第05章不定积分

1、第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1、原函数：若Nx亡I , F '(X)= f(X),则称F(x)为f (x)在I上的一个原函 数.例如：(si nx)'=cosx , si nx 是 cosx 的原函数.2、原函数性质(1)原函数存在定理: 原函数F (X).设f(X)壬C(l),则f(X)存在I上的 若F(x)为f(x)在I上的原函数，贝y F(x) +C都是f(X)的原函数,其中C为任意常数. 若F(x)和G(x)都是f (X)的原函数，贝y 3C亡R, s.t. F(x)-G(x)=C证明：一If(x) -G(x)丄 F '(X)-G

2、(X)= f(X)- f(X)= 0. /.3C R, s.t. F(x)G(x)=C. 设F(x)为f (X)在I上的原函数，则f(x)在I上全体原函数为F(x) +C,C< R.3、不定积分：函数f(x)在I上的全体原函数称为f(X)在I上的不定积分，记作J f (x)dx .其中:(1) J称为积分号；(2)f(x)称为被积函数；(3)f (x)dx称为被积表达式.(4) x称为积分变量.显然,若F(x)为f (x)在I上的原函数，则Jf(x)dx=F(x)+ C, C 为任意常数.例 1 求 fx5dx.解违丿= x5,”. fx5dx6x +C61例2求匸严., 1解：丁(ar

3、ctan x )=1J 丄 2dx=arctanx+C.1 +x例3设曲线通过点(1，2) 的两倍，求此曲线方程.，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标解：设曲线为y = f(x),根据题意知 业=2£dxT(X2 ) =2x,J2xdx =x2+C,于是 f(x)=x2+C,又f (1) =2 = C =1,所求曲线方程为y=x2+1.4、积分曲线：函数 f(x)原函数y=F(x)的图形称为f(x)的积分曲线.注：f (x)的不定积分是一簇积分曲线F(X)+C 5、(1)导数与不定积分的关系f f '(x)dx = f (X) +C .f f (x)dx = f(X).

4、dx、Jdf (X) = f (X) +C . d f f (x)dx = f (x)dx .可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的二、基本积分表1、问题提出例：屮+1丿= x'(4 = -1)=仪妝=+C、 » +1启示：能否根据求导公式得出积分公式?结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式2、基本积分表Jkdx=kx + C （k为常数）；肢如=一+C （2-1）;+1、八dx=ln| x|*C;x=丄（_汀=丄,-xxdx证明： x>0, = f=ln x+C, xcO, In( x) xJ =ln |x| Cx1f X = arc

5、ta n x + C; '1+x21I" J dx = arcs in x +CJcosxdx = sin x +C;(8)(9)(10)(11)(12)(13)Jsin xdx = -cosx +C;.dx .2/2 = Jsec xdx = tan x +C;' cos x 、J 密=fcsc2 xdx = -cot X +C; 'sin Xfsecxtan xdx = secx +C;fcscxcot xdx = -cscx +C;JeXdx =eX +C;Xfaxd =+C;In a三、不定积分的性质、j f(X)±g(x)dx = Jf (

6、x)dx± Jg(x)dx.ddd证明：一(f f (x)dx ± g (x)dx)= f f (x)dx ± f g(x)dx dxdxdx=f(X)±g(x),J f(X)±g(x)dx =J f (x)dx ± Jg(x)dx.2、Jkf(x)dx 斗 Jf (x)dx. ( k是常数，k 工0).plpl证明:一(k f f (x)dx f f (x)dx = kf(X), dx、dx 、二尹2+C. jJdx二行 +C 丿32x -3x + 3x-1Jkf (x)dx =k J f (x)dx.X1-3x +3ln | x

7、I+2 +C2xJ(ex -3cosx)dx =ex -3sin X +C .X XXJ2 e dx = f(2e) dx2xexIn (2e)X +(1 + x2)1 +ln 21+x+ X2V八dx = dx x(1 +x2)+ jhx = arctan x + In | x | +C . X' x(1 +x2)1f dxT +x2' 11 +x2dx =J+CIn aX4 T +1M +x2x3=一x +a ret axC .35x2 gJx2T+1+x2j101112ftan xdx = J (sec x 1)dx = tan x x + C 2 x11fsin dx

8、= f (1 -cos)dx =(X -sin x) + C . 2、221 1 1 ,J 忑赢dx = J1+2cos2x-1dx=2 JeosqdxJan2第二节换元积分法一、第一类换元法1、问题提出问题：如何求 J2cos2xdx ?分析：丁 2cos2x =cos2x (2x)' = (sin2x)', J2cos2xdx =sin 2x +C .解法：令 u=2x,由于 fcosudu =sinu+C, 而 du =2dx, cosu =cos2x, J2cos2xdx =sin 2x + C .2、第一类换元法 定理：设f (u)具有原函数，u =®(x)

9、可导，则有换元公式证明:Jf玖x)A(x)dx 由 f(u)duu 曲X).f(u)du二一rf(u)du 竺= f(u)申 ©) = f叫x)®'(x), dxdudxJf(x)®(x)dx = Jf(u)duu&x).1u 三七X 1111f X = fdu = ln | u | + C = ln'3+2xd心dx2'u22|3 + 2x| C2xex2dx：= reudu =eu +C =ex2 +C.、du z2xdx、< u idJx J1 -x2dx ="du xdx3丄 Wldu1ui+c2'2

10、 3込时7+c.ftan xdx = fsin xdx cosx=d=ln|cosx|+C. cosx1 1kdx蔦f1d(-) Jarctan +C .1¥)2a a aa-x2dx =d(-) =arcsin -+C , (a。). aax2 -aydxd（x）adu1 rd(U -1)2a 、 u -11 2 1(一ad心X a . u2 -1 2a . u -1 u + 11 )dufd(u+1)2a u +11 ln |u -1|-丄2a2aIn |u+1|+Cx ,一一1lnu -1+ Clna+ Clnx-a2au +12ax+12aX + aardxr d l n X

11、1 rd(1 +2ln x)2' 1 +2I nx'x(1+2l nx) 1 +2l nx1-ln |1+ 2lnx|+C .9 J二7=dxvxdu仝2Jx2 Je3udu =2 Je3ud(3u) =2e3u +C =2e3、'x +C 3 3310 Jsin3 xdx = - Jsin2 xdcosx = - J(1 -cos2 x)d cosx1 3=-cos x +-COS x+C.311 Jsin2 xcos xdx = Jsin2xcos xd sinx = Jsin2 x(1 sin2 x)2dsinx=(sin2X 2sin4 x + sin6 x)d

12、 sin x = sin3 x -2sin5 '35x+sir/x + C .7212 fcos xdxcos2xdlx21+ -sin 2x +C .413 Jcos4xdx31=X sin 2x +841sin 4x +C .32其中：cos4 x=(cos2 x)22q+cos2x、11+cos2x + cos" 2x 241 1.=一 + cos2x +、4 241 1 + cos4x3 1.=一 + cos2x + cos4x.8 2dx例 14 Jsecxdx = J、cosxd sin x2cos xd sin x"sin2x1-Tnsin X Tsi

13、n X +11-si n2x+ C =ln1 +sinxcosx+C =1 n|secxtan* +C .1 11例 15 fcos3xcos2xdx = f(cosx +cos5x)dx = sin x + sin 5x + C .2 210注意到：coscos P = -cos(a + P)+cos(a 一 P).2二、第二类换元法1、问题提出问题：如何求 J -x2dx ?解法：如果令x=si nt,t引一,那么2'2 1 1 f Jl -x2dx = fcos2tdt = -t +-sin 2t +C241111.=-t +-sin tcost +C =-arcsin x +

14、-x J1 -x2 +C .22222、第二类换元法(1)定理：设x=(t)是单调的、可导的函数，并且屮'(t)MO,又设f 屮(t)屮(t)具有原函数，则有换元公式Jf(x)dxm Jf 屮(t)屮'(t)dt(x). 其中羽(x)是(t)的反函数.证明：；Jf%)(t)dt=JfMt)(t)dt孚 dxdtdx11= fW(t)W(t) _ = f屮(t)屮帀=f(x) dtJf(x)dxm Jf 屮(t)屮'(t)dtzx)./ 2 2 va -x ,可令X =asint ；Ja2 +x2 ,可令X =atant ；/ 2 2 vx -a ,可令X =asect.

15、例16 dxx=ata ntf a sect tan tdt Ja2 +x2a J1 +ta n21(2)三角代换一般规律：当被积函数中含有Jsectdt =ln |sect +tant |+G=In | Jl +tan2t +tant | +G = In 卩 +()X)2a a=ln |x + Ja2 +x2 | £ . ( a >0)其中：C = G -In a .例 17 rx-sect asecttantdt-a2 o«2 aJsec2t -1=Jsectdt = In | sect +tan 11 +G=In |sect + Jsec t -11 *Ci =

16、In + j()2 -1=ln | x + Jx2 -a2|£. ( xaO) 其中：C=GI na.同时dxJx2 -a2匸卄卄C2d(X)=ln-X + Jx2 -a2=InX + Jx2 - a2a2=In X + Jx2 -a2 +C .(xvacO)其中：C=C2-2Ina.总之:dx/2 2 vx -a=In |x +Jx2 -a2 | +C . ( a >0)（3）倒代换当分母的阶较高时,可采用倒代换：Xh1txt例 18dxJt4-（1）2（十）dt 二 J2-1dt13=一1 f( -1)2d( j) = 一1)2 +C2 2 3一1&十 C三、基本积

17、分表（续）(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)192021Jtan xdx = -ln | cosx | 弋;Jcotxdx = In |sin x | 弋;Jsecxdx = In | secx + tan x | +C ；Jcscxdx = In | cscx - cot X | +C ;1. XV 22dx =arcsin + CVa -X2a1'X2 +2x +3dx1XTx arcta n+c ；aa, 1 ,X adx =ln+ C ；2aX +aX =ln | X + Jx2 ± a2a-rd(x +1)dx(X +1)2 +(V2)

18、2，a2 +x2122X -a1Jx2 ±a= 2arcta n 厂72J2x + cd(2x)J4x2 +9dx*(2x)2+332 ln(2X + P4X2 +9) +C .dx(1 +x -X2L V5 22 ,1/12d(牙)-X +2 x - -(3)1 1d(x-)xc 彳2.2. 2x-1匸=arcs in 严 +C = arcs inj= +C1 2v5V5r2云第三节分部积分法一、分部积分法1、问题提出由于(xsin X)' =xcosx +sin x ,那么Jxcosxdx +Jsin xdx = J(xcosx+sin x)dx =xsinx + C ,

19、从而Jxcosxdx = xsin x - fsin xdx + C = xsin x + cosx + C .2、分部积分公式Juvdx =uv - Ju vdx 或Judv=uv - Jvdu证明:丁(UV) = u v+uv', uv'=(uv)'-uv Juv dx = J(uv) dx - Ju vdx = uv - Ju vdx .u nfxexd= Juvdx =uv Ju vdx = xe fexd xex -ex +C .Jx2exdx = Jx2dex =x2ex - Jexdx2 =x2ex -2 fxexdx= x2ex -2ex(x-1) +C

20、 =ex(x2 -2x +2)+C .3、u与v的选择要求(1) V易求出； fvdu比fudv容易积出.般地:被积函数为xnex、xn sinx与xn cosx时选择u = xn.例如:U =x(1) fxexd= Juvdx =uv- JuVdx =xeX fexd xex -eC .(2) f xexd = fuvdx =uv- fu Vdx = 1x1 2eX 丄 fx2exdx.V rn22U zex显然，Jx2eXdx比fxexdx更难积出.1 例 3 Jxin xdx =5 JIn xdx21 2=-x In21 2 I=-x In2=-x In212121x -2Jx2d In

21、 xJx2 丄dx xJxdx1 1 2 -2*= xarccosx-(1-x )+C21+12= xarccosx - J1-x2 +C.1例4 Jx arctan xdx =，Jarctan xdx2x=一arctan x22=arctan x22x=arctan x22=arcta n x22x=arctan x2Jx2d arctanx2fdx 十X21 +x2 -1J 4, 2 dx1 +xJdx +丄2 1 +x1+ - arcta n x + C21 2x= -(x2 +1)arctanx - +C2 2二、间接计算方法例 5J'exsin xdx =-JeXj cosx

22、x-ecosx-excosx/ex cosxdxx-ecosxfexd sin xx-ecosxX r I xe sin X Jsin xdex-ecosx*exsin X - fex sin xdxfexsin xdx = 1ex(sin x-cosx) +C . 2Jsec3 xdx = Jsecxd tan x=secxta n x Jta n xd secx=secxtanx - Jtanxsecxtanxdx=secxtanx - fsecx(sec x-1)dx=secxtanx - Jsec xdx + Jsecxdx fsec xdx =secxtan x +丄 fsecxdx

23、 ' 2 -1.=一 secx tan x + In | secx + tan x I +C 22解:l Fln(x2+a2)n(1) l1+dxxn 亡 N +, (a M 0).由于I n42 Jarctan +C ；+a a a=J 2 丁2 2 = ；(xa2)1dx(x +a )= x(x2= x(x2.21+ a )-Jxd(xa2)1x2一 wEydx= x(x2.21_q+ a )/ 2 . 2 2+2(n讪冷dx1x=.2 . 22(x +a )+ 2( n- 1)1心-2( n-1)a2ln, x 12(n -Daday+m3)1" n = 2,3,t X

24、例 8je'xdt 二 fet 2td2ftetd2et(t -1) +C =23叹(依1) + C .x£2第四节有理函数的积分一、有理函数的积分1、有理函数的化简有理函数：F(x)_ Pn(x) _ aoXn +a,x2 十+anx + an Qm(x) boXm +bxmr+bmjX + tmmd其中m ,n都是非负整数，ai及bj都是实数，并且ao = 0 ,bo = 0 .(2)假定F(x)分子与分母之间没有公因式 若n <m , F(x)称为真分式； 若n 3m, F(x)称为假分式.(3)利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和5.4 c例

25、如x+x -8= (x2 +X +1) +仝 -XX 2 + X + 1X5X2+ x83X -X3X4.3x + x42 X3 + 2X 十X3xX2、真分式P凶(n <m)的化简(可以证明)Qm(x)在实数范围内，多项式Qm(x)可分解为Qm(x) =b0(x -a)g(X -b) P(x2 + px +q)兀"(x2 +rx +s)4其中2 2p -4q c0,r -4s <0 .R(x)Qm(x)_ A(X-a产(x-b) P+ A +(Xa严+B2+辽(X-b )P十 MjX tlNj十 M2x(X2 +p x+qp(X2 + px+q)+ A +X -aBp+

26、 ! +x-b+ N2l+x2 + px + q卡.+ Rpxx +rx +s+R1X+S +R2X + S2(x2 +rx + s) ' (x2 +rx + s)旧例如X +3x+32X -5x+6 (x-2)(x-3)亠+旦X 2X 3亠亠X 2 X 3X +3 = A(x -3) + B(x -2) = (A + B)x -(3A +2B)A+B =1, -(3A+2B) =3 二 A = 5, B =6.1+丄丄_丄X(X -1)2 X (X-1)2 X-1 X (X-1)2X-1=1 = A(x -1)2 + Bx +Cx(x -1)，那么取 x=0= A=1 ； 取 x=1

27、= B=1 ；取 x=2= C=T.2x+1551+x2A Bx+C(1+ 2x)(1+x2)_1 莎 1+x21+2xo=1 = A(1 +x ) + (Bx +C)(1 +2x)，即21 =(A+2B)x2 +(B +2C)x +C +A,3、(1)=A+2B =0, B +2C =0, A+C =1 =4A =, B52-,C5有理函数的积分有理函数积分可以化成一个多项式的积分和一个真分式的积分;真分式的积分可归结为以下四种类型的积分:dx-d=ln |x-a|+C ； X -adxJ/ 、n “、('z+C，n1,n壬 N +；(Xa) (1 n)(xa)Mx +N2 2M d

28、(t +a )2dx !22x +px+qaH-p_b虫地 2 “ t +a42dt+叫+2=ln(t2 +a2) +-arcta+C ；2a a+卫fp2其中：x2+px+q = !x +卫 I +q- =t2 +V 2jM 22)dx=d(t2 +a2)+bdtM 2Mp(Mx + N)dx = d(x +px+ q)+(N-wMx +N同 Md(t2 +a2) t r叫 t2+a2)n J - dx = J 22 n(X2 + px+q)n2 (t2 +a2)ndt=M2+ bln, n >1 ,n N +2(1 -n)(t +a )(3)定理：有理函数的原函数都是初等函数x +3

29、例1乔6dx =f _56)f +dx = 51 n| x-2|+6ln |x-3| +C .lx2 X3 丿例x-2(x+1)-31d(x + 1)2+2 3 2dx - f2 dx - 2-3 2 r 2x + 2x+3.(x+1) +22- (x + 1) +2 (x十俨 +(V2)2(x+1)-3d(x + 1)=1 n(x2 +2x +3) -2arctan罕 +C2弋 2V21 1 1十kdxxX -1(X-1)2In |x| -In |x-1|-丄 +CX 1'(1+ 2x)(1 +x2)dx_2 +1十 551+2x1+x2dx4 fd(1 + 2x)1 fd(1 +

30、x2) + 1 f dx10 1 +2x 5 1 +x25 '1 +x24121=一In |1 + 2x| In(1 +x2) + -arctanx + C .1055二、可化为有理函数的积分1、三角函数有理式的积分Xt 出 n_222t 1 t2t那么 J R(sin X, cosx) dx = f R(2,2fR(sin x,cosx)dx= fR( , ) dt,、1+t2 1+t2 1+t2X其中：R(u,v)为u,v的有理式.而t =tan-称为万能代换.2X证明：由于t =tan ,那么 X22= 2arctant,从而 dX=dt,且sin X =2s in cos-2 22ta rrX22ta n£22 X sec 一 2cosx = cos2 X - sin2 -=2 22 X sec - 21+ta