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1、例：给定一 4阶矩阵A =484L62 1 517 2 108 368 49,通过LU分解求逆矩阵Ar。1解：算法过程为：A(L-1 X L1 =第一步：求LU矩阵*0 lu»L10 设I L20I-L30000 11U00U01U02U03IL11001 X!0U11U12U13;L21L220 111010U22U23L31L32L33L 000U33J通过(4)(7)式可逐步进行矩阵L和U中元素的计算，如下所示:(计算L的对角)L00 = L11 = L22 = L33 = 1, (U的第一行)U 00 = a00(L的第一列.a10L10 =U00(U的第二行=4,U 01
2、= a01 = 2,u 02 = a02 = 1,U03 = aos = 5,)84=2, L20a20U 00吟 1.5,UiiU12U13=a11 L10U 01=a12 L10U 02=a13 L10U 031 / 4114（L的第二列 ）L2121U11 '1-L 20U 01 ) = "3 X3(8 - 1X 2) = 2L31U 11-L30U5(8 - 1.5 X 2)=-37 / 4（U的第三行）U 22 = a22 一 L20U 02 -L2iU1231x12x0 = 2,U 23 = a23 L20 U 03 (L的第三列)L21 U 136 1x5 2x
3、0 =1,1132=(a32 一 L30U 02 一 L31U 12 ) = X (4 - 5 X 1U 2225-上 X 0) = 1.25,3（U的第四行）U 33 = a33 L30U 03 L31U 13 L32 U 23 = 9 匸55-X 0-1.2531 = 0.25;经迭代计算，最后得到l和 U矩阵为:LAJ分解-后L矩阵:1.0000002.0000001.0000001.5000000.830080 1,000000 2.000000 666 陆？0.3300000.000009 1000000 1.2500000.6003000.0000003.0000001.00000
4、0矩阵二4.0000000.0000000.0000000.000000第二步：求L和U矩阵的逆u，l（1）求U矩阵的逆U00U01U02-JU03I4UoiU020U11U12U1303000U11U12U1300U22U2310102100U22U23000U33.L0000.25_ 000U33 -由式（9）可得矩阵U的逆的各元素计算如下:(1)u 00u 00U11U1113，U011 1 1 1 隔(U01U11)-盲(2 近)一飞U02U13U03U 22U 33U=0.5， U1222(U 01 U1200Ur"，U11 (U12U23U (U 01 U13U 00+
5、U 02U 22U 23丄(u 12U22) = 2(0 X 0.5)= 0U 113)=丄(2 X 0 +1X 0.5) = -0.1254(U23U33)= -2(1X4)+ U 13U33 ) = -( (-2) + 0X 4)+ U 02 U 23+ U 03 U 33-4(2x41x (-2) + 5x4)=-4.5(2)求L矩阵的逆Loo1orfl 0001L110021009I10 I11100L21L220121011I20 I21I220L31L32L33 ”L1.50.66671.251LI30I31I32I33 ”L10LL30L20由(8)式可得L矩阵的逆的各元素计算如
6、下00 = hh。=丄。1。= -2,|20 = -(L?。1。+ L21I10 3,5I30 (L30I00 + L31I10 十 L32I20) (1.5沢 1 十孑(-2) + 1 沢 3)1.916667(2)111 = 1,121= -L21I11 二-2,131 二-(L31I11 + L32I21) = 0.83333二1, l32 = -(L32I22) = -1.25 133=1；所以得到的逆矩阵为:雷矩阵的逆矩阵=1.080000 0*006060 0.色00000 0.060063-2.000000 1.0080003.030QQQ -2.836060-1.916667
7、0.833333 11矩阵的逆矩阵=0.1666670.3333330.0033000.8008800.2500000.0000000.030000 筑080000L0.125000 -4.S00000 0-000000 0.500000 0.0000000 _000000 一2.000000 4.080000(3)求A的逆矩阵由式(10)可计算得到矩阵A的逆，如下:0.25-0.166667 -0.125-4.5 1010.333330 lx0.50i0lL-1.916667 0.83333-1.258.833334-0.66667I 5.333333-3.66667 5.50.33333 0-2.66667 3-4.51-2L-7.6666673.33333 -5由程序计算出的结果如下:L矩阵和u矩阵乘宅4.0000062.0080001.6900695.8000808»0080067.0090082.69006010.0000004.0083068.0090003.603Q6Q6.8000906.0080080.0630004.600060000800原矩阵的逆矩阵:833334-3.6&6667
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