与圆有关的最值(取值范围)问题,附详细答案

1、与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案姓名1.在坐标系中，点A的坐标为（3, 0），点B为y轴正半轴上的一点，点 C是第一象限内一2.3.点，且AC=2 .如图，在边长为设tan/ BOC=m,贝U m的取值范围是1的等边 OAB中，以边AB为直径作O D，以O为圆心OA长为半径作圆O, C为半圆AB上不与(1)求证：AE=b+£a求a+b的最大值;若m是关于x的方程:求m的取值范围.如图，/ BAC =60 °半径长为A、B重合的一动点，射线AC交OO于点E, BC=a, AC=b .x2+ "%x=b2+ 寸Hab 的一个根,1的圆O与/ BAC的两边相切

2、,C0A77P为圆O上一动点，以P为圆心，FA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）.A. 3 B. 6C.史24.如图，A点的坐标为(-2, 1),以A为圆心的O A切x轴于点B, P (m, n)为O A上的一个动点，请探索 n+m的最大值.P01E0JC5.如图，在 RtA ABC中，/ ACB=90 ° AC=4, BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形 装置中，O O的直径AB=5 , AB的不同侧有定点 C和动点P, tan/

3、 CAB=訂运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点 Q.(1)当PC=时，CQ与O O相切；此时CQ=当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长;当点P运动到弧AB的中点时，求 CQ的长.在点P的运动过程中，线段 CQ长度的取值范围为7.如图， ABC 中，/ BAC=60 ° / ABC=45 ° AB= 2J2 , D 是线段 BC 上的一个动点,AD为直径作O O分别交AB, AC于E,F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值8.如图，定长弦 CD在以AB为直径的OO上滑动（点 C、D与点A、B不重合），是CD的中点，过点C作CP丄

4、AB于点P,若CD=3, AB=8，贝U PM长度的最大值是9.如图，已知半径为2的O O与直线I相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线I的垂线,垂足为 C, PC与O O交于点D，连接PA、PB,设PC的长为x （2<XV 4),则当 x=时，PD?CD的值最大，且最大值是为10.如图，线段 AB=4, C为线段AB上的一个动点，以 AC、BC为边作等边 ACD和等边 BCE , O 0外接于 CDE，则O 0半径的最小值为（）.A.4B.2/33D. 20, P是O O上一动点，且11.在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画OP在第一象限内，过点 P作O

5、 0的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是12. 如图，在 RtA ABC中，/ C=90 ° AC=6, BC=8, D为AB边上一点，过点 D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是13. 如图，RtA ABC中，/ C=90 ° / A=30 ° AB=4，以AC上的一点 0为圆心 OA为半径作OO,若O 0与边BC始终有交点（包括 B、C两点），则线段AO的取值范围是AGB.I上的一个动点，PQ切14. 如图，O O的半径为2，点0到直线I的距离为3，点P是直线O 0于点Q,贝y PQ的最小值为()A .屆 B .需

6、 C. 315. (2015?齐南)抛物线 y=ax2+bx+4 (a工0 过点 A (1, - 1), B (5,-1),交y轴于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30,求点P的坐标;(3)如图2,0 01过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点(不与点 A, E重合),/ MBN为直角，边 BN与ME的延长线交于 N,求线段BN长度的最大值.16.如图，已知A、B是OO与x轴的两个交点，OO的半径为1, P是该圆上第一象限内的一个动点，直线 PA、PB分别交直线

7、x=2于C、D两点，E为线段CD的中点.(1 )判断直线PE与O O的位置关系并说明理由;(2)求线段CD长的最小值;(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为aTa17.如图，在矩形 ABCD中，AB=3, BC=4, O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一个动点，连接AP、OP,则AOP面积的最大值为().ADO(A)4(B) 535(C)6(呻18.如图，在 RtAABC 中，/ C=90° AC=8, BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与 CA、CB分别相交于点 P、Q,则线段PQ长度的最小值是（）.19.如图，在等腰 Rt ABC 中，/ C

8、=90 ° AC=BC=4, D 是 AB的中点，点 E在AB边上运动（点 E不与点 A重合），过A、D、E三点作O 0,0 O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为20.如图，等腰 RtA ABC 中，/ ACB=90 ° AC=BC=4,OC的半径为1，点P在斜边AB 上, PQ切O O于点Q ,则切线长PQ长度的最QC小值为（).A. 77b.272C. 3D.421.在平面直角坐标系中， M（ 3, 4）, P是以M为圆心,2为半径的OM上一动点，A （-1 ,0 )、B (1, 0),连接 FA、PB,则 PA2+ PB2 最大值是参考合案

9、0C与圆A相切（即到C点）引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当 时，/ B0C 最小，AC=2, 0A=3，由勾股定理得： 0C=d , v/ B0A= / AC0=9O°/ B0C+ / A0C=9O°, / CA0 + / A0C=90° a/ B0C = / 0AC, ta n/B0C=tan / 0AC 型AC一並2，随着C的移动，/ B0C越来越大， C在第一象限， C不到x轴点，即/ B0C< 90° tan / B0C 卫$ 故答案为： m也.2 2引例2图引例2. a b 近；原题：（2013?武汉模拟）如图，在边

10、长为1的等边 0AB中，以边AB为直径作O D，以0为圆心0A长为半径作圆 0, C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交O 0于点E, BC=a, AC=b .(1)求证：AE=b+Ma;(2 )求a+b的最大值;(3 )若【考点】圆的综合题.m是关于x的方程：x2+§ax=b2+W§ab的一个根，求m的取值范围.【分析】(1 )首先连接BE，由 OAB为等边三角形，可得 / AOB=60°又由圆周角定理,可求得/ E的度数，又由 AB为O D的直径，可求得 CE的长，继而求得 AE=b+U5a；(2)首先过点 C 作 CH 丄 AB 于 H，在 RtA

11、ABC 中，BC=a, AC=b, AB=1，可得(a+b) 2：2 2a +b +2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH < 1+AD=1+AB=2，即可求得答案;(3)由x2+/jax=b2+勺Wab，可得(x- b) (x+b+(§a) =0，则可求得x的值，继而可求得m的取值范围.【解答】解：(1)连接BE, / OAB为等边三角形，/ AOB=60° / AEB=30 ；/ AB 为直径， / ACB= / BCE=90 ； v BC=a, BE=2a, CE=V3 a, v AC=b, - AE =ba;(2)过点 C 作 CH 丄 AB 于 H

12、，在 RtA ABC 中，BC=a, AC=b, AB=1 , a2+b2=1 ,v Saabc=3aC?BC=3aB?CH , AC?BC=AB?CH , ( a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH < 1+AD=1+AB=2, a+b,故a+b的最大值为(3) v x2+%x=b2+ Vib, x2- b2+7iax-Vab=0, (x+b) (x- b) WSa (x- b) =0, (x- b) (x+b+庾a) =0 , - x=b 或 x=- (b+V5a), 当 m=b 时，m=b=AC< AB=1, 0v mv 1,当m=-(b+l

13、a)时，由(1)知 AE= - m,又 v AB< AEW2O=2, 1<- m<2 - 2舸<-1, m的取值范围为0< m< 1或-2編n<- 1.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方 程的解法.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.e£引例3.解：连接EP, DP，过P点作PM垂直DE于点M，过O做OF丄AC与F,连接AO,如图，/ / BAC=60° , / DPE=120° . / PE=PD , PM 丄 DE , / EPM=60 , ED=2EM

14、=2EP?sin60 WJeP=kPA .当 P 与 A、O 共线时，且 在O点右侧时，O P直径最大.vO O 与/ BAC 两边均相切，且 / BAC=60 : / OAF =30 ； OF=1 , AO=. 匕 =2, AP=2+1=3 , DE3fA=5.故答案为： sin30DE与AP之间的关DE与半径AP之间的关系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当A、0、P三点共线时DE最大.【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题，解题的关键是找出 系，再解决切线的性质来解决问题.本题属于中等难度题，难点在于找到引例3图例一、斜率运用【考点】切线的性质;坐标与图形性质.【专题】探究型

15、.【分析】设m+n=k,则点P (m, n)在直线x+y=k上，易得直线y=- x+k与y轴的交点坐k的值最大；直线y= - x+k标为(0, k),于是可判断当直线 y= - x+k与O A在上方相切时,与x轴交于点C,切O A于P,作PD丄x轴于D, AE丄PD于E,连接AB,如图，贝U C ( k, 0),利用直线y= - x+k的性质易得/ PCD=45 °则 PCD为等腰直 角三角形，接着根据切线长定理和切线的性质得 AB丄OB, AP丄PC,DE=AB=1 , PE =AP=AB=1 , CP =CB=k+2,所以四边形 ABDE 为矩形，/ APE=45 °

16、贝9，所以PD=PE+DE = *+1，然后在RtAPCD 中，利用 PC=MEPD 得到 2+k=/j(£1+1),解得 kW2-21,从而得到n+m的最大值为2-1.y=k,即直线 y= - x+k【解答】解：设 m+n=k，则点P (m, n)在直线x+y=k上，当x=0时,与y轴的交点坐标为(0, k)，所以当直线y= - x+k与O A在上方相切时，k的值最大,直线y= - x+k与x轴交于点 C,切O A于P,作PD丄x轴于D, AE丄PD于E,连接AB，如图, 当y=0时，-x+k=0,解得x=k,则C (k, 0), 直线y= - x+k为直线y= - x向上平移k个

17、单位得到，/ P CD=45°.A PCD为等腰直角三角形，/ CP和0B为O A的切线，二AB丄0B ,AP丄 PC, AP =AB=1 , CP =CB = k+2，四边形 ABDE 为矩形，/ APE=45 ° DE=AB=1 ,/ APE 为等腰直角三角形, PE=A卩=迟, PD=PE+DE=M + 1,在 RtA PCD 中, 2 2 2/ PC=M1pD , 2+kW2(+1)，解得 kW2 - 1 , n+m 的最大值为 - 1.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直

18、构造直角三角形解决有关问题.决本题的关键是确定直线 y=- x+k与O A相切时n+m的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1. 解：作AB的中点E,连接EM、CE.在直角 ABC中，AB=MAC?+BC?=d* + /=5， / E是直角 ABC斜边AB上的中点， CE=2aB=. v M是BD2 2电-1 CM色+1 ,即丄CM / .故2 2 2 2的中点，E是AB的中点， ME=2aD=1.在CEM中,22.( 1)2逅 CD 砧；(2) 2 2届；变式题:(2011?邯郸一模)如图是某种圆形装置的示意图,圆形装置中，O O的直径AB=5 ,答案是:AB的不同侧有定点 C和动点P

19、, tan/CAB=£其运动过程是：点 P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点 Q.(1 )当 PC=时，CQ与O O相切；此时CQ=(2)当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长;(3)当点P运动到弧AB的中点时，求 CQ的长.C&用图JL【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】(1 )当CQ为圆0的切线时，CQ为圆O的切线，此时 CP为圆的直径，由 CQ垂直于直径CP,得到CQ为切线，即可得到 CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长;

20、(2)当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP丄AB于D,由AB为圆0的直径，得到/ ACB为直角，在直角三角形 ACB中，由tan / CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出 AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利 用由斜边乘以斜边上的高 CD的一半来求，求出 CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan/ CPB的值，由CP的长即可求出CQ ;(3)当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE丄PC于点E,由P是弧AB的中点，得到/ PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形

21、，由 CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形 EBP中，由/ CPB=/ CAB,得至U tan / CPB=tan/CAB ,利用三角 函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出 CQ的长.【解答】解：(1)当CP过圆心0，即卩CP为圆0的直径时，CQ与O 0相切，理由为: PC丄CQ , PC为圆0的直径， CQ为圆0的切线，此时 PC=5；v/ CAB= / CPQ ,2，则CQ哼；故答案为：5；-tan / CAB-tan/CP Qi，-tan/CP QiHN又 jabc=2aC?BC=3aB?CD， AC?BC=AB?CD，即 3 >4=5CD， CD， PC

22、=2CD =225在 RtA PCQ 中，/ PCQ-90° / CPQ- / CAB， CQ-PCtan / CPQ-'PC， CQ-世；33 55(3)当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE丄PC于点E,/ P 是弧 AB 的中点，/ PCB=45° CE=BE=2应，又/ CPB= / CAB, 由（2）得，Cq¥pC=旦匡.tan/CPB-tan/cab4，PE- betanZCPB 4-卫BE-iS， PC-CE+ PE-2+"*33【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直 角三角形

23、的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.再变式：如图3时，CQ最长。图3例三、正弦定理1. EF的长度由圆0的半径决定。解：由垂线段的性质可知，当 AD为 ABC的边BC上的高时，直径 AD最短,如图，连接0E, OF ,过0点作0H丄EF ,垂足为 H ,二在RtA ADB中，/ ABC=45° AB=2 AD = BD=2，即此时圆的半径为 1,由圆周角定理可知/ E0H=2 / E0F = / BAC=60° 在2RtAE0H中，EH = 0E?5in/ E0H =1耳，由垂径定理可知 EF=2EH3，故答案为：例三2答图2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定

24、理.【分析】当CD / AB时，PM长最大，连接 0M , 0C,得出矩形CPOM ,推出PM=OC,求 出0C长即可.【解答】解：法：如图：当 CD / AB时，PM长最大，连接 0M , 0C, / CD / AB, CP丄 CD , CP 丄 AB,v M 为 CD 中点，0M 过。，二 0M 丄 CD , / 0MC = / PCD= / CP0=90° 四边形 CP0M 是矩形，二 PM=0C, /O 0直径AB=8，半径 0C=4，即PM=4,故答案为：4.连接co, MO,根据/ CP 0 = / CM0=90° ,所以C, M, O, P,四点共圆，且 CO

25、为直径.最大.当PM为直径时PM最大，所以PM=C0=4时PM【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合 条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度.例四、柯西不等式、配方法1.过0作0E丄PD,垂足为 E,v PD是O 0的弦，0E丄PD , a P E=ED , 又/ CE0= / ECA= / 0AC=9O° 四边形 0ACE 为矩形，a CE=0A=2，又 P C=x, PE=ED= PC-CE=x 2, a PD=2 (x 2), a CD= PC - PD=x 2 (x 2) =x 2x+4=4 - x,2 2a PD?CD=2

26、(x- 2) ?(4 - x) = - 2x+12x- 16= - 2 ( x- 3) +2 , v 2< xv 4，当 x=3 时,PD?CD的值最大，最大值是 2.2.解：如图，分别作/ A与/ B角平分线，交点为 P. ACD和 BCE都是等边三角形，a AP与BP为CD、CE垂直平分线.又圆心0在CD、CE垂直平分线上，则交点 P与圆心0重合，即圆心 0是一个定点.连接 0C.若半径 0C 最短，则 0C 丄 AB.又/ 0AC= / 0BC=3O° AB=4, a 0A=0B, a AC=BC=2,a在直角 A0C 中，0C=AC衣an / 0AC=2Xtan30&#

27、176;=.故选：B .33. 解：(1)线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接 0P ,/ AB 切O 0 于 P,a 0P丄 AB，取 AB 的中点 C, a AB =20C ;当0C=0P时，0C最短, 即AB最短，此时AB=4 .故答案为：4.(3题答图)例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.求CE最小值，就是求半径 0D的最小值,求CE聂小值，即为求半径就最小值.-AOTE-AACB由相似得：OB： 00=5： 32.73 OA -73 ；33.【考点】切线的性质.【专题】压轴题.当【分析】因为PQ为切线，所以 OPQ是RtA .又0Q为定值，所以当OP最小时，PQ最小.

28、根据垂线段最短，知0P=3时PQ最小.根0据勾股定理得出结论即可.【解答】解：v PQ 切O 0 于点 Q, / OQP =90° PQ2=OP2 - 0Q2,而 0Q=2, PQ2=0P2-4，即 PQ=応忑二，当OP最小时，PQ最小，v点0到直线I的距离为3, OP的最小值为3,； PQ的最小值为寸9 - 4=ME .故选B.【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点,如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上.例五、其他几何知识的运用1.解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得:ra+b+4= - 125 寸 5b+q=-i抛物线得解析式为2y=x

29、- 6x+4.,解得:-6（2）如图所示:设点P的坐标为P（m, m2 - 6m+4）, v平行四边形的面积为 30,-SaCBP=15，即：CBP=s梯形CEDP - Saceb- Sapbd.(5+m2- 6m+4+1 )- 2x5X5 - 2(m- 5) ( m2 - 6m+5) =15 .2 2寺化简得：m2- 5m- 6=0,解得：m=6，或 m= - 1.v m>O,；点 P 的坐标为（6, 4）.(3)连接 AB、EB . AE 是圆的直径，/ ABE=90° .ABE=/ MBN .又/ EAB= / EMB , EAB NMB . v A (1 , - 1)

30、, B (5, - 1), 点 Oi 的横坐标 为3,将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，点C的坐标为（0,4）.设点O1的坐标为（3, m）,OcgA,.寸/+ 5-4 ） Tz即（时1 ）2,解得：m=2,点Oi的坐标为（3, 2）, O1A=寸/+ （ 2 4 ） 2二寸3，在 RtA ABE 中，由勾股定理得：BE=肿-曲=d （2713）E 的坐标为（5, 5）. AB=4, BE=6 ./ EABNMB,.塑EB-rm. nb=訓.JAECO” I当MB为直径时，MB最大，此时NB最大. MB=AE=2屈， NB=X2屆=3 庾.22.【考点】圆的综合题.【专题】综合题.【分析】

31、（1）连接OP,设CD与x轴交于点F .要证PE与O O相切，只需证/ OPE=90° ,只需证/ OPB+ / EPD=90°，由 OP = OB 可得/ OPB = / OBP= / FBD，只需证/ EPD = / EDP , 只需证EP =ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题.连接OE，由于PECD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rf OPE中，OP已知，只需求出 OE的最小值就可.（3）设0 O与y轴的正半轴的交点为Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点 P在点Q时,点E的纵坐标为1,由此

32、就可得到m的范围.【解答】解：（1）直线PE与O O相切.证明：连接 OP,设CD与x轴交于点F ./ AB是O O的直径,/ APB = / CPD =90° ./ E 为 CD 的中点， PE=CE=DE=±CD, / EPD= / EDP ./ OP = OB,/ OPB = / OBP= / DBF ./ DBF + Z EDB=90°OPB+Z EPD = / OPE=90° EP丄 OP. OP为O O的半径, PE是O O的切线.值为值为连接 OE,v/ OPE=90° OP=1 , PE2=OE2- OP2=OE2当OE丄CD时

33、，OE=OF=2，此时OE最短，二PE2最小3,即PE最小值为 V5,v PE誌CD，线段CD长的最小 乙设O O与y轴的正半轴的交点为 Q,0由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点 E的纵坐标越来越小，当点 P在点Q时,由PE丄OP可得点E的纵坐标为1. 点P是圆上第一象限内的一个动点， m的范围为m【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求 OE的最小值是解决第（2）小题的关键.【题型训练】1.解：连接 0B 如图 1,v AB 切O O 于 B, OA 丄 AC,；/ OBA= / OAC=90

34、 ° / OBP+/ABP=90° , / ACP+ / APC=90° , / OP=OB , / OBP= / OPB,如图2,. OE=丄AC=丄AB=22心2 -宀，1；1护-线I与O O相离,/ OPB = / APC，/./ ACP=/ ABC，/. AB=AC,作出线段 AC 的垂直平分线 MN，作 OE丄 MN ,又圆 O与直线 MN有交点， OE=-1，即：100- r2<42,. r2> 20 r>2： . OA=10，直 r< 10,. 2丁令< 10.故答案为：2需令< 10._v6)切线的性质，勾【点评

35、】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定,股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能 力本题综合性比较强，有一定的难度.2.原题：（2004?无锡）已知：如图， RtAABC 中，/ B=90° / A=30° BC=6cm .点 O 从 A 点出发，沿AB以每秒Jgcm的速度向B点方向运动，当点 O运动了 t秒（t > 0）时，以O点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EG丄DE交射线BC（1 ）若E与B不重合，问t为何值时， BEG与 DEG相似?(2)问：当t在什么范围内时，点

36、G在线段BC上？当t在什么范围内时，点 G在线段BC的延长线上?(3)当点G在线段BC上(不包括端点 B、C)时，求四边形 CDEG的面积S (cm2)关于时间t (秒)的函数关系式，并问点 0运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少?【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定.【专题】综合题；压轴题；分类讨论.【分析】(1)连接 0D , DF .那么 0D 丄 AC,则/ AOD=60° / AED=30° .由于/ DEG=90°因此/ BEG=60°因此本题可分两种情况进行讨论:当/ EDG=60° , / DGE=30

37、76; 时，/ BGD= / BGE + / EGD=60° .这样/ BGD 和/ ACB 相等, 那么G和C重合.当/ DGE=60°时，可在直角 AOD中，根据/ A的度数和A0的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于/ A=/ AED=30° 那么AD=DE，可在直角 DEG中，用AD的长表示出DG,进而根据DG / AB得出的关于 CD , AD, DG , AB的比例关系式即可求出此时 t的值.(2)本题可先求出BG的表达式，然后令BG > BC,即可得出G在BC延长线上时t的取值范围.(3)由于四边形 CGED不是规则的四边形，因此其面积

38、可用 ABC的面积- ADE的面积- BEG的面积来求得.在前两问中已经求得AD, AE, BE, BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积据此可求出S, t的函数关系式根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出 S的最大值及对应的t的值.【解答】解：(1)连接0D , DF . / AC切O 0于点D, 0D丄AC.在RtA OAD中，/ A=30° ,OA=Mlt, 0D = 0F=, AD=0A?cosA=4. 又F0D =90 ° 30 °60 /AED=30 ° 也厶 AD = ED=. DE 丄 EG,./ BEG=60° BE

39、G 与 DEG 相似B= / GED=90°C佝当/ EGD=30° CE=2BE=2 (61 -坐t)则 / BGD=60° = / ACB，此时 G 与 C 重合,DE = AD , CD=12 - , BE=6硬-近t,2 2 3/ BEGsA dec,§=翌,CD DE2 (如-孚)63 R 二E= jE'，t=； 2 2当/ EGD=60° . DG 丄 BC, DG / AB .在 RtA DEG 中，/ DEG=90° DE=2i,二 DG=V32在 RtAABC 中，/ A=30° BC=6，二 AC

40、=12 , AB=6庶，二 CD=12-里.t DG / AB ,2.四乂解得上=聖.答：当t为卫或里时， BEG与 EGD相似；AB kC737(2) / AC 切O O 于点 D , 0D丄 AC.在 RtAOAD 中，/ A=30° , 0A=V5t, / AED=30° , DE 丄 EG , / BEG=60° .在 RtA ABC 中，/ B=90° / A=30° , BC=6 , AB=6頁, BE=3-. RtA BEG 中，/ BEG=60 ° , BG=BE?tan60°18 - t.当 0< 1

41、&刍<62 2 2即鸟W4时，点G在线段BC上；当18-吕 6,即0 t卫时，点G在线段BC的延长线523上;(3)过点 D 作 DM 丄 AB 于 M .在 RtA ADM 中，/ A=30° DM ADt.24- S=SaABC -AED -BEG=36；V - -t2 - 273上=-( t -16 16所以当t=时，s取得最大值，最大值为【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点.3.D ； 4.解：当P点移动到平行于 0A且与O D相切时， AOP面积的最大，如图, / P是O D的切线，

42、 DP垂直与切线，延长 PD交AC于M，贝U DM丄AC,在矩形 ABCD 中，AB=3, BC=4, AC=JaeJec"5， 0A，/ AMD = / ADC=90° / DAM = / CAD， ADMACD，世,=型， AD=4, CD=3，CD AC12AC=5， DM=， PM = PD+DM=1 + ±=IT4，AOP的最大面积4oa?m號（5题答图）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大;5.解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为 D

43、,连接FD、CF、CD,贝U FD丄AB ./ACB=90° AC=8, BC=6 , AB=10, FC + FD = PQ,； FC + FD > CD ,当点 F 在直角 三角形 ABC的斜边 AB的高CD上时，PQ = CD有最小值， CD=BC?AC诙B=4.8.故选：B .6.2 运；7.解：若 ABE的面积最小，则 AD与O C相切，连接 CD，贝U CD丄AD ;RtAACD 中，CD=1，AC=OC + OA=3;由勾股定理，得： AD=1;-§ acdAD?cdW2;易证得 AOEsA aDC，/Saade aadc（OA、 2（ 3.21=（忑）

44、=（莎）方，V2.C.即AOESADC = -; SaABE=S AOB-AOE=£ X2 X2 - 另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选:（7题答图）（8题答图）8.解：当射线 AD与O C相切时, ABE面积的最大.连接 AC,OC=CD，二 RtAAOC 也 RtAADC，二 AD=AO=2 ,/ AOC= / ADC=90°, AC=AC,2 连接 CD，设 EF=x , DE2=EF?OE,t CF=1 , DE=& （比），二 CDE aOE , =2，即 i=AO AE 扎+j：；+2），解得 xi，sabe=- 2BE细严（沁卫故23 .

45、选：B.解题的关键是确定【点评】本题是一个动点问题， 考查了切线的性质和三角形面积的计算, 当射线AD与O C相切时， ABE面积的最大.9. 解:当PC丄AB时，PQ的长最短.在直角 ABC中，AB咄壷匚? +£C »乂4S4 =4 ,PC=gAB=2近. PQ 是O C 的切线， CQ 丄 PQ,即/ CQP=90 °旳=占仑2-GQ2=d2 -件听.故选A.【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC丄AB时，线段PQ最短是关键.（9题答图）10.解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大,连接O

46、M , PD,可得F为ED的中点，/ BAC=60° , AE=AD, AED为等边三角形, AF 为角平分线，即/ FAD=30° ,在 Rt AOM 中，OM=1 , / OAM=30° , OA=2 , PD = FA=AO + OP=3，在 RtA PDF 中，/ FDP =30° PD=3 , PF=M，根据勾股定理得:FD =JfD?，则DE=2FD=3.同理可得：DE的最小值为-73, £311.1 m n 5 ； 12.0 m 1 ；2 2 2 2 2 213.解：设 P (x, y), / PA 1 -5 -4 -3 -? -

47、1=1-2-34-5【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点 为求解OP的最大值，难度较大.= (x+1) 2+y2, PB2= (x- 1) 2+y2, PA2+PB2=2x2+2y2+2=2 ( x2+y2) +2, v OP2=x2+y2,二 PA2+PB2=2OP2+2，当点 P 处于 OM 与圆的交点上时，OP取得最值， OP的最大值为OM + PM=5+2=7,. PA2+PB2最大值为IQ)P坐标，将所求代数式的值转化100.A、B，以OB为直径作O M ,O M与附：1.如图，直线 尸-迪h+q分别与X、y轴交于点3直线AB的另一个交点为(1)求/ BAO的大小;(2

48、)求点D的坐标；(3)过O、D、A三点作抛物线，点 Q是抛物线的对称轴I上的动点,探求：|QO - QD|的最大值.【考点】一次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】(1)根据直线解析式求出点 A、B的坐标,的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可;(2)连接OD，过D作DE丄OA于点E,根据直径所对的圆周角是直角可得/BDO=90°再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出/ DOE=6O°,然后解直角三角形求出 OE、DE ,再写出点D的坐标即可;(3)根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根

49、据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时IQO- QD|=OD的值最大，然后求解即可.【解答】解:(1)t直线y=-逅x+4分别与X、y轴交于点3A、B,当 y=0 时,-dx+4=0，解得 x=4 点；当 x=0 时，y=4,3 A (, 0), B (0, 4). OA=W3, OB =4, 在 Rt AOB 中，t tan/BAO=U=, / BAO=30° OA硕3(2)连接 OD，过D作DE丄OA于点E,v OB是O M的直径，/ BDO= / ADO=9O°在 RtA AOD 中，/ BAO=30°, OD=2oA>3=3, / DOE=60° 在 RtA DOE 中, 2 2OE=OD?cos/ DOE=2；J占品,DE=OD?sin/ DOE