22函数的极限

1、1/2811111.lim()1 22 33 4(1)nn n nnn nnn 1111lim()1 22 33 4(1)11111111lim()()()()1223341nn 11lim()11 11232.0.2,0.22,0.222,.,0.2.2,.limnnnnuuuuu 则则292/28第二节第二节 函数的极限函数的极限000:;,:,;nxxxxx xxxx 数列的自变量变化趋势函数的自变量变化趋势的极限的极限时时一一)(.xfx的极限的极限时时)(. 1xfx 从几何上看，如果从几何上看，如果f(x)向右方延伸，越来越接近向右方延伸，越来越接近于一条水平直线于一条水平直线y=

2、a，则称常数，则称常数a为为x趋向正无穷大趋向正无穷大时函数时函数 f(x)的极限，记为的极限，记为lim( )( )()xf xaf xa x 或3/28极极限限是是否否存存在在例例xxalim.1：由由指指数数函函数数的的增增减减性性知知解解 :xy2 xy)(21 1. 0lim,10 xxaa时时当当;lim,1xxaa时时当当对于抽象的指数函数必须对对于抽象的指数函数必须对a进行讨论！进行讨论！ 设有函数设有函数 f(x)和常数和常数a，如果对于任意给定的，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 m ，当，当 x m时，恒有时，恒有 axf)(成立，则称成立，则称 x

3、趋向正无穷大时，趋向正无穷大时，f(x)以以a 为极限为极限.1. 定义定义lim( )( )()xf xaf xa x 或4/282.( )xf x 时时的的极极限限从几何上看，如果从几何上看，如果f(x)向左方延伸，越来越接近于一向左方延伸，越来越接近于一条水平直线条水平直线y=a，则称常数，则称常数a为为x趋向负无穷大时函数趋向负无穷大时函数 f(x)的极限，记为的极限，记为lim( )( )()xf xaf xa x 或例例2. 作出作出 y=arctanx 的图像的图像观察观察 时的极限时的极限x0yxy=arctanx22xx : lim arctan;2解解xx lim arct

4、an25/28 设有函数设有函数 f(x)和常数和常数a，如果对于任意给定的，如果对于任意给定的正数正数 ，总存在正数，总存在正数 m ，当，当 x m时，恒有时，恒有 axf)(成立，则称成立，则称 x 趋向正无穷大时，趋向正无穷大时，f(x)以以a 为极限为极限.3. 定义定义lim( )( )()xf xaf xa x 或( )lim arctan ( )xx 不不存存在在7/28“ x”形式：形式：.,)(,的带形区域的带形区域宽为宽为线线为中心为中心在以直线在以直线的图形完全落的图形完全落时时或或当当ayxfymxmx .|)(|,|,)(limaxfmxmaxfx 有有时时当当几何

5、意义几何意义mmaya a ox注注:8/284.4.定理定理 lim ( )limlimxxxf xaf xf xa ;021,:xx解解xx21,.21lim极极限限不不存存在在故故xx,.x 时时 指指数数函函数数无无极极限限nxnx 11lim0,lim0242.例例 m5.lixxa 极极限限是是例例否否存存在在？对吗？为什对吗？为什么？么？( )( )lim.xxa 不不存存在在9/280.( )xxf x二时的极限xg( x )xf xx.x 211( )11考考察察与与当当时时的的变变化化趋趋势势引例引例)(xfy 0 xxyoa0( )axxf x当 无限接近 时,无限接近于

6、0lim( )xxf xa10/28 设设f (x)在点在点x0的某一空心邻域内有定义的某一空心邻域内有定义, ,若对于任若对于任给的给的 00, ,总存在总存在d d 00, ,使得当使得当0| |x- -x0| |d, d,恒有恒有| |f (x) - -a| 成立成立, ,则称则称x x0时函数时函数f (x)以常数以常数 a为极限，记为极限，记为为).()()(lim00 xxaxfaxfxx 或或注注: 1.: 1.“dd”形式形式xxlim f( x)a,| xx | f( x)a|. d dd d 00000当当时时有有0002.xxxxx .表表示示 可可以以从从左左侧侧趋趋于

7、于, ,也也可可以以从从右右侧侧趋趋于于1.1.定义定义0 xx 0 xx 11/284.a0f ( x );,;xx,. d d d dd d 刻刻画画与与 的的接接近近程程度度越越小小 接接近近程程度度越越好好刻刻画画 趋趋向向于于的的程程度度, , 越越小小, ,一一般般 越越小小由由 确确定定 但但不不是是 的的函函数数3a0000.xxf( x)x,f( x ),f( x ).时时的的极极限限是是否否存存在在与与函函数数在在 点点处处是是否否有有定定义义无无关关 即即使使存存在在 与与的的取取值值无无关关不不一一定定等等于于12/28aaad0 xd0 x0 xddxyo02xx,y

8、f ( x )ya,.d d 当当 在在的的空空心心 邻邻域域时时图图形形完完全全落落在在以以直直线线为为中中心心线线 宽宽为为的的带带形形区区域域内内)(xfy 2.2.几何意义几何意义13/283.0( ),( ),f xxd f 如如果果为为初初等等函函数数 且且论论: :内内点点结结xxlim f xf x 00( )()则则00sinsinlim0 xx例如：例如：0limln(1)ln(01)0 xx 例如一次函数的极限例如一次函数的极限00lim()xxaxbaxb两个常用极限：两个常用极限：00lim,xxxx lim,().ccc 为为常常数数14/28三三. 单侧极限单侧极

9、限2yx, x2x只能从右边趋向于只能从右边趋向于2 yln 1x , x1x只能从左边趋向于只能从左边趋向于1仅仅只考虑仅仅只考虑 x 从从 x0 的某一侧趋于的某一侧趋于 x0 时时 f (x) 的极限的极限称为称为“单侧单侧”极限，即左极限与右极限极限，即左极限与右极限.15/28000,xxxxx记为记为左侧趋向左侧趋向从从000,xxxxx记为记为右侧趋向右侧趋向从从.)(lim0axfxx右极限右极限;)(lim0axfxx左左极极限限或或或或00()(0).f xf xa00()(0).f xf xa注意，注意，这里这里 f (x0+0)与与 f (x0 0)是两个记号，是两个记

10、号，分别表示分别表示 f (x) 在在 x0 点的右极限和左极限，要与点的右极限和左极限，要与函数值函数值f (x0)分区别开来。分区别开来。1.1.左、右极限定义左、右极限定义16/280002. lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xaf xf xa 2.2.极限存在定理极限存在定理一般用于判断分段函数在一般用于判断分段函数在分段点的极限是否存在分段点的极限是否存在.)(lim)(lim00 xfxfxxxx 与与)(lim0 xfxx从上述定理可知，如果从上述定理可知，如果中至少有一个不存在，或者虽然都存在但不相中至少有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，则等，则 不存在

11、不存在 1. lim ( )limlimxxxf xaf xf xa 17/281( )0116.1xxf xxx 例例设设xfff x 1:(10),(10),lim( )求求)(lim)01(:1xffx解解, 1lim1xx, 11lim)(lim)01(11xxxff)01()01(ff1)(lim1xfx18/2800lim()lim(3)3xxfxx 1 1) )解：解：1lim( )xf x 1lim(3)2xx 11lim( )lim(3)3xxf xxkk1lim( )xf x存在存在11lim( )lim( )xxf xf x23k 1k 31( )317.xxf xxkx

12、 设设例例0: lim()xfx1 1) )求求若若 存在求存在求 的值的值.1lim( )xf xk2 2) )19/281.单侧极限都存在但是不相等单侧极限都存在但是不相等.2001:lim;limarctan ;limsgn ;lim;xxxxxxxxxx如2.单侧极限至少有一个不存在五五. 极限不存在的几种类型极限不存在的几种类型振荡型单调型无穷型limsin ;xxlimcos ;xx01limsin;xx10lim;lim;xxxxaa20limtan ;lim ln ;lim ln ;xxxxxx 20/28xy1sin 1xy1 021/28.)(,)(lim00的某空心邻域内

13、有界的某空心邻域内有界在点在点则则若若xxfaxfxx 1.1.唯一性唯一性.,)(lim0则极限唯一则极限唯一存在存在若若xfxx2.2.局部有界性局部有界性3.3.局部保号性局部保号性00lim( ),0(0),0,0 |,( )0( )0).xxf xaaaxxf xf xdd若且或则存在常数使得当时 有或六六. 函数极限的性质函数极限的性质0(xx以为例)22/2800lim( ),( )0( )0),0(0).xxf xaxf xf xaa推论:若且在 的某空心邻域内或那么或4. 4. 保序性保序性0000lim( ),lim( ),0 |,( )( ) ( ),.xxxxf xag