正弦和余弦转换

1、公式一:设 a为任意角，终边相同的角的同一的值相等：sin (2k n+ a) = sin acos ( 2k n+ a) = cos atan (2k n + a) = tan acot (2k n+ a) = cot a公式二：设 a为任意角，n + a勺与 a的三角之间的关系:sin (n+a) = sin acos ( n+ a) = COS atan ( n+ a) = tan acot (n+a) = cot a公式三：任意角 a与-a的三角函数值之间的关系: sin ( a) = sin acos ( a) = cos atan ( a = tan acot ( a) = cot

2、 a公式四：利用公式二和公式三可以得到n a与a的三角函数值之间的关系：sin (na) = sin acos ( n a) = COS atan ( n a) = tan acot (na) = cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2 n- a与a的三角函数值之间的关系:sin (2 n a =一 sin a cos (2n a = cos a tan (2n a = tan a cot (2 n a = cot a 公式六：n /2 ±与 a的三角函数值之间的关系:sin ( n /2十 a = cos aCOS (n /2Ha)= sinatan (n /2Ha)= C

3、Otacot (n /2Ha)= tanasin (n /2a)= COS aCOS (n /2a)= sin atan (n /2-a)= cot acot (n /2-a)= tan a诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k -n /2 ± a Z)的个三角函数值，当k是时，得到a的同名函数值，即函数名不改变;当k是时，得到a相应的余函数值，即sin 7cos;cossin;tancot,cottan.(奇变偶不变)然后在前面加上把 a看成锐角时原函数值的符号。(符号看)例如：sin(2 a) sin(4 -n-N，k = 4 为偶数，所以取 sin a当 a

4、是锐角时，2n a (270 ° 360°, sin(2 - a)< 0,符号为所以 sin(2 a= sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把a视为锐角时，角 k 360° +ak Z)，- a 180°±,a360° a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 一全正；二；三为切；四”这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是+ ” ；第二象限内只有正弦是 +”其余全部是 -”第三象限内只有是 +”

5、其余全部是 一”第内只有余弦是 + ”，其余全部是 -”.上述记忆口诀，一全正，二正弦，三正切，四余弦其他三角函数知识：同角三角函数基本关系1.同角三角函数的基本关系式倒数关系：tan a cot asin a - csc1cos a sec 1商的关系：sin a /COS=ctan a= sec a /esc a cos a /sin =cCOt a= CSC a /seC a 平方关系：sin人2( a + COST a=11 + tanA2(a = sec2( a)1 + COty a=)CSCA2( a)同角六角形六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接) 构造以”、中切、下割；左正、

6、右余、中间1"的为模型。(1) 倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2) 商数关系：任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3) 平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式2.两角和与差的sin ( a+ B = sin a cos-g cos a sin g sin ( a B = sin a cos cos a sin g cos ( a+ g)= cos a COS sin a sin g cos ( a g)= cos

7、 a COS- sin a sin g-tan g)tan ( a+ B) = (tan a tan g )/( tan atan ( a g)= (tan tan g )/(1+ tan a - tan g)3二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幕缩角公式）sin2 =2sin a cos aCOS2 a= COSA2( a Sin人2( a= 2COSA2( a 1 = 1 2sin人2( atan2 a 2tan a /(1 tan人2( a )4半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)Sin人2( a /2=(1 cos a )/2COSA2( a /2= (1 + COS a )/2t

8、an 人2( a /2= (1 cos a )/(1+ cos a)5万能公式sin a 2tan( a /2)/(a ta门人2( a /2)cos a= (1 tan人2( a /2)”(1+ tan人2( a /2)tan a= (2tan( a /2)/( tan人2( a /2)万能公式推导附推导：Sin2 a =2Sin a cos a =2Sin a cos a /(COSA2( a )+sin人2( , a ) (因为 cosA2( a )+sinA2( a )=1再把*上下同除 cosA2( a 可得sin2 a 2tan a /(甘tan人2( a )然后用a /2代替a即

9、可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a 3sin a 4sin 人3( a)cos3 a= 4COSA3( a 3COS atan3 a= (3ta n a tan人3( a )/(1 3ta门人2( a )三倍角公式推导附推导：tan3 a= sin3 a /cos3 a=(sin2 a cosacos2 a sin a )/(COS2 a -SiBa a sin a)=(2s in a cosA2( a)osA2( a )sin sin 人3( a )/(cosA3( cOs a sin 人2( )2s in 人2( a

10、 )cos a)上下同除以 COSA3( a,得:tan3 a= (3tan aa ) sin3 a sin(2 a= sin2 a cos-cos2a sin a =2sin a cosA2( )(1 2sin人2( a )sin atan人3( a )/(13ta门人2(=2sin 2sin人3( a-)sin 2sin人2( a)=3sin a 4sin 人3( a)cos3 a cos(2 计 aa cos2 a cos a sin2 a sin a=(2cosA2( a 1)cos a 2cos a sin 人2( a)=2COSA3( a a cos a (2cos a 2迹人3(

11、 a )=4cos3( a a 3cos a即sin3 a 3sin a 4sin 人3( a)cos3 a 4COSA3( a 产 3C0S a三倍角公式:谐音、联想正弦三倍角：3元 减4元3角(欠债了(被减成)，所以要 挣钱”音似 正弦”)余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有 余”)注意函数名，即正弦的三倍用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。7三角函数的公式sin a sin a 2sin( a g )/2)-»/2)sin a sin a 2cos( a g )/2)- sia( g ”2)cos a cos a 2cos( a g )/2) - cosK 似)/2) c

12、os a cos a 2sin( a g )/2) - sing a/2)8三角函数的公式sin a-cos gin ( a+g)+ sin ( ag)cos a-sa gin ( a+g) sin ( ag cos a-coa gos (a+g+ COS (ag)sin a-sa a cos (a+g) cos (ag)和差化积公式推导附推导：首先，我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得至jsin( a+b)+s in( a-b)=2s in a*cosb所以，sina*cosb=(si

13、n(a+b)+sin(a-b)/2同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的，我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相力口，我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理，两式相减我们就得至jsina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sin a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2cosa*s in b=(s in( a+b)-s in( a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式我们把上述四个公式中的a+b 设为 x，