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文档简介
1、1 空间曲线的空间曲线的切线与法平面切线与法平面 空间曲面的空间曲面的法线与切平面法线与切平面 1.两向量的数量积及两向量平行和垂直的充要条件两向量的数量积及两向量平行和垂直的充要条件; 2.直线的方向向量与空间直线方程直线的方向向量与空间直线方程;3.平面的法向量与空间平面的方程平面的法向量与空间平面的方程;4.隐函数的存在定理隐函数的存在定理3. 曲线方程为参数方程的情形:曲线方程为参数方程的情形: tzztyytxx,曲线方程为一般方程的情形:曲线方程为一般方程的情形: 0,0,zyxgzyxf曲面方程为显函数的情形:曲面方程为显函数的情形: 曲面方程为隐函数的情形:曲面方程为隐函数的情
2、形: yxfz,0,zyxf2一一. . 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 tzzztyyytxxx 000割线割线 mm0的方程为的方程为:zzzyyyxxx 0000tt ,0000zyxmttt 0zzyyxxm 000,1. 设空间曲线设空间曲线 的参数方程为的参数方程为: ,tztytx 并假定这三个函数都可导。并假定这三个函数都可导。 0mmxozyt,0zyxmm 000000tzztyytxx 3即得曲线即得曲线 在在 0m处的处的切线方程为切线方程为: 000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为: : 0000000zztyytxxt 切线的方向向量
3、切线的方向向量 000,tttt 称为称为曲线的切向量曲线的切向量。 过点过点 0m与其切线垂直的平面与其切线垂直的平面, 在在0m的的法平面法平面。 称为曲线称为曲线 42. 若空间曲线若空间曲线 的方程为的方程为: ,xzxy 曲线曲线 在点在点 0000,zyxm处的处的切线方程切线方程为为: 000001xzzxyyxx 法平面方程法平面方程为为: 000000zzxyyxxx 曲线曲线 的的切向量切向量为为: 00, 1xxt xzxyxx 取取 x为参数,为参数, 它就可以表为参数方程的形式:它就可以表为参数方程的形式: 5该曲线在点该曲线在点 0m处的处的切向量切向量为为: 00
4、, 1xzxyt切线方程为切线方程为: 000001xzzzxyyyxx法平面方程为法平面方程为 : 000000zzxzyyxyxx3. 若空间曲线若空间曲线 的方程为的方程为: ,z ,y,xgz ,y,xf 00点点 0000z ,y,xm, 0,),(000zyxzygfj在曲线在曲线 上,上, 设设 gf、有对各变量的连续偏导数,有对各变量的连续偏导数, 且且该方程组在点该方程组在点 xzzxyy,的某个邻域内唯一确定一组隐函数的某个邻域内唯一确定一组隐函数0m6方程组方程组: 0,0,zyxgzyxf在点在点 0000,zyxm的某一邻域内确定的某一邻域内确定 一组隐函数一组隐函数
5、 ,xzxy 两边对两边对x求全导数,得求全导数,得 00dxdzzgdxdyygxgdxdzzfdxdyyfxf, 0,zygfj由假设知,在由假设知,在 0m的某一邻域内的某一邻域内 所以有所以有 . ,zyzyyxyxzyzyxzxzggffggffxdxdzggffggffxdxdy 7为曲线在点为曲线在点 0m处的一个切向量,其中处的一个切向量,其中 00, 1xxt . ,000000mzyzymyxyxmzyzymxzxzggffggffxggffggffx 把切向量把切向量 00, 1xxt 乘以乘以 ,0mzyzyggff得得 0m处的又一个处的又一个切向量切向量: 000,
6、1myxyxmxzxzmzyzyggffggffggfft曲线在点曲线在点 0m处的处的切线方程切线方程还可表示为还可表示为: 000000myxyxmxzxzmzyzyggffzzggffyyggffxx80000000zzggffyyggffxxggffmyxyxmxzxzmzyzy曲线在点曲线在点 0m处的处的法平面方程法平面方程为为: 如果如果 , 00mzyzyggff而而 00,myxyxmxzxzggffggff中有至少有一个不为中有至少有一个不为0 , 上面的切线及法平面方程仍然成立。上面的切线及法平面方程仍然成立。 上面的切线及法平面方程主要用于当上面的切线及法平面方程主要用
7、于当 00mzyzyggffj时,时, 要求曲线的切线与法平面的情形。要求曲线的切线与法平面的情形。 9例例1. 求曲线求曲线 32tz ,ty, tx 在点在点 111,处的切线及处的切线及 法平面方程。法平面方程。 解解:,tz23 ,x1 , ty2 点点 111,对应于参数对应于参数 ,t1 切向量为切向量为: 3,2,1t切线方程为切线方程为: 312111 zyx法平面方程为法平面方程为: 013121 zyx即即: 632 zyx10例例2 求曲线求曲线 421323,mxzxy:在在点点 处的切线方程和处的切线方程和法平面方程。法平面方程。 解解 1 62 z,xy所以切向量为
8、所以切向量为 : 1 , 6 , 1t切线方程为:切线方程为: 146211 zyx法平面方程为:法平面方程为: 04261zyx0176 zyx即:即: 323xzxyxx的参数方程为的参数方程为 则曲线则曲线 取取 为参数为参数, x11解解: 010222zyz zyyx即即 1zyxzzyy则则.zyyxz .,t101 ,y,0121 切线方程为切线方程为:,zyx110211 或或.yzx 0202法平面方程为法平面方程为: ,zx011 即即0 zx, 03111 , 2, 11 , 2, 1zyzyj,zyxzy 例例3. 求曲线求曲线 06222zyxzyx在点在点 121,
9、 的切线及法平面方程的切线及法平面方程. ,z,1121 求导求导, 得得:x方程两边对方程两边对12例例4. 求曲线求曲线 0222222axyxazyx在点在点am, 0 , 00的切线及法平面方程的切线及法平面方程. 解解 设设 .,222222axyxzyxgazyxzyxf则则 . 0,2,2 ;2,2,2zyxzyxgygaxgxfyfxf, 00222, 0 , 00amzyzyyzyggff,220aggffmxzxz. 00myxyxggff曲线在点曲线在点 am, 0 , 00的切线方程为的切线方程为 020002azayx即即 azx0法平面方程为:法平面方程为: 0y1
10、3二二. . 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 1. 设曲面设曲面 的方程为的方程为: 0,zyxf 0000z ,y,xm为曲面上一点为曲面上一点,在曲面上过点在曲面上过点 0m任作任作一曲线一曲线 , 设其方程为设其方程为: tz ,ty,tx ,00000zyxmtt yzxo若若 000t,t,t 不全为零,不全为零, 则过点则过点 0m的切线方程为的切线方程为 000000tzztyytxx 过点过点 0m的所有曲线在点的所有曲线在点 0m处的切线处的切线 都在同一平面上都在同一平面上, 可以证明:可以证明: 曲面曲面 上上, 0m处的处的切平面切平面。 称该平面为曲面在
11、点称该平面为曲面在点 0m14事实上事实上,而曲线而曲线 在点在点 0m的切向量为的切向量为: 000t,t,tt 由于曲线由于曲线 完全在曲面完全在曲面 上,上, 0,tttf 00 ttdtdf即即 0,000000000000tzyxftzyxftzyxfzyx 引入向量引入向量 000000000,zyxfzyxfzyxfnzyx,tn0 即即两向量垂直两向量垂直。 对方程的两边求关于对方程的两边求关于 t的全导数,得的全导数,得 0,tzyxftzyxftzyxfzyx dtdf150,000000000000zzzyxfyyzyxfxxzyxfzyx曲面上过点曲面上过点 0m并并与
12、其切平面垂直的直线与其切平面垂直的直线称为曲面在点称为曲面在点 0m的的法线法线.法线方程为法线方程为:00000000000,0zyxfzzzyxfyyzyxfxxzyx切平面切平面方程为方程为: 向量向量 n为切平面的法向量为切平面的法向量 由于曲线由于曲线 是曲面上过点是曲面上过点 0m任意任意一条曲线,一条曲线, 它们在点它们在点 的切线都垂直于同一向量的切线都垂直于同一向量 ,n0m所以过点所以过点 0m的一切曲线在点的一切曲线在点 0m的切线都在一个平面的切线都在一个平面 曲面曲面 0m处的处的切平面切平面上。上。 在点在点 曲面的法向量曲面的法向量。 162. 若曲面方程由显函数
13、形式给出若曲面方程由显函数形式给出: yxfz,则令则令 0 zy,xfz , y,xf,ffxx 在点在点 0000z ,y,xm处切平面的一个法向量为处切平面的一个法向量为: 1,0000yxfyxfnyx切平面方程为切平面方程为: 0000000zzyyy,xfxxy,xfyx 法线方程为法线方程为: 10000000 zzy,xfyyy,xfxxyx,ffyy .fz1 17曲面曲面 yxfz,在点在点 0000z ,y,xm处切平面的一个法向量为处切平面的一个法向量为:1,0000yxfyxfnyx其其向上的法向量向上的法向量(它与(它与z轴的夹角为锐角)为轴的夹角为锐角)为 1 ,
14、00001yxfyxfnyx假设用假设用 、曲面的向上的法向量的方向角,则该法向量曲面的向上的法向量的方向角,则该法向量 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxffffffff 的方向余弦为的方向余弦为 18例例5. 求旋转抛物面求旋转抛物面 122 yxz在点在点 412 ,处的切平面及处的切平面及 法线方程。法线方程。 解(解(1) ,yxy, xf122 ,xfx2 1,2 ,44,1,2n切平面方程为切平面方程为: 041224zyx即即624 zyx法线方程为法线方程为:142142 zyx,2yfy点点处切平面的法向量为处切平面的法向量为:4 , 1 , 2解
15、(解(2) 令令zyxzyxf1,22,xfx2 ,yfy2 1 zf.1,2 ,2yxn19例例6 在曲面在曲面 xyz 上求一点上求一点 , 使这点处的法线垂直于使这点处的法线垂直于 解解已知平面的法向量为已知平面的法向量为 1 , 3 , 1n曲面曲面 xyz 在点在点 000z ,y,x处法线的一个方向向量为处法线的一个方向向量为 1,000 xyn,/0nn.xy113100 .yxz3000 解得:解得: ,y,x1300 所求点为:所求点为: 313, 该点处法线方程为:该点处法线方程为: 133113 zyx,zyx093 并写出这法线的方程。并写出这法线的方程。 平面平面 x
16、yy,xfz , yfx ,xfy 20小结:小结: 1.空间曲线的切线方程与法平面方程空间曲线的切线方程与法平面方程 2.曲面的切平面方程与法线方程曲面的切平面方程与法线方程 21例例4. 求曲面求曲面 3 xyzez在点在点 012,处的切平面及法线处的切平面及法线 解解:.efzz1 , yfx ,xfy 0 , 2 , 1n所求切平面方程为所求切平面方程为: 0122yx即即 42 yx法线方程为法线方程为: 002112 zyx032zyx或或 在点在点 处处,0 , 1 , 2方程。方程。习题习题8-6 6 03,xyzezyxfz设设22例例6. 求椭球面求椭球面 12222 zyx上
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