双曲线及其标准方程教学设计

1、2014年河南省高中数学优质课大赛人教A版选修1-1双曲线及其标准方程教学设计鹤壁高中乔肖燕2014年14月乔肖燕 2014 年4月课题：双曲线及其标准方程授课人：河南省鹤壁市鹤壁高中【教材内容分析】本节课是高中数学选修1-1第二章第二节第一课时的内容，前面有椭圆知识 及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固.三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种.但本节课的知识难度不是很大，比较易于学 生理解和掌握.【学情分析】 知识结构分析：学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方 程到性质，从性质到应用.双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，所以 双曲线

2、的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区 别和联系.能力体系分析：本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学 过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算 能力.【教学目标】通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义； 通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学 生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣 .【教学重点】 双曲线的定义； 双曲线标准方程的两种形式.【教学难点】双曲线标准方程的推导方法及化简过程.【教具

3、准备】多媒体投影仪，几何画板动画【教学方法】采用启发、探究式教学.【教学环节】教学内容师生活动设计意图（一）创设情境感 知 图 形回顾初中时学 习过的反比例函 数的图像；观察电厂的冷 却塔图片，它的轴 截面的外轮廓就 是双曲线的一部 分.教师引入，学生回忆初中所学 内容；多媒体展示图片，学生观察， 实物感知双曲线的形状.教师引入课题，告知学生本节 课的学习目标、学习重点和学习 难点.这一段可由一名学生代表 阅读.通过学生熟 悉的知识以及 生活中的实例 让学生感知双 曲线的形状， 这样的两个例 子简单、生动， 学生易于接 受.教师手动演示双曲线的形成过（二）动画演示引 入 定 义双曲线是如何 形

4、成的？可以如 何给双曲线下定 义？借助经典的 拉链动画，引导学 生总结动点在运 动过程中的特征， 从而引入双曲线 的定义.程，先演示靠近F2的一支,生总结动点特征：由学|mfJ |mf2 常数.并解释为什么有这样的特征： 随着拉链的闭拢和拉开，两条线 段减小或增加的量相等，所以差 值始终是同一个常数.再演示靠近Fi的那一支,然由学生总结特征：|mf2 |mfJ 常数.接着，强调以上两个常数是相 等的，两支曲线合在一起叫做双 曲线，引导学生把两个式子合二|mf2常数.为一：MFi并把数学式子转化成自然语 言，概述双曲线的定义：平面内 到两个定点的距离的差的绝对值 等于常数的点的轨迹叫做双曲 线.

5、（此处暂时不说常数的范围.）充分调动学 生的积极性， 突出学生的主 体地位，并且 通过总结特征 提高学生的语 言表达能力， 对图形的认知 能力.学生概述定 义时往往会漏 掉常数的范 围，这个问题 暂时保留，下 一个环节来解 决。保留常数的 范围这一问 题，由学生自 己发现，方能 印象更加深 刻.教学内容师生活动设计意图（三）剖析定义剖析定义中的要点： “平面内”三个 字容易漏掉，去掉后 不严谨； 由学生发现 “绝对值”三个字的重要性； 常数是不是像 椭圆中一样有范围限 制？如果有的话，是 什么？为什么？刚才给出定义时 没有加上常数的范 围，定义叙述不完整， 所以现在要对定义进 行补充，确保定义

6、的 严谨性.最终双曲线 的定义为：平面内到两个定第一点教师做提醒；第二点要点拨学生去掉“绝 对值”三个字后点的轨迹会是 什么，学生慎重考虑后应该能 够找到正确答案：去掉绝对值 后轨迹变成了双曲线的一支. 之后教师提醒学生做题时需 注意这一点；第三点由学生分组去讨论， 然后派代表说明本组的讨论 结果，直至解决问题，得到结 论：常数等于F1F2时，点的轨迹是直线F1F2上以F" F2为端点向外的两条射线；常数大于F1F2时，点的点F1> F2的距离的差的绝对值等于常数轨迹不存在;（小于|FiF2 I）的点的常数等于0时，点的轨迹轨迹叫做双曲线.两 个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间

7、的距 离叫做双曲线的焦 距.通常情况下，焦距 用2c表示，常数用 2a表示，显然这里有 2c 2a 0.是线段F1F2的垂直平分线.以双曲线和椭圆作比较，两 类曲线中a和c的大小关系不同，在椭圆中，a c 0,而在双曲线中，c a 0.要提醒学 生注意.学生的表达 往往不严谨， “平面内”这 三个字是很容 易被忽略的， 所以教师要强 调.第二点学 生略作思考， 就能够意识到 这三个字的重 要性；第三点 对学生而言最 为困难，如果 强硬给出的 话，学生被动 接受，不利于 学生的理解和 掌握，所以我 采取小组讨论 的做法，由学 生自己得出范 围，加深学生 对范围的理 解.（四）类比椭圆推 导 方

8、程回顾椭圆的标准方 程的推导步骤，推导 双曲线的标准方程. 标准方程为2 2x y 1 尹丁1.其中a 0,b O.;A ,V椭圆的标准方程有 两种，双曲线的方程 在推导时也可以换一 种建系方式，得到另 一种形式的方程：2 y2 aa 0,bo-5O.两种形式的标准方 程，应该如何判断焦 点所在轴？学生思考并做答： 在等式右边是1或其 它正常数时，焦点在 系数为正数的轴上. 这与椭圆判断焦点所 在轴的方法也不一 样，同样要给学生强 调.学生刚刚学习过椭圆，对椭 圆的标准方程的推导过程印 象比较深刻，用同样的步骤推 导双曲线的标准方程：建系以直线FiF2为x轴，线段FiF2的垂直平分线为y轴建立

9、平面直角坐标系.设点设双曲线上任意一点 M坐标为（X, y）,焦距为2c,则Fi( c,0), F2(c,0).常数记为2a.写出限制条件MF2列出等式2a.22 I722'(x a) y v(x a) y2a.化简这一步由学生自己 动手完成，并且找一个学生演 板，最终化简为2 21a2 c2 a2像椭圆一样，为了使双曲 线方程的形式更加简洁，结合 c a 0,可设 c2 a2 b2,其中b 0（意义讲性质时再涉 及）.于是双曲线的方程可化2 2为耸七 1.这就是焦点在a bX轴上的双曲线的标准方程， 焦点坐标为 Fi（ c,0）, F2（c,0）.双曲线与椭圆标准方程中 a、b、c的

10、关系不同，要给学 生强调，这也是今后在做题过 程中学生易混淆的地方.培养学生的 运算能力.通过双曲 线与椭圆的对 比，学生可以 加深对两种曲 线的理解.例1、已知双曲线的焦点 Fi（ 5,0）, F2(5,0),双曲线上一点到两焦点的距离之差 的绝对值等于8，求 双曲线的标准方程.对例题的条件进行 修改，得到如下三个 变式训练：1、已知 Fi（0, 5）, F2(0,5),动点P满足(五)例题讲解学以致用PFi| |PF2I8.求点P的轨迹方程.2、已知F1(（5,0）,动点5,0）, F2P满足PFIPF2IP的轨迹方程.8.求点3、已知 F, 5,0）, F2(5,0),动点P满足|p f

11、J 10.点P的轨迹方程.PFi例2、已知双曲线的焦点 Fi（0, 6）, F2(0,6),且经过点M(2, 5).求双曲线的标准方程.例1难度系数不大，给学 生适当的时间，自己去做， 一般情况下学生会在练习本 上直接写出本题的正确答 案，所以教师要通过投影给 出规范的解题步骤.三个变式均是对定义的考 查，如果学生对定义中的要 点理解到位，就可以顺利地 把三个变式求解出来.教师要强调双曲线的一支 方程和变式训练3中两条射 线的方程应如何表示，这是 易错点.例2较之例1难度略大， 计算量也稍大，所以要给学 生充分的思考时间.这道题 由两个学生演板，一般情况 下学生会利用c 6和双曲线过点M(2,

12、 5)列方程求解，这一方法思路自然，运算较繁； 有些数学程度较好并且善于 思考的同学会想到利用定义ImF，即 2a，求出MF 1再利用c 6即可求出b,从而双曲线的方程得以求出，这 一方法相对来讲计算量较 小，而且紧扣本节课的学习 重点.要给学生强调定义的 重要性.本节课的重点 就是双曲线的定 义及标准方程，而 定义中的要点一 是绝对值，二是常 数的范围，设计例 1就是要使学生正 确把握定义，正确 理解定义.例2让学生演 板，体现了学生在 课堂上的主体作 用，两种方法的对 比会让学生明白 解题时技巧的重 要性，从而引导学 生在日常学习中 一定要多动脑思 考，不止为做题而 做题，一道题目有 多种

13、解法时，可权 衡一下哪一种解 法更有利于节省 时间，提高效率.1、已知双曲线的焦 点在坐标轴上，a 7,b3.则双曲线的标准方程为过双曲线（六）课堂练习Fi的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点,MF2NF2IMN的值等于3、在 ABC 中, B(4,0),C( 4,0),动点A 满足 sinB sinC1-sin A.贝U动点A2的轨迹方程为教师通过投影打出三道题 目，学生自己审题，动手计 算.然后教师提问学生回答 自己计算得到的答案：2 x492y498.2 y92y121.1(x2).（七）课堂小结整 理 收 获请同学们回顾本节 课我们所学习的主要 内容.由学生自己总结本节课的

14、 收获： 双曲线的定义； 双曲线的标准方程的两 种形式； 双曲线标准方程的求解 方法.学生叙述不完整或不准确 的地方，教师予以补充或纠 正，同时提醒学生要牢记定 义.学生动手去做， 通过学生的做题 状况教师能够看 出学生对本节课 知识点的掌握情 况，三道练习题由 浅入深，层层深 入，使学生体会到 学习的快乐和收 r r，获.第3题稍有难 度，用到了正弦定 理，有些学生可能 会不明白为什么要有x 2,这一点涉及到双曲线的 性质，正好为学习 双曲线的性质做 铺垫.学生总结，加深 理解，印象深刻， 形成学生自己的 认知结构.突出重 点，抓住关键，培 养学生的概括能 力.（八）课后作业及 时 反 馈课

15、本第48页练习1 2；课本第54页习题2.2A 组 1、2；自己动手制作表 格，列出椭圆与双曲 线的区别和联系.课下独立完成，同学之间交流检验学生课内 的掌握情况，并让 学生明白，学习不 仅仅是课堂上的 事，课下的时间自 己要合理支配，科 学安排.双曲线及其标准方程一、双曲线的定义|MF1 |MF2 常数.学生演板:双曲线标准方程的推导附:板 书 设 计|mf2 |mf1 常数.|mf2 常数、双曲线的标准方程a2 b22 2丄丄1 a2 b2学生演板（两名学生）：例2的求解过程其中，a 0,b 0.【教后心得】本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化， 可以说，任何一个有几年 教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要 花费很大功夫.本节课我自认为有可取之处，简述如下： 课堂效果不错，学生热情高涨，能积极主动地思考并回答问题，和老师配 合得很好； 在讲解定义的过程中，我