有序地质量最优分割法

1、第七章有序地质量最优分割法第一节 概述地层划分与对比是煤田地质勘探的主要任务之一。在地质工作中，通常是寻找地层的不整合或假整合界线，或者利用古生物化石、岩石矿物等地质特征对地层进行划分与对比。 这种划分方法比较直观，适用于较大地层单元的划分与对比。当地质特征间的差异性不显著时，运用上述直观、定性的方法来解决较小地层单元的进一步划分就有一定的困难。因此， 近年来开始利用有序地质量，即运用数学方法，并借于电子计算机定量地划分地层，提出了“有序地质量最优分割法”。地质数据中有相当多是有序的。这些按一定顺序排列的地质变量，叫做有序地质量。例如，沿地层露头剖面采集的岩石标本；钻孔取出的岩芯样品；与这些岩

2、石、样品有关的岩性、物理化学和古生物数据；以及地球物理测井数据等。它们都是有序地质量。这类数据的所以，一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法, （地质体）进行分段的统计方法。特点是样品的前后次序不能变更。所以，一些不考虑样品排列顺序的数学处理方法，对此不适用。有序地质量最优分割法，就是对一批有序数据设有n个按顺序排列的样品，每个样品测得 表示为P个变量,这批数据可用数据矩阵的形式k 1i 1X11X12X1PXX21X22X2pXilXn1Xn2XnpXil表示第i个样品第l个变量的取值。若对以上n个有序样品进行分割（分段），可能有1 2n 1cn 1cn2cn 1nxp其中,2n1种划分方法，

3、每一种分法称为一种分割。段（组）内部样品之间的差异性最小（即样品数据的组内离差平方和最小） 之间的差异性最大（即样品数据的组间离差平方和最大） 差平方和最小的分割方法，称为最优分割法。样品变量总离差平方和的分解式为T W B在所有这些分割中,存在这样一种分割，它使得各，而使段（组）。这种对n个样品分段并使组内离(7 1)式中，T为总离差平方和； W为组内离差平方和；B为组间离差平方和。由式（7 1）可知，如果n个样品分为K段，每段的样品个数为nk，若每个样品只取一个变量，则nk_(72)(Xik xk)2K %_K_(73)B(Xk X)2 n k (Xk X)2k 1 i 1k 1因此，寻求

4、最优分割，就是用计算的分法找出使组内离差平方和（W ）最小的那些分割点。这与判别分析中费歇准则相似，所以有序地质量最优分割法， 有人又称为“F-分割法”或“有序样品的聚类分析”。第二节单元有序数据的最优分割若有n个有序样品，每个样品只取一个变量， 则有n个有序数据序列，为X Xi , X2 , ,Xn现在试图将这n个样品按顺序分割为K段，使段（组）内离平差和尽可能小，而组间离差平方和尽可能大。为此，用Xi'Xj,Xj表示从第i个样品数据开始至第 j个样品数据为止的某段样品，其中该段样品变量的离差平方和为d（i,j）2i, j(7-4)式中X i, j由于d（i,j）能够反映样品段Xi

5、, Xi 1,Xj内样品间差异的情况，d（i,j）愈小，表示段内各样品之间差异性愈小；反之,d（i,j）愈大，表示段内各样品之间差异性愈大。因此，又把d（i,j）称为i, j段的直径。若 n 个样品分为 K 段：X11,X12, X1n1X21 , X22 ,X2n211 >XK2 , XK2 , XKnk，为最优K段分割。其各段离差平方和（段直径）分别为:di(i, j)，d2(i, j), dK(i,j)。根据最优分割的原则，其组内离差平方和必须满足K nk_2(7-5)WXik Xk i, jk 1 i 1dk i, j mind1 i,j d2 i.jK _ 2Bn k Xk i

6、, j X maxk 1(7-6)在实际应用时，往往事先不知道n个有序样品客观上究竟能划分为几段。因此，必须从最优分成二段、三段、一、最优二段分割K段进行分析。若把n个有序样品X1,X2, ,Xn分为两段，则有如下 n 1种不同的分法，即X1X2,X3, ,XnX1,X2X3, X4, XnX1,X2,X3 X4,X5, XnX1, X2, ,Xn 1Xn在上述n 1种分法中，究竟哪一种方法最优？只须计算出每一种分割的组内离差平方和,并从其中找出组内离差平方和W 最小的那一种分割，就是所求的最优二段分割。在n个有序样品中，对任意一个j 1 n 1都可以确定一个二段分割，即1,j 1, n。若把

7、对n个样品在第j个样品处进行的二段分割的组内离差平方和(7-7)记为Wn 2; j d 1,1 d 2,n式中，n表示被分割的样品数；2表示把n个样品分为二段；j表示以第j个样品为分割点。上述n 1种分割的组内离差平方和分别为Wn 2;1 d 1,1 d 2,nWn 2;2 d 1,2 d3,nWn 2；n1 d 1,n1 d n, n在i, , j中，当i j时，则d 1,1 d 2,2d n, n0假设当 j a1 时，Wn 2; j 达到最小，即Wn 2;a11mj inn 1 Wn 2;j则最优二段分割为x1, x2, ,xa1xa 1, ,xn ，其中 xai 为最优二段分割点。二、

8、最优三段分割若把 n 个有序样品 x1 ,x2 , xn 分为三段， 其中必有两个分割点。 假设第 a1 j 和第 j个样品为分割点，则三段分割为x1 , xa1xa1 1, xj xj 1, xn若把三段分割的组内离差平方和记为：Wn 3;a1,j ，其中 a1,j 为两个 分割点1 a1 j 1;2 j n 1 ，则Wn 3;a1,jd1,a1d a11, j d j 1, nWj 2, a1d j1,n显然，如果有 Wn 3; a1, j 为最优三段分割，则Wj 2; a1 必为最优二段分割，否则必存在另一个最优二段分割 Wj 2; a1 ，使Wn 3; a1, jWn 3;a1, j这

9、与Wn 3；a1, j为最优三段分割相矛盾。因此，如果对n个有序数据进行最优三段分割,必须对任意一个 j 2n 1 ，即前 j 个数据先求出其最优二段分割， 为Wj 2;a1 j d1,a1 jda1 1, jWj 2; a11 am1 jinj 1 Wj 2; a1 j则前 j 个样品的最优二段分割与 x j,xn 构成一个三段分割。 最后，找出一个适当的 j ，如 j a2 ，使得Wn 3; a1 , a2 min Wj 2; a1 d j 1, n则 x1, ,xaj xaj 1, ,xa22mj inn 1 Wn 3;a1 j,jxa2 1, , xn为n个样品的最优三段分割，其中a1

10、和32为最优三段分割点。三、最优 K 段分割若 对 n 个 有 序样 品 数据 x1,x2, ,xn 进行最 优 K 段分割 ， 可先 找 出n 1 个样品的最优K 1段最优分割，即Wj K 1;a1,a2,ak 2从而得Xa1 1 , Xa2Xak 2 1 ,Xj与Xj 1, ,Xn构成K段分割，但不一定是最优K段分割。 可选择一个适当的 j Kn 1 ，如 j aK1 时，使得Wj K 1;a1,a2 , aKK m1 ijnn 1 Wn K;a1 jK 1 j n1, a2 jaK 2 ,可得最优 K 段分割为 x1 , xa1xa11 , Xa2XaK 1 1 ,xn，其中 Xai，X

11、a2， ,XaKi 为K 一直可做到所要最优 K 段分割点。 应当指出，分割的段数 求的段数 K 为止；或者可以预先给定一个小正 数 ，使 K 段分割的组内离差平方和Wn K;a1,a2, ,ak 1 后为止。这样得出的K 就是最后的分割的段数。由图 7 1 所示，组 内离差平方和是随分段段数 K 的增加而单调地 减少。所以当 K n 时，组内离差平方和Wn n;a1,a2, ,an 10 。因此，可根据组内离 差平方和随段数增加而下降到比较稳定的时候（即 图中曲线平缓时）再确定分段段数。例如，采集n个有序样第三节 多元有序数据的最优分割为了分层，有时需要汇集样品更多的信息， 采用多个变量指标

12、。品，每个样品测得 P个变量，原始数据可构成一个 n P阶矩阵，为X11X12X1pX21X22X2pXn1Xn2Xnpn P在多变量情况下，人们自然会联想到是否能将单元有序数据最优分割原理引申到多元 数据中来，以此对n个有序样品进行分割， 一般最简单有效的办法就是把一段样品多个变量 合并为一个变量来处理，统一定义“段直径”。但是，为了使不同变量间具有共同的数据基原始数据矩阵中元素记为：Xil i 1,2, ,n;l1,2, P，则正规化数据为Zi为 min Xilmax Xiimin xil(7-8)得正规化数据矩阵Z11Z12ZpZ21Z22Z2PZn1Zn2Znp的段直径定义为根据正规化

13、数据，将样品段i,d i, ji, j(7-9)础，事先要对各个变量进行数据规范化处理，如使数据作正规化变换。式中Z i, jn,1,2,(7-10)若n个有序样品分为K段，每段内有nk个样品,则多元有序数据最优分割的原理与单元有序数据最优分割一样，使组内离差平方和Wn K； 31,32 ,aK 1d1i, j d2 i, jdK i, jKnkpZk1Zk2i, jminK 1 j n1 Wn K;a1 j ,a2 j , ,aK 2 j , j(7-11)应当指出，样品的段直径除了用式（7-9）定义外，还可用其他方法定义。如用样品数据绝对值距离来定义，即jpD i，jX i, j(7-12

14、)ii也可用其他度量空间的距离来定义。第四节最优分割法的计算步骤1.数据正规化 设原始数据阵为X11X12X1pXX21X22X2PXn1Xn2Xnp将X中的元素Xil变换为ZiiXilmaxXilmin Xili 1,2,n;l1,2,得正规化数据矩阵Z11乙2Z1pZ21Z22Z2pZn1Zn2Znp其中因为2.计算段直径矩阵i, jz i, jZa2i, j0i,j dj,i故必须计算nn 1个d i, j，得2d 1,1 d 1,2d 2,2d 1, nd 2, nd n, n3.计算全部分割的组内离差平方和或段直径和)nn及各种分段的最优分割1)最优二段分割 由 D 矩阵对每一个 m

15、n, n1,2 计算相应的组内离差平方和，Wm 2; j d i, j d j 1,m1,2, , m 1找出最小值，确定相应的最优二段分割点，即Wm 2;a1 m1mj imn 1 Wm 2; j分割点为a1 n , a1 n1 , a1 2 。从而得到 n 个样品 m n 的最优二段分割为x1, x2, xa1 nx a1 n 1, xn ，其中 a1 n 为最优二段分割点。2)最优三段分割 根据 D 矩阵及最优二段分割结果，对每一个 m n, n 1,3计算相应的三段分割的组内离差平方和，为Wm 3;a1 j , jWj 2;a1 jd j 1,mj 2,3,m n, n, m 11,

16、,3然后求出最小值，并确定相应的最优三段分割点，为Wm 3;a1 m,a2 mmin Wm 3;a1 j ,j2 j m1a1n ,a2 n;a1 n 1,a2 n 1; ;a1 3,a2 3从而得到 n 个样品 m的最优三段分割为 x1,x2, ,xa1 n xa1n 1, ,xa2nx a2 n 1 , x n ，其中a1n ， a 2 n 为最优三段分割点。3)最优 K 段分割根据矩阵D及最优K 1段分割计算结果，对于每一个m n,n 1, K 分别计算相应的 K 段分割的组内离差平方和，为Wm K;a1 j ,a2 j , ,aK2Wj K 1; a1 j ,a2 j , ,aK 2

17、j d j 1,nK 1,K,m 1;m n,n 1, ,K找出最小值，并确定相应的最优 K 段分割点，即Wm K;a1 m,a2 m, ,aK 1m K m1 ijnm1 Wm K;a1 j ,a2 j , ,aK 2 j , j从而得到 n 个样品 m n 的最优K 段 分割 为x1,xa1 nxa1 n 1,xa2 nxa1 K 2 n ,xa2 K 1 nxa1 K 1 n 1,xn ，其中，a1 n,a2 n , ,aK 1 n 为最优 K 段分割点。4. 绘制 W K 曲线作为最终分段数。在W K曲线上，选择曲线拐点对应的 K值（取整）例7 1某煤矿所采煤层的煤质牌号为主焦煤，在煤

18、巷中见一火成岩墙侵入煤层，致使煤质发生变化，为弄清楚煤质变化情况， 从火成岩附近每隔0.5 m依次取一煤样，获得6个有序煤样的镜煤最大反射率数据为R0 %x1,x2,x3,x4,x5,x6,3.20,2.95,2.35,1.80,1.50,1.45试进行最优分割。此样本最可能分割法共有 25131种，今要在这 31种分割中找出一种最优的分割 （类内差别小，（1）类间差别大） 。其作法如下：对原始数据进行正规化变换后得正规化数据，为Z 1.0000,0.8571,0.5143,0.2000,0.0286,0计算段直径矩阵 D, 即d 1,1 d 1,2d 1,3d 1,4d 1,5d 1,6d

19、2,2d 2,3d 2,4d 2,5d 2,6Dd 3,3d 3,4d 3,5d 3,6d 4,4d 4,5d 4,6d 5,5d 5,6d 6,60 0.01020.12460.38610.68800.913300.05880.21610.40000.528000.04940.12140.167300.01470.023400.00040最优二段分割。由 D 对于 m6,5,4,3,2 时，计算其中其中其中Wn 2;jd i, jd j i,nji,2,m i6时，则W62;4d i,4d 5,60.3865W62;3d i,3d 4,60.i480W62;2d i,2d 3,60.i776

20、W62;id i,id 2,60.5280叫 2; ai 6min. W6 2; jW62;30.i480ai 635时，则W52;4d i,4d 5,50.386iW52;3d i,3d 4,50.i393W52;2d i,2d 3,50.i3i6W52;id i,id 2,50.4000W5 2;ai5imjinW52；jW52;20.i3i6ai 524时，则W42;3d i,3d 4,40.i246W42;2d i,2d 3,40.0596W42;id i,id 2,40.2i6i当m当m当mW4 Zai 4ai 423时，则W3min W4 2;jW4 2;20.05961 J 32

21、;2 d 1,2 d 3,30.0102W32;1 d 1,1 d 2,30.0588其中W Zai 3min W5 2; jW3 2;20.010231 322时，则W2 2, ai 2W2 2;1 d 1,1 d 2,2031 11从而得到6个样品的最优二段分割为Xl,X2,X3 X4 , X5, X6。其中,X3为分割点。Wm 3; 31 j ,jWj 2; 31j d j1,nj 1,2, m1当m6时,则W6 3; 31 5 ,5W5 2; 31 5d 6,60.1316W6 3; 31 4 ,4W5 2; 31 4d 5,60.0600W6 3; 31 3,3W5 2; 31 3d

22、 4,60.0336W6 3; 31 2 ,2W5 2; 31 2d 3,60.1673其中3; a1 6 , a2 6 min W6 3; a j2 j 5,jW6 3,31 3,分割点为：31631 32;32 63。当m5时,则W5 3; 31 4 ,4W4 2; 31 4d 5,50.0596W5 3; 31 3 ,3W3 2; 31 3d 4,50.0249W5 3; 31 4 ,4W2 2; 31 2d 3,50.1214最优三段分割。即对于m 6,5,4,3时，计算(4)0.0366其中3Wi 3; a1 5 , a2 5 min W5 3;a1 j , jWs 3,a1 3 ,

23、30.0249其分割点为：a1 5 a1 32；a? 53。当m 4时，则W4 3; a13,3W3 2；a1 3 d 4,40.0102W4 3; ai2,2W2 2；ai 2 d 3,40.0494其中Wi 3ia1 4 ,a2 4 min W, 3;a1 j , jW, 3,a1 3,3 0.01022 J 3其分割点为：a1 3a1 2 1;a2 4从而得到6个样品的最优三段分割为:Xi,X2 X3X4,X5,X6。（5）最优四段分割。即对于m 6,5,4时，计算Wm 4;a1 j , a:j , jWj 3;a1 j ,a2 jd j1,mj 3,4, m1当m 6时，则4; a1

24、5 , a? 5 ,5W5 3; a1 5 , a2 5d 6,60.02494; a1 4 , a2 4 ,43; a1 4 , a? 4d 5,60.0106We 4; a1 3 , a2 3,3W3 3; a1 3 , a： 3d 4,60.0234其中4;a1 6 ,a2 6 ,a3 6min W 4;a1 j ,a2 j , j3 j 5W 4;a1 4 ,a2 4其分割点为：a1 6 a1 42!; a2 6a2 43; a3 54。当m 5时，贝yW5 4; a1 4 , a24,4W4 3; a 1 4 ,a2 4d 5,50.0102W5 4; a1 3 ,a23,3W4 3； a1 3 , a2 3d 4,50.0147其中W5 4; a1 5 , a2 5 ,a3 5W5 4;a1 4 ,a2 4,40.0102 min则分割点为：a1 5 a1 42:;a2 5a2 43; a3 54。当m 4时，贝y,40.0106W4 4; a1 3 , a? 3 ,3W3 3; a1 3 ,