频率响应及信号的频谱

1、第第十十二二章章 频频率率响响应应及及信信号号的的频频谱谱重点：重点：1 串联谐振及并联谐振的特点及分析串联谐振及并联谐振的特点及分析2 正弦交流电路的幅频特性与相频特性正弦交流电路的幅频特性与相频特性3 非正弦周期电路的分析非正弦周期电路的分析平均值、有效值及平均功率平均值、有效值及平均功率难点：难点：1 频率特性的分析频率特性的分析2 非正弦周期函数的分解非正弦周期函数的分解3 信号频谱的理解信号频谱的理解12.1 谐谐振振有关“谐振”的物理性质可以用运动学中的“共振”来对应理解。谐振的定义：如果在某一特定频率下工作的含有动态元件的无源单口网络的阻抗角为零，认为该单口网络在此频率情况下发生

2、谐振。谐振电路是一种具有频率选择性的电路，它可以根据频率去选择某些需要的信号，而排除其他频率的干扰信号。12.1.1 串联谐振串联谐振1串联谐振的条件我们来看下面这个 RLC 串联的电路：前面我们分析过 RLC 串联电路的复阻抗情况，|ZZ，其中，2222)1()(|CLRXXRZCLRCLarctgRXXarctgCL1按照谐振的定义：当，即：时，CjLj1LC1。此时。01RCLarctgRXXarctgCLRXXRZCL22)(|这里，我们称（或）为谐振频率。LC10LCf210谐振时的电压相量图为 12-2。2串联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最小U 不变时，I 最大 图图 12-2

3、 RLC 串串联联谐谐振振相相量量图图 U I RU CU LU R 1/jC + + - + - + jL _ _ 图图 12-1 RLC 串串联联电电路路的的相相 量量模模型型 U I RU LU CU |Z| R O I f0 fU/R O f0 f图图 12-3（a） |Z| R O I f0 fU/R O f0 f图图 12-3（b）2）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻 R 上，而动态元件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电压谐振， 当时，。URXIXUCCCURXIXULLLRX UUX电力系统中，常常尽量避免谐振，

4、以免击穿电路设备（L、C 等） ；而电子线路中，常用此方法获得高压。4）选频特性与品质因数 Q电容或电感上的电压有效值与电源电压有效值之间的倍数。Q 越大，网络选频的选择性越强。CLRRCRLUUUUQLC110012.1.2 并联谐振并联谐振情况情况 1 + + R + 1/C + L _ _ _ _ 图图 12-4 RLC 并并联联谐谐振振电电路路一一RUUCULILURICII 该 RLC 并联电路的复阻抗，而，当时，电路发生谐YZ1| ZCjLjR11YR1Y振。此时电路呈现阻性，阻抗为。RYZ1可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率（或） 。LC10LCf210谐振时的电

5、流相量图为 12-5：2并联谐振发生时的电路特性1）电路阻抗最大I 不变时，U 最大见图12-62）电路呈阻性电源供给电路的能量全部消耗在电阻 R 上，而动态元 图图 12-5 并并联联谐谐振振相相量量图图一一 I RI LI CI U |Z| R O I f0 f U/R O f0 f 图图 12-6 件的储能与放能过程完全在电容与电感之间完成；即储能元件并不与电源之间交换能量。3）串联谐振为电流谐振， 当时，。IXRICCIXRILLXR IIX4）选频特性与品质因数 Q定义为电容或电感上的电流有效值与干路电流有效值之间的倍数。Q 越大，网络选频的选择性越强。LCRCRLRIIIIQLC0

6、0情况情况 2实际上的并联电路往往是以下这种模型 该 RLC 并联电路的复阻抗，YZ1| Z即 LCRCjLjRCjLjRCjLjR211)(1)(Z当时 LR)1(112LCjLRCLCRCjLjZ电路发生谐振时，电路呈现阻性，阻抗为。RCLZ可见发生并联谐振的条件仍然为：电源频率等于谐振频率（或） 。LC10LCf210谐振时的电流相量图为 12-8，这种情况下并联谐振发生时的电路特性与前面的并联谐振情况相同。12.2 频频率率特特性性在前面的内容中，我们着重讨论固定频率（同一频率）情况下正弦交流电路的稳态响应。这一节中，我们开始研究在电路其他参数不变的前提下，仅改变电路（电源）的频率时的

7、电路响应的情况。所谓频率特性，正是用来分析电路的响应随着频率变化的规律。在前面的内容中，我们曾经提到过电容元件通高频阻低频、电感元件通低频阻高频的性质，其实这正是两种元件在不同的频率情况下响应不同的体现。12.2.1 幅频特性与幅频特性曲线幅频特性与幅频特性曲线以网络函数中的策动点阻抗为例。前面我们谈到过单口网络的阻抗的意义：，其中为端口电压与端口电流的幅值比随着频率变化的关系，即表征)(| )(|jZIUZ| )(|jZ了在相同电流源大小的情况下，在单口网络与电流源同一端口产生的电压大小与电源频率之间的关系。 图图 12-8 并并联联谐谐振振相相量量图图二二 U CI I CI RI LI

8、+ R -jXC _ jXL 图图 12-7 RLC 并并联联谐谐振振电电路路二二 U LI CI I 感性负载 mmIUIUjZ | )(|幅频特性曲线在以频率为横轴，为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的幅频特| )(|jZ性曲线。12.2.2 相频特性与相频特性曲线相频特性与相频特性曲线其中表征端口电压与端口电流的相位关系随着频率变)(化的规律。相频特性曲线在以频率为横轴，为纵轴的平面上所绘出的曲线称为该响应的相频特性曲)(线。12.2.3 示例示例以前面讲到的 RLC 并联电路为例)(1)1(11111LRCRjRLCjRCjLjRZ前面我们已经得出：，所以：，CRLRQ000QCR，

9、代入上式：0QLR)(1)(00jQRjZ 这样，阻抗对应的幅频特性为：2002)(1| )(|QRjZ 相频特性为：)()(00arctgQ因此，该电路的网络函数策动点阻抗对应的幅频特性曲线及相频特性曲线如下，当电路的品质因数变化时，相频特性的变化规律同时见图 12-9。12.2.4 通频带通频带在上述电路中，如果电路入端阻抗的模不低于谐振时阻抗模的（=0.707）的频率范围。称为“通频带” 。通频带的宽度决21定了幅频特性曲线的尖锐程度通频带越窄，幅频特性曲线越尖锐，Q 值越高，选择性越好；但是通频带太窄，传送信号时越容易产生波形失真。因此，在利用网络的频率特性进行选频的时候，往往要综合考

10、虑选择性与通频带这两个方面的问题。见图 12-10。 + + R + 1/C + L _ _ _ _ RU U CU LI LU RI CI I |Z(j)| R Q =50 Q =100 Q =200 幅频特性曲线 1 /0 () Q =200 90o Q =100 Q =50 60o 30o 0o /0 -30o -60o 相频特性曲线 -90o 图图 12-9 RLC 并并联联电电路路的的频频率率特特性性曲曲线线 |Z(j)| R 0.707 R 幅频特性曲线 1 /0 图图 12-10 频频率率特特性性的的通通频频带带 12.2.5 滤波器滤波器低通、高通、带通、带阻、全通。实际上，产

11、生谐振时，电路的幅频特性即为一种带通的滤波性质。这里只介绍一阶滤波器（在网络函数部分将介绍二阶滤波器）1RC 串联电路的低通滤波器图中，所以其电压放大函数为：，RCjCjRCjii1111UUUoRCjjio11)(UUH其中，网络函数的幅频特性为：，网络的相频特性为：2)(11)(RCH)()(RCarctg 其幅频特性曲线及相频特性曲线如 12-12。 R + + C - - 图图 12-11 RC 低低通通滤滤波波器器 iU oU H() 1 0.707 O /0 () O -45o -90o 图图 12-12 低低通通滤滤波波器器频频率率特特性性 2RC 串联电路的高通滤波器 12-1

12、3 C + + R - - 图图 12-13 RC 高高通通滤滤波波器器 iU oU H() 1 0.707 O /0 () 90o 45o 0 图图 12-14 高高通通滤滤波波器器频频率率特特性性 在图中，因此，其电压放大函数的表达式为：RCjRCjCjRRii11UUUo)(90)(11)(2RCarctgRCRCRCjRCjjoH其中，幅频特性为：，相频特性为：2)(1)(RCRCH)(90)(oRCarctg 其幅频特性曲线及相频特性曲线如 12-143超前滞后网络在电子技术中，该网络常常用在正弦波振荡器（文氏电桥振荡器）中作为选频部分（几个 Hz 到几百 kHz）参见模拟电子技术或

13、高频电子技术，而在自动控制理论中，常常利用其相位超前及滞后的特点。 R C + + C R - -图图 12-15 超超前前滞滞后后网网络络iUoU在图中，所求的网络函数的表达式为：1)(3)()1(1111)1()/1(/1)(2RCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjRCjjiUUHo令，该网络函数变为 RCC11)(3)()(2CCCjjjH其中若，则该网络函数变为 Ck2222229)1 ()1 (313)(kkkjkkkjkjkjH其中，网络函数的幅频特性为：，网络的相频特性为：2)(1)(RCRCHkkarctg31)(2由该相频特性可见，该网络可以因为电源频率

14、的不同，使得输出电压超前或者滞后于输入电压（在自控理论中常用） 。特别地，在满足一定条件时，两者还可以同相，分析如下。当即时，12k1k319)1 ()1 (3)(22222kkkjkkjH这说明，该网络的输入电压与输出电压同相，且输出电压为输入电压的三分之一，满足该性质的网络要求电压的输入频率为，即。1CkRCC112.3 非非正正弦弦周周期期电电路路与与频频谱谱对于线性非时变电路而言，可以运用叠加定理计算多个正弦电源作用下的稳态响应，前面我们往往只涉及到同频率的情况，如果这些正弦电源的频率不同，电路分析的情况又会有改变。本章中，我们先从叠加的角度来看非正弦周期电路的分析，然后，我们再从分解

15、的角度来看非正弦周期电路的分析及频谱的概念。12.3.1 正弦稳态的叠加正弦稳态的叠加一、不同频率的激励作用时根据线性电路的叠加定理，我们可以分别计算该电路中的两个电源作用时产生的响应。我们看下面的电路，其中，由于两个电源的频率不同，就整个电路来VtuS 5cos210A 4cos22tiS说，我们不能直接使用相量法。但是根据叠加定理，我们可以将该线性电路的响应分为两个不同频率点单个电源作用下产生响应的和，因此，我们可以单独对每一个电源作用下的电路使用相量法。再笔筒频率下，电容与电感对应的阻抗为不同的值，再相量电路绘出之后，就可以按照原来所学的方法计算该电路的响应了。 1 1F + 1H uS

16、 _ iS图图 12-17 不不同同频频率率的的电电源源叠叠加加 1 -0.2j + 5j 10o0 o I -(a) 1 -0.25j 4j 2o0 o I(b)图（a）是电压源单独作用时的电路，其中的阻抗根据计算；图（b）是电流源单独作srad /5用时的电路，其中的阻抗根据计算； srad /4图（a）中Ajjjjj.jj.jooo8 .112 .105242502 . 055205)20(51010I图（b）中Ajjjjooo9 .1406. 24153225. 041402I所以：Atio)8 .115cos(22 .10oAtio)9 .144cos(206. 2 o待求量：AtA

17、tiiiooo)9 .144cos(206. 2)8 .115cos(22 .10 oo二、各种频率正弦激励的叠加tAtfsin4)(1)3sin31(sin4)(2ttAtf)5sin513sin31(sin4)(3tttAtf P267)7sin715sin513sin31(sin4)(4ttttAtf f1(t) 4A/ O t f2(t) A O t f3(t) A O t f4(t) A O t 12.3.2 非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱非正弦周期函数的傅立叶分解与信号的频谱一、非正弦周期函数的傅立叶分解1定义如果给定的周期函数满足狄里赫利条件（函数在任意有限区间内，具有有

18、限个极值点与不连)(tf续点） ，则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数。而在电工技术中，我们所遇到的周期函数通常均满足该条件。这样1010)cos()sincos()(kkkmkkktkAAtkbtkaatf其中，两式中的各个系数的计算公式及对应的系数的关系2200)(1)(1TTTdttfTdttfTa)()cos()(1)()cos()(1)cos()(2)cos()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTaTTTk)()sin()(1)()sin()(1)sin()(2)sin()(220220tdtktftdtktfdttktfTdttktfTbTTT

19、k参见教材 P265。在该展开式中，称为周期函数的恒定分量，也称为直流分量；与原周期函数的周期相同的0A)(tf正弦分量称为一次谐波，也称为基波分量。其他各项称为高次谐波（如 2 次谐波、3)cos(11tAm次谐波等等）2各种常用周期信号的傅立叶展开1）方波 f(t) A t 0.5T -A T图图 12-18(c) 矩矩形形波波三三，其中的)7sin715sin513sin31(sin4)(ttttAtfT22）三角波 f(t) A t T -A 图图 12-19 三三角角波波，其中的)7cos4915sin2513sin91(sin8)(2ttttAtfT23）锯齿波 f(t) A t

20、T 2T 3T图图 12-20 锯锯齿齿波波，其中)4sin413sin312sin21(sin2)(ttttAAtfT24）正弦整流全波 f(t) A t O 0.5T T图图 12-21 正正弦弦全全波波整整流流波波形形，其中)8cos6316cos3514cos1512cos3121(4)(tttAtfT212.3.3 非正弦周期函数的有效值与平均功率非正弦周期函数的有效值与平均功率一、有效值以电流为例，周期电压、电流的有效值的定义为：TdttiTI02)(1前面已经谈到，任意周期函数均可展开为傅立叶级数：110)sin()(nnnmtnIIti代入有效值的定义式：TnnnmdttnII

21、TI02110)sin(1积分号内的平方式展开有以下几种情况：200201IdtITT2)(sin120122nmTnnmIdttnIT0)sin(21010TnnmdttnIITnpdttptnIITTpnpmnm 0)sin()sin(21011 因此，的有效值为：。其中，为各个 n 次)(ti2322212012202IIIIIIInnm2nmnII 谐波分量的有效值。同理，任意电压的有效值为：)(tu，其中，为各 n 次谐波分量的有效值。2322212012202UUUUUUUnnm2nmnUU 二、平均功率平均功率的定义为：TdttituTP0)()(1如果电压与电流均可展开为傅立叶

22、级数：110)sin()(nnnmtnUUtu110)sin()(nnnmtnIIti代入平均功率的定义式：1100110)sin()sin(1nnnmTnnnmdttnIItnUUTP积分号内的乘积式展开有以下几种情况：000001IUdtIUTT0)sin(1010TnnmdttnIUT0)sin(1010TnnmdttnUITnpdttptnIUTTnnpmnm 0)sin()sin(1011nnnnnnmnmTnnnmnmIUIUdttptnIUTcos)cos(21)sin()sin(1011 因此，二端网络吸收的平均功率为：。其中，为10100cosnnnnnnPPIUIUP000

23、IUP 电压电流的直流分量构成的功率，为各电压电流 n 次谐波构成的平均功率。nnnnIUPcos另外，我们可以发现，只有同频率的电压电流才构成平均功率，不同频率的电压电流所构成的平均功率总为零。12.3.4 频谱频谱一、非正弦周期函数的频谱对某函数以频率为横轴，各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为该函数的频谱。对于周期函数而言，其频谱为一系列谱线。如方波 f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 图图 12-22 矩形波的傅立叶频谱矩形波的傅立叶频谱三角波 f(t) A t T -A Akm 8A/2 8A/252 3 5

24、7 8A/92图图 12-23 三角波的傅立叶频谱三角波的傅立叶频谱锯齿波 f(t) A t T 2T 3TAkm A/2 A/ A/2 A/3 A/4 O 2 3 4 图图 12-24 锯齿波的傅立叶频谱锯齿波的傅立叶频谱正弦整流全波 f(t) A t O 0.5T TAkm 4A/2 4A/3 4A/35 4 8 2 6 4A/63 4A/15图图 12-25 正弦全波整流形波的傅立叶频谱正弦全波整流形波的傅立叶频谱二、傅立叶变换与频谱函数1周期函数的傅立叶级数的指数形式11010102)(2)()2()2()sincos()(ktjkkkktjkkkktjktjkktjktjkkkkke

25、jbaejbaajeebeeaatkbtkaatf令，且对所有，均有，则，其中，2kkkjbac0k00ac ktjkkectf)(dtetfTctjkTk0)(100ac 2幅度频谱与相位频谱体现|与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。kc由于指数级数中的 k 可以分别取相应的正负值，因此幅度频谱关于 Y 轴对称；而其谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半。例如方波 f(t) A t O f(t) A t 0.5T -A TAkm 4A/ 4A/3 4A/5 4A/7 3 5 7 图图 12-26(a) 方方波波的的傅傅立立叶叶频频谱谱|ck| 2A/ 2A/3 2A/5 2A/7 3 5 7

26、 图图 12-26(b) 方方波波的的幅幅度度频频谱谱体现|与频率之间的关系的谱线，称为幅度频谱。kc仍以方波为例 k /2 3 5 7 9 -9 -7 -5 -3 - -/2图图 12-26(c) 方方波波的的相相位位频频谱谱三、非周期函数的傅立叶变换对于非周期函数而言，我们同样可以从频谱的角度来研究。其中傅立叶变换就是其数学基础，定义傅立叶变换：F，该函数称非周期函数的频谱函数。而也称为dtetfjtj)()(F)(tf)( jF函数的傅立叶象函数，称的傅立叶原函数。对于非周期函数而言，其频谱为连续函数。)(tf)(tf)( jF例如单脉冲函数：，经过傅立叶变换后得到的傅立叶象函数为：2|22 0)(ttAtf22sin2sin2)()(AAdtetfjtjF|F(j)| A 2/ 4/ 6/ () 2/ 4/ 6/F(j) A 2/ 4/ 6/ 载波载波频率为0的包络线为矩形波的频谱特性： f(t) A t O F(j) A/2 f(t) A 0 t O F(j) A/2 -0 0 图图 12-28 载波信号的频谱载波信号的频谱抽样 125 几点说明1我们在前面列举过的周期性信号波