《常微分方程》答案习题2.1

1、习题2.1= 2xy,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.word=2xdx ,两边同时积分得:2 2ln I y| = X + c,即 y = c gX 把 x = 0, y = 1 代入得解：对原式进行变量分离得dy y2c =1,故它的特解为y =eX。22. y dx +(x +1)dy =0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：dy,当yO时，两边同时积分得；ln|x + 1=+c,即y=1y1 . 1 dx = 2 X+1 y当y =0时显然也是原方程的解。当x=0,y=1时,1y =。1+1 n1+x|c + ln|x+1代入式子得c = 1,故

2、特解是2dy J+ydx y显然1 Tn1 +2故原方程的解为两边积分得=In2 2(1 + y )(1 +x)1X 一 l n 1 +22 2»=cx2 2+ ln C(c HO),即(1 + y )(1 + x)=2cx4:(1 +x)ydx + (1-y)xdy =023虬"y3.3dx xy + X y解：原式可化为：2y HO,故分离变量得yX - y = c,= x-y=Gy=O;x = O.解：由y=0或x=0是方程的解，当xyHO时，变量分离1_ dx = dy=OX y两边积分 ln|x +x + ln|y| -y = c,即Inxj + 故原方程的解为l

3、n xy5: (y +x)dy + (y -x)dx =0解型=g,令y=u,y=ux=u+x巴dx y +x xdxdx则u+x理=4,变量分离，得：-孚1du Jdx dx u +1u +1 X1 2两边积分得：arctgu +- ln(1 +u)=n|x| +c。dy26： xy+Jx -y解：令y =u,y =帜,少 =uxdx'22du少d),分离变量得：厶 dx xJ1 -u2+ X竺,则原方程化为:dxdu=sg nx1dxx两边积分得：arcsinu =sgnx *ln|x +c 代回原来变量，得arcsin =sgnx *ln|xx2o另外，y =x也是方程的解。ct

4、gydy =tgxdx=In cos* +c.7: tgydx - ctgxdy = 0 解：变量分离，得： 两边积分得：ln|sin y.y由x8:dy_e dx y解：变量分离，得 Zdy = y3e9: x(ln X In y)dy -ydx =0 解：方程可变为：In 乂 dy-dx=0xx令u贝y有:5=- lnu d Inux x 1+1 n u代回原变量得：cy=1+l n '。x10：dx D,yxX +c解：变量分离e dy =e dx 两边积分ey =edyx_ydx=e解：变量分离,yxe dy =e dxy xe =e +c两边积分得:dy2解:令 X +y =

5、t,贝y原方程可变为：d变量分离得:代回变量得:dx dx1.=+1dx t1二dt = dx,两边积分 arctgt = X + c t +1arctg (x + y) = x + cdy12- dx 一(x + y)2"drXy)令x+y =t,贝U直=虫_1,原方程可变为 虫= 1+1dx dxdx tdt=dx，两边积分t-arctgt=x + c，代回变量t2变量分离t2 +1X + y -arctg(x +y) =x +c 3.业 _2x-y-1dx x-2y+111解：方程组 2x-y-1 =0,x-2y+1=0;的解为x = -,y =33人 、，1、，丄 1r“若

6、dY 2X -Y.令X = X 一，y = Y 贝y有='33 dX X -2Y1-2U2 令Ju,则方程可化为：xjU-22U+2U XdX变量分离dy X y +514,丄=dx X - y - 2解：令x-y=5=t,贝U史=1吏,dx dx原方程化为：1 - 0 = 丄,变量分离（t - 7）dt - 7dxdxt 一71 2两边积分t -7t = -7x+c2t1 2代回变量-(x-y+5) -7(x-y+5) =7x+c.15.齐（5）2+（4汁）2+8"解：方程化为 矽=x2 +2x+1+16y2+8y+1+8xy + 1 = (x + 4y+1)2+2 dx令

7、1+x + 4y =u，贝U关于X求导得1+4够=巴，所以丄=+9, 4dx dx4 dx分离变量14u22 28du=dx，两边积分得 arctg(-+-x +- y) = 6x+ c,是3 33原方程的解。16.dy6c2y -2xdx2xy5 +x2y2解:dyz 3、2 c 2 (y ) -2xdudx3u223 丄2y (2xy + xdx3（y ） -2x ,，令y3=u,贝U原方程化为c3丄22xy 十 x-6x2dx 2xu +x23u2T _6x2u +1x这是齐次方程u=ZX当z22dudz 缶、3z -6dz，贝0 =z+x，所以=z + xdxdxz -6 = 0,得

8、z =3或z当z2-z -6 h0时，变量分离2z + 1=2是(1)2z + 1z2 -z - ddx方程的解。即dz z2 z - 6x一 =dx 2z+1y3 =3x或y3 = 2x是方程的解。(1)dz=1dx，两边积分的(z-3)7(z +2)3=x5c,x即(y3-3x)7(y3 + 2x)3 = x5c,又因为y3=3x或y3 = _2x包含在通解中当c = 0时。故原方程 的解为(y3 3x)7(y3 +2X)3 =x15c17.dy 2x3 +3xy + x dx 3x2y + 2y3 - y解:原方程化为dydxx(2x2 +3y2 +1) ；dy222J J，2y(3x2

9、 +2y2 -1) dx22x2 +3y2 +1_3x2 +2y2-12 2 y =u,；xT；则弘dv 3v + 2u-1(1)+1,方程组【3v+2u-1解为（人一1 ； 令Z"-1，丫刊则有2+3丄 2"3八0,从而方程(1)化为z 3z+2y = 0dz 3 + 2.zt,z，则有-t+z生，所以 t + z生=2+3t dzdzdz3+2t'dtz一 =dz2-2t23 + 2t2 -2t2=0时,，即t = ±1,是方程（2）的解。得-2或 y2=-X2是原方程的解2 -2t2H0时,3 + 2t 1，分离变量得厂2"=严两边积分的y

10、2 +2 ,2 2x = (y -x+ 2)5c另外-X2 +2)5cy2 =x2 -2,或y2 =-x2，包含在其通解中，故 原方程的解为y2 + x2 =（y218.证明方程-= = f (xy)经变换xy =u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx2 2(1).y(1 +x y )dx =xdy.c22沁=2+X y)y dx 2-x2y2 证明：因为xy =u,关于X求导导得y +xdy ="dy,所以=竺-丫dudx dxdx dx得:丄半1 =f(u)， =u(f(u) +1)=(uf(u)+u)y dxdx =y(f(u) +1) xx故此方程为此方程为变程。

11、解(1):当X =0或y =0是原方程的解，当xy h0s时，方程化 为彳巴=x2y' y dx 八丿令xy =u,则方程化为空=(2u +u3),变量分离得:dx x udu 1 J=-dx2u +u X2两边同时积分得:一 =cxu +22故原方程的解为原2 "X y2，即tX y +22=cx ,x =0.2=cx ,y = 0也包含在此通解中。解(2)令xy =u，则原方程化为 一=!( dx x 2-uy _x yx分离变量得du1=dx，两边积分得Inx2 +u2 丄、1 4u 厂u) =- 2X 2 -u2 2-+ c，这也就是方程的解。419.已知f(x) J f (x)dt = 1, X H 0,试求函数f (x)的一般表达式.0X=_丄'解:设f(x)=y,则原方程化为ff(x)d-两边求导得yyy0 y3-y=业dxJ J J J J J J J J J j 八dx盘；两边积分得“一1卡；所以心丄把y*代入rf(x)d10 y±亠0 J2t +c I L , 1dt = ±j2x + c; ;±(J2x +c Jc) = ±j2x + c得c- 0,所以y = ± J2x20.求具有性质x(t+s)= SS的函数x'已知x