 (O)M)v e-mail：v Homepage：http:/ 第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 2.1 引言引言微分/差分方程法 卷积积分法时域分析法1.1.微分微分/ /差分方程法差分方程法2.2.卷积积分法卷积积分法h(t) 系统的单位冲激响应(已知)y(t) = h(t)*x(t)意义：直观

2、，物理概念清楚，是其他方法（变换域法等）的基础。意义：直观，物理概念清楚，是其他方法（变换域法等）的基础。2.2 LTI系统的微分方程表示及响应系统的微分方程表示及响应00( )( );kknmkkkkkkd y td x tabdtdt00( )( );nmkkkkkka D y tb D x t1.1.LTI 系统的系统的“输入输入输出输出”模型模型( (微分方程模型微分方程模型) )1.1.连续连续LTI系统模型系统模型常系数微分方程常系数微分方程或kkkdDdt微分方程的建立微分方程的建立( (不做要求不做要求) )v力学系统理论依据：牛顿运动定律v电路系统理论依据：I = U/R、K

3、VL、KCL R、C、L的伏安特性:tLLLLidttVLtidttdiLtV0)0()(1)()()(或tccccccVdttiCtVCQtVdttVdCti0)0()(1)()()()(或微分方程的求解微分方程的求解初始条件，)0(),0(),0()()()1()1(00nmkkknkkkyyytxDbtyDa0( )( )( )( )( )hpxy tttyyttyy2.微分方程的一般形式(1) 解的形式:H: homogeneousP: particular微分方程的求解微分方程的求解(2) 齐次解（自然响应）与特解（受迫响应）先求齐次解:1( )( )nhkkkytc yt再求特解:

4、( )pyt完全响应:( )( )( ), 0hpy ty tytt00(1)(1)( )( )(0),(0),(0)nmkkkkkkna D y tb D x tyyy2.2 LTI系统的微分方程表示及其响应系统的微分方程表示及其响应其中 yk(t) 由特征方程根的模式决定（P.43，表2-1）2.2 LTI系统的微分方程表示及其响应系统的微分方程表示及其响应不全为零）。，()0(),0(),0(0)()1()1(0nnkkkyyytyDa0010 ( )( )nkkiknkkkatc y ty求特征方程 的根(3) 零输入响应与零状态响应零输入响应:由初始条件(1)(1)(0),(0),(

5、0)nyyy定出 ck 即可微分方程的求解微分方程的求解零状态响应:00(1)(1)( )( ), (0)(0)0(0)nmkkkkkkny tx tabDDyyy解方程微分方程的求解微分方程的求解01 0 ( )( )nkkiknkhkkatctyy先求特征方程的根齐次解：和特解:)(typ1( )( )( )( )( )xhpnkkpktttyyyttyyct 0由初始条件(1)(1)(0),(0),0(0)nyyy定出 ck 即可。微分方程的求解微分方程的求解完全响应:0( )( )( )( )( )xhpy tttyyttyyt 0解的形式解的形式举例举例 例：已知某系统的微分方程模型

6、为: 初始条件 y(0) = 1，y(1)(0) = 0 输入 x(t) = 5e3tu(t) 求系统的零输入响应 y0(t)，零状态响应 yx(t) 以及完全响应 y(t)。)()(21)(23)(22txtytydtdtydtd举例举例解一:(a) 求零输入响应 y0(t) 由特征方程 2 + 3/2 + = 0 的特征根为 1 = 1，2 = 1/2， 故零输入响应为 y0(t) = c1et + c2et/2 (1) 由初始条件 y(0) = 1，y(1)(0) = 0， 解得 c1 = 1，c2 = 2 故 y0(t) = et + 2et/2举例举例(b) 求零状态响应yx(t)。

7、特解为 yp(t) = Ae-3t，代入微分方程得 A = 1，零状态响应的特解、奇次解和完全解分别是: yxp (t) = e-3t yxh(t) = c1e-t + c2e-t/2 yx(t) = yxp(t) + yxh(t) = c1e-t + c2e-t/2 + e-3t (2)将初始条件 y(0) = y(1)(0) = 0 (零状态初始条件)，代入上式得c1 = -5，c2 = 4故零状态响应为: yx(t) = yxh(t)+ yxp(t) = (-5e-t+4e-t/2+e-3t)u(t) (u(t)表示t0)举例举例 (c) 完全解(全响应) y(t) = y0(t) +

8、yx(t) = -e-t+2e-t/2-5e-t+4e-t/2+e-3t u(t) = (-6e-t+6e-t/2)u(t) + e-3tu(t) 自然响应 受迫响应 解二：解二：若方程 (2) 代入初始条件由初始条件 y(0) = 1，y(1)(0) = 0 会得到怎样的结果？此时，c1= -6，c2=6，则有 y(t) = yh(t)+yp(t) = (-6e-t+6e-t/2)u(t) + e-3tu(t) 全响应 自然响应 受迫响应举例举例分析:l零状态响应 yx(t) = yh(t) + yp(t) = (-5e-t+4e-t/2)u(t) + e-3tu(t) 中l第一项表示由输入

9、 x(t) 诱发的由系统自身特征所决定响应(固有振荡)，是输入能量的一部分，l第二项受迫响应是输入能量的另一部分，具有输入信号的频率特征(变化规律)。l全响应 y(t) = (-6e-t+6e-t/2)u(t) + e-3tu(t) 与零状态响应比较，可见自然响应中确包含有全部的零输入响应全部的零输入响应和零状态响应的一部分零状态响应的一部分。2.3 有跃变的零状态响应（不作要求）有跃变的零状态响应（不作要求）初始条件有跃变时 x(0+) 0，初始条件应为: y0(k)(0+) = 0 yx(k)(0+) = y(k)(0+) 不全为 0不全为零，,)0(),0(),0(1)()() 1()

10、1 (00nmiiinkkkyyyitxDbtyDa(1)先定初始条件 y(k)(0+) 物理概念法物理概念法例:以电路系统如右图，对应的微分方程为11( )( )( )i ti te tRCR其中 e(t) = u(t)，求零状态响应(t) 函数匹配法函数匹配法(1)(1)(),(),()000nyyy由于信号输入系统时 x(t) = f(t)u(t)，方程(1)的右边就会出现最高为 m 阶的 导数 (m)(t)项，因此，(1)的左边 Dny(t)中也含有(m)(t)项，而其它 Dky(t) 项含 (m)(t) 的 n-k 重积分项。通过对方程(1) 两边 m 次积分，利用 (k)(t) 及

11、 (t) 性质和就可定出初始条件 例:( )5 ( )6 ( )( )( ),( )( )ty ty ty tx tx tx tu te求系统的零状态响应。(t) 函数匹配法函数匹配法微分特性法微分特性法miiinkkktxDbtyDa00)()(0)0( )0()0( )()( )1(00yyytxbtyDannkkk(LTI 系统)利用：x(t)y(t)；Dkx(t) Dky(t)。求的零状态响应yx(t)，可先求，(x(t)不含(t)及其导数)的解 )()( txty则：111( )() ( )mmmmoxtDy tybbbbDD微分特性法微分特性法微分特性法微分特性法)()23()()

12、(32tueeeydttydtytttxxx则：2.4 单位冲激响应单位冲激响应vx(t) = (t) h(t) 单位冲激响应单位冲激响应(零状态响应)vx(t) = u(t) s(t) 单位阶跃响应单位阶跃响应(零状态响应)2.4 单位冲激响应单位冲激响应v (t)函数匹配法求h(t)000( )( ),( )( )( )( )nmkkkkkknkkkh tx tx ttabDDh tta D先求的解。先用 (t) 函数匹配法求初始条件：)0(,),0(),0() 1(hhhn2.4 单位冲激响应单位冲激响应 微分方程特性法求 h(t)：注意：方程 (1) 中 n m 时，h(t) 中包含

13、(t) 及 (t) 的最高到 m n 的导数项(即，在 h(t) 中要加相应的项)。2.4 单位冲激响应单位冲激响应例：求由方程 )()()(6)(5)(txtxtytyty决定的系统的单位冲激响应。解：令 ( )5 ( )6 ( )( )(1)hth th tt由0652 rr得 r1 = 2，r2 = 3(0 )1, (0 )0hh2.4 单位冲激响应单位冲激响应 仍先求(1)式的解，（不作要求）2.5 卷积积分卷积积分2 , 1 , 0 , 1, 2,0) 1(,1)(ktktkkt其它)(lim)(0tt)()( 0),()( txtxtxtx，有1用冲激函数表示的任意函数位移脉冲：,

14、0)()()( dkktkxtxk时当kktkxtxtx)()(lim)( lim)(00则：( )( ) ()( )( )x txtdx tt 则：物理意义：任意信号 x(t) 可以由单位冲激函数(基函数)的加权积分表示2.5 卷积积分卷积积分( )( ) ()( ) ()x txtdxh td 卷积)()()()()()()(thtxdthxtytytx有 (t)h(t); x()(t)x()h(t); 结论：LTI 系统对于任意信号 x(t) 零状态响应可以由该信号与系统的单位冲激响应的卷积得到：dthxty)()()(或)()()(thtxtyl h(t)是系统特性的描述和表征l 因果

15、系统： h(t) = 0，t 0，h(t) = u(t)，求系统的零状态响应。2.5 卷积积分的运算和图解卷积积分的运算和图解)1 (1)(0,00,)()(0eadetyttethxattaa，值其它)()1 (1)(tueatyatt 2T0 x(t) -2T -T -To 0 To T 2T t -3T -2T T 0 T 2T 3T t x(t) To =3T 2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质12( )( )tx tx例1.求卷积解：(1) 图解辅助法。2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质201211122211,012323,12( )( )21923,23220,ttttdtt

16、ddttttx txdttt 其它2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质)2() 1() 1()() 1()2() 1() 1() 1()()2() 1()2()2() 1() 1()() 1()()(2)1 (tututututtututtututtttututtttututx)2() 1(2)()(2)2(ttttxttttttttttututttututttututtxtxtxttttxtxtxtxtx其他,020, )29321(20, )233(10,21)3()2()29321()2()1()233()1()(21)2()1(2)()2()1(2)()()()()()(2222221

17、)2(1)2(1)2(1)2(2)2(1)2(122.6 卷积积分的性质卷积积分的性质12( )( )tx tx、例2.信号如下图所示，试计算二者的卷积12( )( )tx tx解：此题 x2(t) 为时限信号，它在 t 时不趋于零。看有两种解法有什么结果。解法一解法一.利用微分积分性质计算卷积。先对 x1(t) 积分、对 x2(t) 求导其图形如下(a)，(b)所示。ab2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质)2()2()()()()()(1)1(1)1(2)1(1)1(12txttxtxtxtxtx于是解法二解法二.利用图解法计算卷积。ttttttttdtddtddtxtxtt4,040,4

18、01,341,74,040,01,31,3)()(6222622162122.6 卷积积分的性质卷积积分的性质(1)2( )(2)xtt (1)2( )(2)(2)ttxddu t 上述两结果不同，二的结果肯定是对的，一的不对，原因是在解一中:的积分不能复原 x2(t)，x2(t)不能唯一地代表 x2(t)的导数。，之所以这样，是由于：(1)222( )( )()txdtxx当且仅当2lim ( )0tx t才能由(1)2( )(2)xtt的积分复原x2(t)。解法三解法三. 将非时限信号分解再求卷积。 设 x2(t) = 1 u(t+2)，则121( 1)1126( 1)112( 1)1( )( )( )1(2 )( ) 1( )(2)3(2)7(2)x tx tx tu tx txttddxtxt 2.6 卷积积分的性质卷积积分的性质( )( ) ()xy txh td)()()()()()()(thtxdthxdthxtyx例题5.(a)已知某LTI系统，设其冲激响应为