构造同边叠边直角三角形利用解题通法求解高度问题

1、构造同边叠边直角三角形用解题通法求解长度问题三穗县第三中学杨靖此论文获2017年贵州省论文评选一等奖 在九年级锐角三角函数一章“解直角三角形及应用”一小节中，有一个非常特殊而 又很典型的模型，在中考数学模拟考试及升学考试中，很多地区都出现过类似的考试题目， 如果老师没有进行总结归纳，总结出解题通法，学生不引起注意，找不到解题方法，达不到“做一题、通一法、会一类”的目的，通过多年的教学总结，发现很多地方中考试题是通过 基本图形的变形，但本质还是这个图形。如果学生真正理解，遇到此类问题就会迎刃而解。一、典型模型图1图2图3B模型特点：两个直角三角形，直角顶点相同，一条直角边为同边（公共边），另一条

2、直 角边相叠合（长度不同），为了便于学生记忆，笔者将这个模型命名为同边叠边直角三角形。 四个模型其实是一个模型，只需要通过旋转、对称变换可以相互转化。二、两种命题方向命题方向一：已知两个锐角及公共直角边 h的长，求叠合直 角边的差（a）,此种命题方向的题简单，考题也少。命题方向二：已知两个锐角及叠合直角边的差（a）,求公共直 角边h的长，此种命题方向的灵活，变式多样，很受命题教师的喜爱。三、解题通法命题方向一的解题通法是分别用正切或余切三角函数表示CD， iL* m _AD，即：CD cot ?BC tan(90°) ? BC，AC cot ? BC tan(90°) ?

3、BC，再计算AC-CD就是AD的长。命题方向二的解题通法：设公共边 BC为X,可以从两种三角函数列方程解决问题。思路一：先用正切三角函数表示其它两条直角边，即:XXAC ，DC ，用 ACtantanCD= a列方程得a，解方程可求出X的值tan tan即是公共直角边的长。思路二：先用余切三角函数表示其它两条直角边，即:ACcot ?X， DC cot ?x，a( 是小角,cot cot用AC CD= a列方程得cot ?x cot ?x a，解方程可求出x是大角），即是公共直角边的长（如记住此公式，解选择题与填空题更简单）。四、教材原题在人教版九年级下册教材中有一些同边叠边直角三角形问题。收

4、集整理如下：1、（ P76练习，1题）建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相 距40m的D处观测得旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底 部B的仰角为45°,求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）。此题与基本模型3相同，已知两个锐角的度数及公共直角边的 长，求叠合边直角边的差，是第一种命题方向，可以用通法一解决 问题。2、（ P77练习，1题）海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60° 方向上，航行12 n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方 向上。如果渔船不改变航线继续向东航行，

5、有没有触碓的危险？此题只要过A点作AC丄BD于点C,就转化成基本模型1,将两 个方向角转化成两个直角三角形的锐角，已知叠边的差求公共直角 边。用通法中的思路一或思路二可求出 AC的长度。，再比较即可判 断是否触碓。3、（ P81，数学活动2）利用测角仪测量塔高：（1）在塔前的平地 上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角出A，B两点间的距离；（3）计算塔的高度。此题与基本模型2相同，用命题方向二先求出公共直角边长， 上测角仪位置高度即可。4、（ P84,复习题28，8题）如图，两座建筑物的水平距离BC为32.6m,从A点测得D点的

6、俯角 为35012',测得C点的俯再加角 为43024'，求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位） 此题只需将CD延长，就可以构造与典型模型3类似的图形。已知公共直角边的长，利用角度的三角函数可以求两座建筑物的 咼度。五、变式方向1、忽略测量高度（图1）3、有高差测量（图3）2、无高差测量（图2）4、设定障碍（图4）图1A 1J求aei鞘i弊(3)量AC六、中考直通1、（2014年贵州黔东南，22题，10分）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为3

7、0°已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长.（结果精确到0.1，参考数 据：ViH.41, Vi-1.73）ENGx CN 于点G,构过点A作于点H, 角形戒式图形。解题思路一:过点C作CN造出与基本模型二类似有高度差的同由等腰直角三角形可以得到GH = AG = 0.25,因而可以得出叠边差CH = 6.25。利用命题 方向二解题通法求出EN的长度，再加上小军的高度就是 EF的长度。解题思路二：将EA延长与FD的延长线相交于点G,将EC延长与FD的延长线相交于 点H，可以构造无高度差与典型模型二类似的同边叠边直角

8、三角形。利用等腰直角三角形的知识可以求出BG = AB = 1.5,利用三角函数可以得到 DH =CD?cot300=1.75、/3，从而得到叠边高度差HG = 61.5+1.7573，再利用命题方向二解题通 法可以求出EF的长度。2、（2015年铜仁市，22题，10分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的 北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船 的北偏东30°的方向。己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶， 试问轮船有无触礁的危险？ （73马.732）解题思路一：利用等腰三角形的知识求出 AC

9、= BC = 200,利用三角函数可以直接求出 AD = sin600?200=100/3 173.2170,可以 北判断轮船没有触礁的危险。i解题思路二：图形已知/ ABD = 300,/ ACD = 600,叠边差BC= 200。此图形是一个直 接的同边叠边直角三角形，直接利用解题通法通过设未知数，用三角函数列方程就可以计算 出A到D的距离。Lef-于点N，交AEA3、（ 2015年天津市，22题，10分）如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A, B,C在同一直线上.小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°，观测旗杆底部B的仰角为42° .已知点D到地面的距离DE为1

10、.56m EC =21m求旗杆AB的高度和建筑物果保留小数点后一位）。参考数据：tan 47° 1.07, tan42° 0.90.解题思路：此题只要过 D点作AC的垂线，便可以构造疋 个同边叠边直角三角形，已知同直角边的长，求叠边的长度差,BC的高度（结D兀7“ill It3Ei鼻IIII!ELECACn是命题方向一的类型，直接利用三角函数求出叠边长，再求长 度差，再加上测量高度就是建筑物的高度。4、（ 2015年德州市，16题，4分）如图，某建筑物BC上有SAm.（结B一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50o,观测旗杆底部B的仰角为45o,则旗杆

11、的高度约为1.19）解题思路：此题与2015年天津市中考试题第22题基本相同，只要过D点作AC的垂线，便可以构造是一个同边叠边直角三角形，D果精确到 0.1m.参考数据：sin50o 0.77, cos50o 0.64 , tan50oC已知同直角边的长，求叠边的长度差，是命题方向一的类型，直接利用三角函数求出叠边长， 再求长度差，再加上测量高度就是建筑物的高度。5、（ 2015年河南省，20题，9分）如图所示，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是 30o,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°。若坡角/ FAE=30°,求大树的高度。（结果

12、保留整数，参考数据：sin48° 0.74os48° 0.67an48° 1,V3 1.73BD延长与解题思路：此题设置了一座斜坡做障碍，只需将Gr艮CE的延长线交于点G，就可以构造同边叠边直角三角表，BC为同边，AC与AG为叠边。由三角函数可以求 AG = 2X 6X cos30° = 6V3，只需设BC为x，用解题通法表示AC与GC用GC- AC列方程就可以达到解题的目的。6、（2015年贵州省黔东南州，21题，10分）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开 展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上，某天在太 阳光的照射

13、下，电线杆的影子（折线 BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在 D处测得电线杆 顶端A的仰角为30°在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°斜坡与地面成60° 角, CD=4m， 请你根据这些数据求电线杆的高（AB ）。（结果精确到1m，参考数据：1.4,1.7）解题思路：此题设置了一座斜坡做障碍，只需将AD延长与BC的延长线交于点G，就可以构造同边叠边 直角三角表，AB为同边，BC与BG为叠边。由三角函数可以求CG = 2X CD= 8,只需设AB为x，用解题通法表示BC与BG用BG- BC列方程就 可以达到解题的目的。7、（ 2016年贵州省六盘水市，23题，12分

14、）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要 原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m , / D=90，第一次探测到一辆轿车从 B点匀速向D点行驶，测得 / ABD=31 ，2 秒后到达 C 点，测得 / ACD=50 （tan310.6tan50 ° 1.2结果精确到1m）（1 ）求B，C的距离.（2）通过计算，判断此轿车是否超速.解题思路：此题图形是一个标准的同边叠边直角三角形， 属于第一种命题方向的范围，已知同边的长度，直接利用三角 函数可以求BD与CD的长，可求出BC的长，便可以求B至U C的速度。8、（ 2016年安徽省，19题，10分）如图，河的两岸11与12相互平行，A、B是li上的 两点，C、D是12上的两点，某人在点A处测得/CAB=90 ° / DAB=30 °再沿AB方向前 进20米到达点E （点E在线段AB上），测得/ DEB=60°求C、D两点间的距离.解题思路：此题图形是含有特殊角的同边叠边直角三角形， 已知叠边差，利用解题通法设 DF为X,用AF AE = 20列方程， 求出DF的长，