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文档简介
1、2.4.1空间直角坐标系【学习目标】1. 了解空间直角坐标系的建系方式2 掌握空间中任意一点的表示方法3 能在空间直角坐标系中求出点的坐标.ET问题导学-知识点空间直角坐标系思考 i 在数轴上,一个实数就能确定一点的位置.在坐标平面上,需要一对有序实数才能 确定一点的位置为了确定空间中任意点的位置,需要几个实数呢?思考 2 空间直角坐标系需要几个坐标轴,它们之间什么关系?梳理(1)空间直角坐标系定义:为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点Q再作一条_,使它与x轴,y轴都_ ,这样它们中的任意两条都 _ ;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿 _ 方
2、向转 90能与y轴的正半轴重合.这时,我们说在空间建立了一个_Oxyz,Q叫做2坐标平面:每 _ 分别确定的平面yOz, xOz, xOy叫做坐标平面.3卦限:三个坐标平面把空间分为 _部分,每一部分都称为 _ .(2)空间中点的坐标过点P作一个平面平行于平面 _ (垂直于x轴),这个平面与 _ 的交点记为 _它在_的坐标为X,这个数x就叫做点P的x坐标.2过点P作一个平面平行于平面 _ (垂直于y轴),这个平面与 _的交点记为3_,它在_的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标.过点P作一个平面平行于平面 _ (垂直于z轴),这个平面与 _的交点记为_,它在_的坐标为z,这个数z就叫做点P的z
3、坐标.这样,我们对空间中的一个点, 定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作_.其中x,y,z也可称为点P的坐标分量.类型一 确定空间中任意一点的坐标例 1 已知棱长为 2 的正方体ABCBA B C D,建立如图所示不同的空间直角坐标系, 试分别写出正方体各顶点的坐标.反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.(2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平 行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是
4、求空间点坐标的关键.跟踪训练 1 在棱长为 1 的正方体ABCABCD中,E F分别是DD BD的中点,点G在棱CD上,且CG=4CD H为CG的中点,试建立适当的坐标系,写出E、F、G H的坐标.类型二 空间中点的位置的确定 例 2 在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6)反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1) 利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P.21题型探究4(2) 构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的位置.(3) 通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点P.跟踪训练 2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y轴上B.
5、xOy平面上C. xOz平面上D. yOz平面上类型三空间点的对称问题例 3 求点A(1,2 , - 1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.反思与感悟以下几条对称规律要在理解的基础上熟记:(1) 点A(x,y,z)关于x轴的对称点为A(x, -y,-z),关于y轴的对称点为A(x,y, -z),关于z轴的对称点为A(-x, -y,z).(2) 点A(x,y,z)关于原点的对称点为 A( -x,-y, -z).点A(x,y,z)关于xOy平面的对称点为 A(x,y, -z),关于xOz平面的对称点为 As(x, -y,z),关于yOz平面的对称点为A(-x,y,z).关于坐标轴和坐标平面对
6、称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变, 其余的相反”. 跟踪训练 3 已知点P(2,3 , - 1),求:(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标;点 P 关于各坐标轴对称的点的坐标;(3) 点P关于坐标原点对称的点的坐标.当堂训练1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2+b2B . |a| C . |b| D . |c|52 以棱长为 1 的正方体ABCDABCD的棱AB, AD,AA所在的直线为坐标轴,建立空间直如图所示,则正方形AABB的对角线的交点坐标为()PiA;|PP| = 1,则点P的坐标是坐标为5.如图,正四棱柱ABCBABCD(底面为正方形的直棱柱)中,
7、|AA| = 2|AB= 4,点E在CC上且|CE= 3|EC试建立适当的坐标系,写出点B, C, E,A的坐标.E_ C厂规律与方法 -!角坐标系,f)1A. (0 , 212)1B.(2, 0,12)0)1 1D.(2, 2,12)3.如图所示,点P在x轴的正半轴上,且|0P| = 2,点P在xOz平面内,且垂直于x轴,4 .点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点;点Pi关于z轴的对称点F2的61 空间中确定点M坐标的三种方法(1)过点M作MM垂直于平面xOy,垂足为M,求出M的横坐标和纵坐标,再由射线MM的指向和线段MM1的长度确定竖坐标构造以0M为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长
8、结合点M的位置,可以确定点M的坐标(3) 若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面或点M在坐标轴或坐标平面上, 则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标.2求空间对称点的规律方法(1) 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律, 才能准确求解(2) 对称点的问题常常采用“关于谁对称谁保持不变,其余坐标相反”这个结论7合案精析问题导学知识点思考 1 需要三个实数.思考 2 空间直角坐标系需要三个坐标轴,它们中任意两条互相垂直.梳理(1)数轴z垂直 互相垂直逆时针空间直角坐标系坐标原点2两条坐标轴3八一个卦限yOz x轴PXx轴上xOz y轴Pyy轴上xOy
9、z轴FZz轴上P(x,y,z)题型探究例 1 解 对于图,因为点D是坐标原点,A, C, D分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上.又正方体的棱长为 2,所以 Q0,0,0) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,D(0,0,2).因为点B在xDy平面上,它在x轴,y轴上的投影分别为A,C,所以耳 2,2,0).同理,A (2,0,2),C(0,2,2).因为B在xDy平面上的投影是B,在z轴上的投影是D,所以B(2,2,2).对于图,代B,C, D都在xD y平面的下方,所以其z坐标都为负,A,B,C,D都在xD y平面上,所以其z坐标都为零.因为D是坐标原点,A,C分别在x轴,y轴的正半轴上
10、,D在z轴的负半轴上,且正方体的棱长为2,所以 D (0,0,0) ,A(2,0,0),C(0,2,0) ,D(0,0 , - 2).同,得 B (2,2,0) ,A(2,0 , - 2) ,C(0,2 , - 2) , 02,2 , - 2).跟踪训练 1 解 建立如图所示的空间直角坐标系.4 ” a-輕耳护飞.V1点E在z轴上,它的横坐标x、纵坐标y均为 0,而E为DD的中点,故其坐标为(0,0 , ?).11 11 过F作FMLAD FN丄DC由平面几何知识,得FMh刁FN= ,故F点坐标为(?,?,0).一3一3点G在y轴上,其x,z坐标均为 0,又DG=4,故点G坐标为(0 , 4,
11、 0),过点H作HK!CG71于K,由于H为CG的中点,故K为CG的中点,即点H的坐标为(0 , R -例 2 解 方法一 第一步:从原点出发沿x轴正方向移动 5 个单位第二步:沿与y轴平 行的方向向右移8动 4 个单位.第三步:沿与z轴平行的方向向上移动 6 个单位(如图所示), 即得点P方法二 以0为顶点构造长方体, 使这个长方体在点0处的三条棱分别在x轴,y轴,z轴的 正半轴上,且棱长分别为 5,4,6,则长方体与顶点0相对的顶点即为所求点P跟踪训练 2 C 点(2,0,3)的纵坐标为 0 ,此点是xOz平面上的点,故选 C.例 3 解 过点A作AMIL平面xOy于M并延长到点C,使AM
12、= CM则点A与点C关于坐标 平面xOy对称,且 0,2,1)过点A作ANLx轴交x轴于N,并延长到点B,使ANhNB则A与B关于x轴对称且B(1 , 2,1),A(1,2 , 1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1),关于x轴对称的点为B(1 , 2,1).跟踪训练 3 解(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P,则点P在x轴上的坐标及 在y轴上的坐标与点P的坐标相同,而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相 反数.所以,点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3,1).同理,点P关于yOz, xOz坐标平面的对称点的坐标分别为(一 2,3 , 1), (2 , 3, 1).设点P关于x轴的对称点为Q贝 U 点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同,而点Q在y轴 上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数.所以,点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2 , 3,1).同理,点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(2,3,1),(2,3,1)(3)点P(2,3 , 1)关于坐标原点的对称点的坐标为(一 2, 3,1).9当堂训练1. D 2.
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